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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small}
\dots\lfoot{\small{CAPES externe 2014}}
\rfoot{\small{2014}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center}
{\Large \textbf{CAPES épreuve 1 session 2014}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\hrule

\begin{center}{\large \textbf{Problème 1 : sommes de  Riemann}}\end{center}

\hrule

\medskip

\emph{Dans ce problème, on suppose introduite à l'aide des fonctions en escalier la notion d'intégrale au sens de Riemann d'une fonction.}

\begin{center}
\textbf{Partie A : convergence des sommes de Riemann} 
\end{center}

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$ et $f$ une fonction continue sur $[a~;~b]$.

Pour tout $n \in \N*$, pour tout $k \in \llbracket0~;~n \rrbracket$, on pose : $x_{k} = a + k \dfrac{b - a}{n}$ et on considère les sommes de  Riemann : 

\[S_{n}(f) = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} f\left(x_{k}\right)\quad  \text{et} \quad  R_{n}(f) = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n} f\left(x_{k}\right)\]

Dans un premier temps, on se propose de démontrer que les suites $\left(S_{n}(f)\right)_{n \in \N*}$ et $\left(R_{n}(f)\right)_{n \in \N*}$ sont 
convergentes et de même limite $\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^b f(t) \:\text{d}t$.

Dans un deuxième temps, on cherche à obtenir une majoration de 

$\left|\displaystyle\int_{a}^b f(t) \:\text{d}t - (b - a)S_{n}(f)\right|$, pour tout $n \in \N*$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que :

\[\forall \epsilon > 0, \exists \eta > 0,\: \forall(x,~y) \in  [a,~ b]^2,\quad  |x - y| \leqslant \eta \Rightarrow |f(x) - f(y)| \leqslant  \dfrac{\epsilon}{b - a}.\]

\item Soit $\epsilon$ un réel strictement positif.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer qu'il existe $N \in \N$ tel que :
\[\forall n \geqslant  N, \forall k \in  \llbracket 0,~ n - 1\rrbracket,\: \forall t \in  [x_{k}~;~x_{k+1}],\quad  \left|f(t) - f\left(x_{k}\right)\right| 	\leqslant  \dfrac{\epsilon}{b - a}.\]

		\item En déduire que : 

\[\forall n \geqslant  N, \forall k \in  \llbracket 0,~ n - 1\rrbracket,\:\: \left|\displaystyle\int_{x_{k}}^{x_{k+1}} \left(f(t) - f\left(x_{k}\right)\right) \:\text{d}t\right| \leqslant \dfrac{\epsilon}{n},\] 

puis que:

\[\forall n \geqslant  N,\:\: \left|\displaystyle\int_{a}^{b} f(t)\:\text{d}t - (b - a)S_{n}(f)\right| \leqslant \epsilon.\]

	\end{enumerate}
\item En déduire que $\left(S_{n}(f)\right)_{n \in \N*}$, puis $\left(R_{n}(f)\right)_{n \in \N*}$, convergent vers $\dfrac{1}{b -  a} \displaystyle\int_{a}^{b} f(t)\:\text{d}t$. 
\item \emph{Application}
 
Soit $\left(u_{n}\right)_{n\in \N*}$ la suite définie par : $\forall n \in \N*, \quad u_{n} = \displaystyle\sum_{j=n+1}^{2n} \dfrac{1}{j}$.

Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)_{n\in \N*}$ converge vers $\ln 2$. 
\item Dans cette question, on suppose que la fonction $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a~;~b]$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer qu'il existe un réel $M$ tel que : $\forall t \in [a~;~ b], \left|f'(t)\right| \leqslant M$.
		\item En déduire que :

$\forall n \in \N*,\: \forall k \in \llbracket 0, n - 1\rrbracket,\:  \forall t \in \left[x_{k}~;~x_{k+1}\right],\quad
  \left|f(t) - f\left(x_{k}\right)\right| \leqslant M\left(t - x_{k}\right)$. 
		\item Démontrer que :

\[\forall n \in \N*, \forall k \in \llbracket 0, n - 1\rrbracket, \left| \displaystyle\int_{x_{k}}^{x_{k+1}} \left(f(t) - f\left(x_{k}\right)\right)\:\text{d}t\right| \leqslant \dfrac{M(b - a)^2}{2n^2} \]

puis que :

\[\forall n \in \N*,\:\left|\displaystyle\int_{a}^b f(t)\:\text{d}t - (b - a)S_{n}(f) \right| \leqslant \dfrac{M(b - a)^2}{2n}.\]
	\end{enumerate}
\item \emph{Application : calcul d'une valeur approchée de }$\displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{- x^2}\:\text{d}x$ \emph{ par la méthode des rectangles.} 

\medskip

Soit $f$ la fonction définie par : $\forall x \in  \R,\: f(x) = \text{e}^{- x^2}$.

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer un réel $M$ tel que $\forall x \in  [0~;~1],\: \left|f'(x)\right| \leqslant M$.
		\item Soit $\epsilon \in  \R*_{+}$. En utilisant les résultats obtenus dans la question 5, écrire un algorithme qui  calcule une valeur approchée à $\epsilon$ près de $\displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{- x^2}\:\text{d}x$.
 
Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $\displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{- x^2}\:\text{d}x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie B : application à l'étude de suites}
\end{center}

Soit $f$ une fonction définie sur $]0~;~1]$, continue et décroissante sur $]0~;~1]$.

On considère la suite $\left(r_{n}\right)_{ n \in \N*}$ définie par :

\[\forall n \in \N*,\:r_{n} = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n 
f\left(\dfrac{k}{n}\right)\]

et la fonction $I$ définie sur $]0~;~1]$ par: $\forall x \in ]0~;~1],\: I(x) = \displaystyle\int_{x}^1  f(t)\:\text{d}t$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier $n \geqslant 2$ et pour tout $k \in  \llbracket1,\: n - 1\rrbracket$, on a :

\[\dfrac{1}{n}	 f\left(\dfrac{k + 1}{n}\right)  \leqslant \displaystyle\int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} 	f(t)\:\text{d}t \leqslant f\left(\dfrac{k}{n}\right)\] 

\item En additionnant les inégalités précédentes, démontrer que pour tout entier $n \geqslant 2$, on a :

\[I\left(\dfrac{1}{n}\right) + \dfrac{1}{n}f(1) \leqslant r_{n} \leqslant  I\left(\dfrac{1}{n}\right) +  \dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right).\]

\item On suppose, de plus, que $\displaystyle\lim_{x \to 0} I(x) = \ell \:(\ell  \in \R)$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0} xf(x) = 0$.

 Démontrer que la suite $\left(r_{n}\right)_{ n \in \N*}$  converge et préciser sa limite.  
\item Dans cette question, on pose $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{4} - \dfrac{1}{2}\ln x$, pour tout réel $x \in ]0~;~1]$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout $n \in \N*,\: r_{n} = \dfrac{(n + 1)(2n + 1)}{24n^2} - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2n} \ln \left(\dfrac{n!}{n^n} \right)$.

\emph{On rappelle que la somme des carrés des $n$ premiers entiers naturels est égale à } $\dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$.
		\item En utilisant les questions précédentes, démontrer que la suite $\left(\dfrac{(n!)^{\frac{1}{n}}}{n}\right)_{n \in \N*}$ converge et déterminer sa limite. 

\emph{On rappelle que la fonction } $x \longmapsto x \ln x - x$ est une primitive de la fonction ln sur $\R*_{+}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{flushright}
Tournez la page S. V. P.
\end{flushright}

\begin{center} \textbf{Partie C : une suite d'intégrales} \end{center}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout $n \in \N*$ et tout $k \in  \llbracket 0,~ n - 1\rrbracket$, on a :

\[\displaystyle\int_{\frac{k\pi}{n}}^{\frac{(k + 1)\pi}{n}} |\sin (nx)|\:\text{d}x = \dfrac{2}{n}.\]

\item Soit $f$ une fonction continue et croissante sur $[0~;~\pi]$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout $n \in \N*$ et tout $k \in \llbracket 0,\: n - 1\rrbracket$, on a :

\[\dfrac{2}{n}f\left(\dfrac{k\pi}{n}\right) \leqslant  	\displaystyle\int_{\frac{k\pi}{n}}^{\frac{(k + 1)\pi}{n}}  f(x)|\sin (nx)|\:\text{d}x \leqslant  \dfrac{2}{n}f\left(\dfrac{(k+1)\pi}{n}\right).\]

		\item En déduire un encadrement de $\displaystyle\int_{0}^{\pi}  f(x)|\sin (nx)|\:\text{d}x $.
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 	\displaystyle\int_{0}^{\pi} f(x)|\sin (nx)|\:\text{d}x $.
		\item Obtiendrait-on le même résultat pour une fonction $f$ continue et décroissante sur $[0~;~\pi]$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie D : une application aux probabilités} \end{center}

\begin{enumerate}
\item Pour tout couple d'entiers naturels $(k, m)$, on pose $I_{k,\:m} = \displaystyle\int_{0}^1 x^k(1 - x)^m\:\text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que : $\forall k \in \N*,  \forall m \in \N,\quad I_{k,\:m}  = \dfrac{k}{m + 1}I_{k-1,\:m+1}$.
		\item Pour tout couple d'entiers naturels $(k, m)$, déterminer $I_{0,\:k+m}$ et en déduire une expression de $I_{k,\:m}$ en fonction des entiers $k$ et $m$.
	\end{enumerate}
\item Soient $n \in N*, p \in [0~;~1]$.

Une urne contient des boules rouges et des boules blanches. La proportion de boules rouges dans cette urne est $p$. On réalise dans cette urne $n$ tirages indépendants d'une boule avec remise. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges obtenues.

Déterminer la loi de probabilité de $X$, puis donner l'espérance de $X$.
\item Soient $n \in \N*$ et $N \in \N*$.

On dispose de $N$ urnes $U_{1}, ... , U_{N}$ contenant des boules rouges et des boules blanches et telles que, pour tout $j \in \llbracket1, N\rrbracket$, la proportion de boules rouges dans $U_{j}$ est $\dfrac{j}{N}$.

On choisit une urne au hasard et on effectue dans cette urne $n$ tirages indépendants d'une boule avec remise. On note $X_{N}$ la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges obtenues.
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout entier naturel $k$, on note $p_{N}(k)$ la probabilité que $X_{N}$ prenne la valeur $k$. 

Démontrer que : $p_{N}(k) = \dfrac{1}{N}\displaystyle\sum _{j=1}^{N}\binom{n}{k}\binom{j}{N}^k\left(1 - \dfrac{j}{N}\right)^{n - k}$.
		\item Calculer l'espérance de $X_{N}$. Quelle est la limite de cette espérance quand $N$ tend vers $+ \infty$ ?
		\item En utilisant le résultat obtenu dans la première question, déterminer 

$\displaystyle\lim_{N \to +\infty} p_{N}(k)$. 

Que peut-on en déduire pour la suite de variables aléatoires $\left(X_{N}\right)_{N\in \N*}$ ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\hrule

\begin{center}
\large{\textbf{Problème 2 : fonction exponentielle, évolution d'une population}}

\end{center}
\hrule

\bigskip

On établit dans la partie A l'existence d'une unique solution de l'équation différentielle $y' = y$ vérifiant $y(0) = 1$ et on étudie dans la partie B un exemple d'équation différentielle.

Dans la partie A, les fonctions exponentielles et les fonctions logarithmes sont supposées ne pas être connues.

\begin{center}
\textbf{Partie A : la fonction exponentielle} 
\end{center}

On s'intéresse dans cette partie à l'équation différentielle $(E) :\:\: y' = y$, avec la condition $y(0) = 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose qu'il existe une fonction $f$ dérivable, solution de $(E)$ sur $\R$ telle que $f(0) = 1$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que : $\forall x \in \R,\quad  f(x) \times f(-x) = 1$.
		\item En déduire que $f$ ne s'annule pas sur $\R$.
		\item Démontrer que si $g$ est une fonction dérivable solution de $(E)$ sur $\R$ telle que $g(0) = 1$, alors $g = f$.

\emph{On pourra considérer la fonction $\varphi$ définie sur $\R$ par } $\varphi(x) = \dfrac{g(x)}{f(x)}$.
		\item Démontrer que : $\forall (a,\:b) \in  \R^2, \:\:f(a + b) = f(a) \times f(b)$.

On pourra fixer un réel $a$ et considérer la fonction $\psi$ définie sur $\R$ par  $\psi(x) =  \dfrac{f(a + x)}{f(a)}$.
		\item Déduire des résultats précédents que $f$ est strictement positive sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item On va dans cette question établir l'existence d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$, solution de $(E)$ telle que $f(0) = 1$.
 
Soit $x \in \R$. On pose, pour tout entier $n > |x|$ :

\[u_{n}(x) = \left(1 + \dfrac{x}{n}\right)^n \quad \text{et}\quad v_{n}(x) = \dfrac{1}{u_{n}(- x)}.\] 

On va montrer que les suites $\left(u_{n}(x)\right)_{n >|x|}$ et $\left(v_{n}(x)\right)_{n >|x|}$ sont adjacentes.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que les suites $\left(u_{n}(x)\right)$ et $\left(v_{n}(x)\right)$ sont bien définies pour $n >|x|$.
		\item Établir par récurrence l'inégalité de Bernoulli : 
		
\[\forall a \in ]- 1~;~+\infty[,\:\: \forall n \in \N*,\quad  (1 + a)^n \geqslant  1 + na.\]

		\item Soit $n$ un entier tel que $n > |x|$. 

		\begin{enumerate}
			\item Démontrer que : $u_{n+1}(x) =  u_{n}(x) \times \left(1 + \dfrac{x}{n}\right) \times \left(\dfrac{1 + \frac{x}{n+1}}{1 + \frac{x}{n}}\right)^{n+1}$.
			\item En utilisant l'inégalité de Bernoulli, démontrer que :

$\left(\dfrac{1 + \frac{x}{n+1}}{1 + \frac{x}{n}}\right)^{n+1}\geqslant \dfrac{1}{1 + \frac{x}{n}}$.
			\item En déduire que la suite $\left(u_{n}(x)\right)$ est croissante.
		\end{enumerate} 
	\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}(x)\right)$ est décroissante. 
	\item Soit $n$ un entier tel que $n > |x|$.
		\begin{enumerate}
			\item Démontrer que : $v_{n}(x) - u_{n}(x) = v_{n}(x) \left(1 - \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right)^n\right)$.
			\item En déduire que : $v_{n}(x) - u_{n}(x) \geqslant 0$.
			\item En utilisant l'inégalité de Bernoulli, démontrer que :
	
 $v_{n}(x) - u_{n}(x) \leqslant  v_{n}(x) \times  \dfrac{x^2}{n}$.
		\end{enumerate}
	\item Déterminer, en utilisant les résultats des questions précédentes, la limite de la suite $\left(v_{n}(x) - u_{n}(x)\right)_{n > |x|}$. Conclure.
	\item On désigne par $f$ la fonction qui à tout réel $x$ associe $f(x)$, limite commune des suites $\left(u_{n}(x)\right)$ et $\left(v_{n}(x)\right)$. On va démontrer que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ et vérifie $f(0) = 1$.
		\begin{enumerate}
			\item Démontrer que : $f(0) = 1$.

Dans les deux questions suivantes, on considère un réel $x_{0}$. 
			\item On admet que : $\forall(a,\: k) \in \R^2,\:\: f(a + k) - f(a) \geqslant  kf(a)$.

En utilisant cette relation, établir que :

\[\forall h \in ]-1~;~1[,\:\: hf\left(x_{0}\right) \leqslant  f\left(x_{0} + h\right) - f\left(x_{0}\right) \leqslant  \dfrac{h}{1 - h} f\left(x_{0}\right).\]

			\item En déduire que $f$ est dérivable en $x_{0}$ de dérivée $f\left(x_{0}\right)$. Conclure.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie B : évolution d'une population} \end{center}
 
Pour étudier l'évolution d'une population de poissons au cours du temps, on utilise le modèle suivant.

On admet que la fonction $N$, représentant le nombre de poissons en fonction du temps $t$ (exprimé en années) vérifie les conditions suivantes :
\begin{itemize}
\item $N$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ :

\[y' = ry\left(1 - \dfrac{y}{K}\right)\]

où $r$ et $K$ sont des constantes réelles strictement positives ;
\item $N(0) = N_{0}$, avec $0 < N_{0} < K$ ; 
\item $N$ est définie sur un intervalle ouvert $I$ contenant $0$ ;
\item si $g$ est une solution de $(E)$ définie sur un intervalle $J$ contenant $0$ et vérifiant $g(0) = N_{0}$, alors $J$ est inclus dans $I$.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel théorème permet de garantir l'existence et l'unicité de la fonction $N$ ?

On admet que $I$ contient $[0~;~+ \infty[$, et que pour tout réel $t \in I,\: 0 < N(t) < K$. 
\item \emph{Étude qualitative}
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $N$ est strictement croissante sur $I$.
		\item En déduire que $N$ admet une limite finie $\ell $ en $+ \infty$.
		\item Démontrer que $\ell = K$. \emph{On pourra raisonner par l'absurde}.
	\end{enumerate}
\item \emph{Détermination d'une expression de } $N$

On pose, pour $t \in I,\: g(t) = \dfrac{1}{N(t)}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $g$ est solution sur $I$ de l'équation différentielle $\left(E'\right)$ :
		
$y' = -ry + \dfrac{r}{K}$.
		\item Résoudre l'équation différentielle $\left(E'\right)$, puis déterminer une expression de $N$ sur $I$.
		\item Retrouver la limite de $N$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}