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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small }
\lfoot{\small{CAPES externe}}
\rfoot{\small{27 novembre 2012}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
{\Large \textbf{CAPES épreuve 2 session 2013}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}{\large DEUXIÈME COMPOSITION}\end{center}

\hrule

\begin{center}{\large Problème 1 : Puissances de matrices}\end{center} 

\hrule

\vspace{1cm}

\textbf{Rappels et notations}

Étant donnés deux entiers naturels non nuls $p$ et $q$, $\mathcal{M}_{p,\:q}(\C)$ désigne l'ensemble des matrices à $p$ lignes et $q$ colonnes, à coefficients complexes.$d_{1}\quad \rput{-30}(0,0){\parallel}\quad d_{2}$

L'ensemble $\mathcal{M}_{p,\:p}(\C)$ est noté $\mathcal{M}_{p}(\C)$ et $I_{p}$ désigne la matrice identité de $\mathcal{M}_{p}(\C)$. 

On identifiera par la suite $\mathcal{M}_{p,\:1}(\C)$ et $\C^p$.

\medskip

Soit $\left(A_{n}\right)_{n \in \N}$ une suite de matrices de $\mathcal{M}_{p,~q}(\C)$. Pour tout entier $n$, on note 

$A_{n} = \left(a_{ij}(n)\right)_{\substack{1\leqslant i\leqslant p\\1 \leqslant j \leqslant q}}$.

On dit que la suite $\left(A_{n}\right)_{n \in \N}$ est convergente, si pour tout couple $(i,~j)$ tel que

$i \in \llbracket 1,~p\rrbracket$ et $j \in  \llbracket 1,~q\rrbracket$, la suite $\left(a_{ij}(n)\right)_{n \in \N}$ converge dans $\C$.

\medskip

En posant $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(a_{i,~j}(n)\right) = l_{i,~j}$ et $L = \left(l_{i,~j}\right)$, on dit alors que la matrice $L$ est la limite de la suite $\left(A_{n}\right)_{n\in \N}$ et on note : $\displaystyle\lim_{n \to  \infty} A_{n} = L$. 

\medskip

Soit $A$ une matrice de $\mathcal{M}_{p}(\C)$. Pour tout entier naturel $n$, on note $A^n$ la puissance $n$-ième de la matrice $A$.

Ce problème a pour but de déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que la suite $\left(A_{n}\right)_{n \in \N}$ converge dans $\mathcal{M}_{p}(\C)$.
\medskip

\begin{center} 
\textbf{Partie A : étude d'un exemple} \end{center}

On considère les suites $\left(x_{n}\right)_{n \in \N}$ et $\left(y_{n}\right)_{n \in \N}$ définies par :

\renewcommand\arraystretch{1.9}
\[x_{0}  \in \R,\: y_{0} \in \R\:\: \text{et}\:\: \forall n \in \N, \left\{\begin{array}{l c l}
x_{n+1} &=& \dfrac{4}{5}x_{n} + \dfrac{2}{5}y_{n}\\ 
y_{n+1} &=& \dfrac{1}{5}x_{n} + \dfrac{3}{5}y_{n} 
\end{array}\right.\]
\renewcommand\arraystretch{1}

Dans cette partie, on pose $A = \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}4 &2\\ 1& 3\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour $n \in \N$, exprimer $\begin{pmatrix} x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}$ en fonction de $A^n$ et de $\begin{pmatrix} x_{0}\\y_{0}\end{pmatrix}$.
\item Montrer qu'il existe une matrice diagonale $D$ de $\mathcal{M}_{2}(\C)$ telle que $A$ puisse s'écrire :

\[A = P D P^{- 1}\]

où $P$ désigne la matrice $\begin{pmatrix} 2&1\\1&- 1\end{pmatrix}$. 
\item Pour tout $n \in \N$, déterminer une expression de $A^n$ en fonction de $n$. 
\item Établir que la suite $\left(A^n\right)_{n \in \N}$ est convergente et préciser sa limite.
\item Démontrer que les suites $\left(x_{n}\right)_{n \in \N}$ et $\left(y_{n}\right)_{n \in \N}$ convergent et déterminer les limites de ces suites en fonction de $x_{0}$ et $y_{0}$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie B : résultats préliminaires}\end{center}

Soient $p$ et $q$ deux entiers naturels non nuls.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soient $\left(A_{n}\right)_{n \in \N}$ et $\left(B_{n}\right)_{n \in \N}$ deux suites de matrices de $\mathcal{M}_{p,~q}(\C)$ qui convergent respectivement vers $L$ et $M$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(A_{n} + B_{n}\right) = L + M$.
		\item Soit $a \in \C$. Montrer que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(a A_{n}\right) = aL$.
		\item Soient $B \in  \mathcal{M}_{p,~q}(\C)$ et $\left(a_{n}\right)_{n \in \N}$ une suite de nombres complexes qui converge vers $a \in \C$.

Montrer que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} a_{n}B = aB$.
	\end{enumerate}
\item Soit $\left(A_{n}\right)_{n \in \N}$ une suite de matrices de $\mathcal{M}_{p}(\C)$ qui converge vers $L$.
	\begin{enumerate}
		\item Soit $X \in \mathcal{M}_{p,~q}(\C)$. Démontrer que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} A_{n} X = LX$.
		\item Énoncer sans démonstration un résultat analogue pour la multiplication à droite.
	\end{enumerate}
\item Soit $\left(A_{n}\right)_{n \in \N}$ une suite de matrices de $\mathcal{M}_{p}(\C)$ telle que :

\[\forall X \in \C^P, \displaystyle\lim_{n \to + \infty} A_{n} X = 0\]

Montrer que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} A_{n} = 0$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie C : condition nécessaire}\end{center} 

Dans la suite du problème, on note $u$ l'endomorphisme de $\C^p$ représenté par la matrice $A$ dans la base canonique.
 
On définit, pour tout entier naturel $n$, $u_{n}$ par :

\[u_{0} = \text{Id}_{\C^p}\quad  \text{et}\quad u_{n+1} = u \circ u^n.\]

On suppose dans cette partie que la suite $\left(A^{n}\right)_{n \in \N}$ converge.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\lambda$ une valeur propre de $u$ ($u \in  \C$).
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $|\lambda \leqslant 1$.
		\item On suppose que $|\lambda = 1$.

Montrer qu'alors $\lambda = 1$. \emph{On pourra considérer}\: $\left|\lambda^{n+1} - \lambda^n\right|$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que $\text{Ker}\: (u - \text{Id}) \cap \text{Im}(u - \text{Id}) = \{0\}$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie D : condition suffisante} \end{center}

On note $\chi_{u}(X) = \det \left(A - XI_{p}\right)$ le polynôme caractéristique de $u$, où det désigne le déterminant de la matrice considérée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Énoncer le théorème de d'Alembert-Gauss.
\item En déduire que l'on peut écrire $\chi_{u}(X) = \det \left(A - XI_{p}\right) = \displaystyle\prod_{i=1}^p \left(\alpha_{i} - X\right)$, avec

$\alpha_{i} \in \C$ pour tout  entier $i \in \llbracket 1,~p\rrbracket$. 
\item Justifier le fait que $u$ admet dans une certaine base $\left(e_{1}, \ldots , e_{p}\right)$ une matrice $T$ de la forme :

\[T = \begin{pmatrix}
\alpha_{}&\ldots&\ldots&\ldots\\
&\alpha_{2}&\ldots&\ldots\\
&&\ddots&\ldots\\
0&&&\alpha_{p}
\end{pmatrix}\]
\item On suppose dans cette question que $\left|\alpha_{i}\right| < 1$ pour tout entier $i \in \llbracket 1,~p\rrbracket$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u^n \left(e_{1}\right) = 0$.  
		\item Montrer par récurrence que pour tout entier $i \in \llbracket 1,~p\rrbracket$, $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u^n \left(e_{i}\right) = 0$.
		\item En déduire la limite de $T^n$, puis celle de $A^n$.
	\end{enumerate}
\item On note $\lambda{1}, ... , \lambda{m}$ les valeurs propres de $u$, deux à deux distinctes, avec $m \in \N^{\star}$.

On suppose dans cette question que $\lambda_{1} = 1$ et $\left|\lambda_{i}\right| < 1$ pour tout entier $i$ tel que $2 \leqslant i \leqslant m$. 

On suppose également que Ker $(u - \text{Id}) \cap  \text{Im}\: (u - \text{Id}) = \{0\}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que Ker$(u - \text{Id})$ et Im $(u - \text{Id})$ sont deux sous-espaces supplémentaires dans $\C^p$ stables par $u$. 
		\item On note $u_{1}$ l'endomorphisme de Im $(u - \text{Id})$ induit par $u$. 
		
Montrer que toute valeur propre de $u_{1}$ est une valeur propre de $u$, distincte de $\lambda_{1}$.
		\item En remarquant que $u_{1}$ vérifie les hypothèses de la question 4, en déduire que $A^n$ converge et déterminer une matrice semblable à sa limite.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie E : conclusion et application} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 

On note $\lambda_{1}, \ldots ,\lambda_{m}$ les valeurs propres de $A$, deux à deux distinctes, avec $m \in \N^{\star}$.

Déduire des questions précédentes que la suite $\left(A_{n}\right)_{n \in \N}$ converge si et seulement si :

\[\left\{\begin{array}{l}
\forall i \in \llbracket 1, m\rrbracket, \quad \left|\lambda_{i}\right| < 1\\ 
\text{ou}\\
\lambda_{1} = 1,\: \text{Ker}\: (u - \text{Id}) \cap  \text{Im} (u - \text{Id}) = \{0\} \:\text{et}\: \forall i \in \llbracket 2,~m\rrbracket, \: \left|\lambda_{i}\right| < 1
\end{array}\right.\]
 
\item Déterminer si les suites $\left(A_{n}\right)_{n\in \N}$ sont convergentes, dans chacun des cas suivants :
	\begin{enumerate}
		\item $A = \begin{pmatrix}
0,2& 0,1\\
0,2& 0,3 \\
\end{pmatrix}$
		\item $A = \begin{pmatrix}
1&1&\text{i}\\
0&\dfrac{\text{i}}{2}&1\\
0&0&1\\
\end{pmatrix}$.
		\item $A = \begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&- 6 + \dfrac{\text{i}}{2}&9\\
0&- 4&6 + \dfrac{\text{i}}{2}\\
\end{pmatrix}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\hrule

\begin{center}{\large
Problème 2 : quelques théorèmes d'arithmétique} \end{center}

\hrule

\bigskip
 
On démontre dans la partie A un théorème de Lagrange dont on utilise le résultat pour démontrer le théorème de Wilson (partie B) et le théorème de Wolstenholme (partie C).

\bigskip
 
\begin{center}\textbf{Partie A : théorème de Lagrange}\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier $n \geqslant 1$ et tout entier $k \in \llbracket 1,~n\rrbracket$ on a :

\[k\binom{n}{k} = n\binom{n - 1}{k - 1}\]

\item Montrer que pour tout entier premier $p$ et tout entier $k \in \llbracket 1,~p - 1\rrbracket$, $p$ divise $\binom{p}{k}$.
\item Soit $p$ un entier premier impair. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = \displaystyle \prod_{k=1}^{p - 1} (x + k)\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout réel $x$ on a :

\[pf(x) = (x + 1)f(x + 1) - xf(x)\]

		\item Justifier l'existence d'un $p$-uplet d'entiers $\left(a_{0}, a_{1},~\ldots, a_{p-1}\right)$ tel que pour tout réel $x$ on a : 

\[f(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{p - 1} a_{k} x^{p-1-k}\]

		\item Montrer que $a_{0} = 1$ et $a_{p-1} = (p - 1)!$
		\item À l'aide de la question 3 a et en faisant intervenir le binôme de Newton, montrer que pour tout entier $k \in \llbracket 0,~p - 1\rrbracket$ on a :
		
\[pa_{k} = \displaystyle\sum_{i=0}^{k} \binom{p - i}{k + 1 - i}a_{i}\]

		\item En déduire que $a_{1} = \binom{p}{2}$ et que pour tout entier $k \in \llbracket 2,~ p - 1\rrbracket$ on a :

\[ka_{k} = \binom{p}{k + 1} + \displaystyle\sum_{i=1}^{k - 1} \binom{p - i}{k + 1 - i}a_{i}\]

		\item En déduire le théorème de Lagrange :
 
\og Si $p$ est un entier premier impair et si $f(x) = \displaystyle\prod_{k = 1}^{p - 1} (x + k)  = \displaystyle\sum  a_{k} x^{p - 1 - k}$ alors les coefficients $a_{1}, a_{2}, \ldots ,a_{p-2}$ sont divisibles par $p$ \fg. 

\emph{On pourra raisonner par récurrence.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\begin{center}\textbf{Partie B : théorème de Wilson} \end {center}

On se propose de démontrer la propriété suivante, connue sous le nom de \og théorème de Wilson \fg{} : si $p$ est un entier premier alors $(p - 1)! \equiv  -1 \quad (\bmod p)$. 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Vérifier que la propriété est vraie pour $p = 2$.
\item $p$ est maintenant un entier premier impair.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que:

\[p! = 1 + \displaystyle\sum_{k = 1}^{p - 2} a_{k} + (p - 1)!\]

(\emph{les entiers $\left(a_{i}\right)_{i\in \llbracket1,~p-2\rrbracket}$ sont ceux définis à la question A 3 b})
		\item En déduire que $(p - 1)! \equiv - 1\quad  (\bmod p)$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que la réciproque du théorème de Wilson est vraie. 
\item On se propose d'étudier ce que devient le théorème de Wilson pour les entiers non premiers strictement supérieurs à 4.
	\begin{enumerate}
		\item On suppose que $n > 4$ et que la décomposition en produit de facteurs premiers de $n$ comprend au moins deux facteurs premiers distincts.
		
Montrer que $(n - 1)! \equiv 0 \quad (\bmod n)$.
		\item On suppose que $n > 4$ et que $n = p^{\alpha}$ où $p$ est un entier premier et $a$ est un entier strictement supérieur à $2$. Montrer que $(n - 1)! \equiv 0 \quad (\bmod n)$.
		\item On suppose que $n > 4$ et que $n = p^2$ où $p$ est un entier premier. Montrer que $1 < 2p < n$ et en déduire que $(n - 1)! \equiv  0 \quad (\bmod n)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie C : théorème de Wolstenholme}\end{center}

Pour tout entier $n \geqslant 1$, on considère le rationnel:

\[H_{n} = \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}\]

On désigne par $s_{n}$ et $t_{n}$ les deux entiers naturels tels que :

\[H_{n} = \dfrac{s_{n}}{t_{n}} \quad \text{et} \quad \text{pgcd} \left(s_{n},~t_{n}\right) = 1\]

\begin{enumerate}
\item Écrire un algorithme permettant d'obtenir pour $n$ allant de $2$ à $10$ les entiers $s_{n}$ et $t_{n}$ (on supposera qu'on dispose d'une instruction pgcd$(a,~b)$ qui renvoie le plus grand commun diviseur de deux entiers $a$ et $b$).
\item Calculer $s_{4}, s_{6}$ et $s_{10}$ et vérifier que ces entiers sont divisibles respectivement par $5^2, 7^2$ et $11^2$.

\hspace{-0,5cm}Dans la suite, $p$ désigne un nombre premier strictement supérieur à 3.

\hspace{-0,5cm} On se propose de démontrer que l'entier $s_{p - 1}$ est divisible par $p^2$ (théorème de Wolstenholme).

\item Montrer que $H_{p-1} = \dfrac{a_{p - 2}}{(p - 1)!}$ où $a_{p-2}$ est défini comme à la partie A. \emph{On pourra utiliser une relation liant les racines d'un polynôme et l'un de ses coefficients}.
\item Déduire de l'écriture de $f(- p)$ que : 

\[a_{p-2} = p^{p - 2} - a_{1}p^{p-3} + \ldots + a_{p - 3}p\]

\item Conclure.
\end{enumerate}
\end{document}