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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{CAPES externe}}
\rfoot{\small{19 juin 2013}}
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\begin{center}
{\Large \textbf{CAPES épreuve 1 session 2013}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\hrule

\begin{center}{\large Problème 1 : nombres irrationnels }\end{center}

\hrule

\medskip

\emph{L'ensemble des nombres rationnels est noté $\Q$.\\
On rappelle que tout nombre rationnel non nul peut s'écrire sous la forme $\dfrac{p}{q}$, où $p$ et $q$ sont des entiers relatifs premiers entre eux.\\
Un nombre réel est dit irrationnel s'il n'appartient pas à $\Q$.\\
Dans ce problème, on se propose de démontrer l'irrationalité de quelques nombres réels.\\
Les trois parties de ce problème sont indépendantes.}

\begin{center}\textbf{Partie A : quelques exemples de nombres irrationnels} \end{center}

\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel. Démontrer que si $\sqrt{n}$ n'est pas entier, alors il est irrationnel.
\item En déduire que si $p$ désigne un nombre premier, alors $\sqrt{p}$ est irrationnel.
\item Démontrer que le nombre $\dfrac{\ln 2}{\ln 3}$ est irrationnel.
\item On rappelle que $\text{e} = \displaystyle\sum_{k=0}^{+ \infty} \dfrac{1}{k!}$. On se propose de démontrer que le nombre e est un nombre irrationnel.

Pour cela, on fait l'hypothèse qu'il existe $p$ et $q$, entiers naturels non nuls, tels que e $= \dfrac{p}{q}$ et on démontre que cette hypothèse conduit à une contradiction.

Pour tout entier naturel $n$, on pose :

\[u_{n}= \displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!}\quad \text{et} \quad 
v_{n} = u_{n} + \dfrac{1}{n \times n!}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les suites $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ et $\left(v_{n}\right)_{n \in \N}$ sont adjacentes, puis montrer que :

\[u_{q} < \text{e} \leqslant v_{q}\]

		\item Aboutir à une contradiction en multipliant les termes de cet encadrement par $q! \times q$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{Partie B : une preuve de l'irrationalité de \boldmath $\pi$ \unboldmath}\end{center}

On se propose ici de démontrer que le nombre $\pi$ est un nombre irrationnel.

Pour cela, on fait l'hypothèse qu'il existe $a$ et $b$, entiers naturels non nuls, tels que $\pi = \dfrac{a}{b}$ et on démontre que cette hypothèse conduit 
à une contradiction.

Étant donnés un entier naturel non nul $n$ et un réel $x$, on pose :

\[P_{n}(x) = \dfrac{x^n(a - bx)^n}{n!}\quad \text{et} \quad P_{0}(x) = 1.\]

Étant donné Un entier naturel $n$, on pose :

\[I_{n} = \int_{0}^{\pi} P_{n}(x)\:\text{d}x\]

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Pour un entier naturel $n$ non nul, exprimer la dérivée de $P_{n}$ en fonction de $P_{n-1}$.
		\item Calculer $\displaystyle\sup_{x \in [0~;~\pi]} \left|P_{n}(x)  \right|$ en fonction de $a, b$ et $n$.
		\item Démontrer que:

\[\forall n \in \N,\quad \forall x \in \R, \quad P_{n}\left(\dfrac{a}{b} - x \right) = P_{n}(x).\]

		\item Démontrer que:

\[\forall n \in \N,\quad I_{n} > 0.\]

		\item Après avoir justifié que la suite de terme général $\dfrac{\pi}{n}\left(\dfrac{a^2}{4b} \right)^n$ 	tend vers $0$, démontrer la convergence de la suite $\left(I_{n}\right)_{n \in \N}$ et déterminer sa limite.
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $k$, la dérivée d'ordre $k$ de $P_{n}$ est notée $P_{n}^{(k)}$. Par définition, $P_{n}^{(0)} = P_{n}$.

En distinguant les trois cas suivants, démontrer que $P_{n}^{(k)}(0)$ et $P_{n}^{(k)}\left(\dfrac{a}{b}\right)$ sont des entiers relatifs:
	\begin{enumerate}
		\item $0 \leqslant k \leqslant n - 1$
		\item $n \leqslant k \leqslant 2n$
		\item $k \geqslant 2n + 1$

Pour le cas b, on pourra utiliser la relation entre $P_{n}^{(k)}(0)$ et le coefficient de $x^k$ dans $P_{n}(x)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $I_{n}$ est un entier relatif. On pourra procéder par intégrations par parties successives.
		\item Conclure quant à l'hypothèse $\pi = \dfrac{a}{b}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{Partie C : développement en série de Engel et applications} \end{center}

\begin{enumerate}
\item Soit $\left(a_{n}\right)_{n \in \N}$ une suite croissante d'entiers telle que $a_{0} \geqslant 2$. Démontrer que la suite $\left(S_{n}\right)_{n \in \N}$ définie par :

\[\forall n \in \N \quad S_{n} = \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{a_{0} \cdots a_{k}}\]

est convergente de limite inférieure ou égale à $\dfrac{1}{a_{0} - 1}$.

\textbf{Si \boldmath $x$ \unboldmath désigne la limite de la suite \boldmath$\left(S_{n}\right)_{n \in \N}$\unboldmath \: on dit que \boldmath$x$\unboldmath \: admet un développement en série de Engel.}

\medskip

On notera $x = \left[a_{0}, \cdots, a_{n}, \cdots\right]$.
\item Soit $x \in ]0~;~1]$. On définit deux suites $\left(x_{n}\right)_{n \in \N}$ et $\left(a_{n}\right)_{n \in \N}$ en posant $x_{0} = x$ et :

\[\forall n \in \N \quad a_{n} = 1 + \text{E}\left(\dfrac{1}{x_{n}}\right)\quad  \text{et}\quad  x_{n+1} = a_{n}x_{n} - 1\:\: \text{où E désigne la fonction partie entière.}\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les suites $\left(x_{n}\right)_{n \in \N}$ et $\left(a_{n}\right)_{n \in \N}$ sont bien définies. 
		\item Démontrer que la suite $\left(x_{n}\right)_{n \in \N}$ est décroissante.
		\item Démontrer que la suite $\left(a_{n}\right)_{n \in \N}$ est croissante et que $a_{0} \geqslant 2$.
		\item En reprenant les notations de la question 1, démontrer que: 

\[\forall n \in \N \quad x = S_{n} + \dfrac{x_{n+1}}{a_{0} \cdots a_{n}}\]

En déduire que $x$ admet un développement en série de Engel.
	\end{enumerate}
\item On suppose qu'il existe deux suites distinctes croissantes d'entiers $\left(a_{n}\right)_{n \in \N}$ et $\left(b_{n}\right)_{n \in \N}$ telles que $a_{0} \geqslant 2, b_{0} \geqslant 2$ et :

\[\forall n \in \N \quad \left[a_{0} , \cdots , a_{n}, \cdots \right] = \left[b_{0} , \cdots , b_{n}, \cdots \right]\]

On pose $n_{0} = \min \{n \in \N | a_{n} \neq b_{n}\}$
 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\left[a_{n_{0}}, \cdots, a_{n}, \cdots \right] = \left[b_{n_{0}}, \cdots, b_{n}, \cdots \right]$.
		\item Démontrer que si $x = \left[a_{n_{0}}, \cdots, a_{n}, \cdots \right]$ alors $a_{0}x - 1 \leqslant x$ et en déduire que $a_{0} = 1 + \text{E}\left(\dfrac{1}{x} \right)$.
		\item En déduire l'unicité du développement en série de Engel d'un réel donné dans l'intervalle $]0~;~1]$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer le réel dont le développement en série de Engel est associé à :
	\begin{enumerate}
		\item une suite $\left(a_{n}\right)_{n \in \N}$ constante égale à $c \:(c \geqslant 2$).
		\item la suite $\left(a_{n}\right)_{n \in \N}$ définie par : $\forall n \in \N, \: a_{n} = n + 2$.
		\item la suite $\left(a_{n}\right)_{n \in \N}$ définie par : $\forall n \in \N, \: a_{n} = (2n + 1)(2n + 2)$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer le développement en série de Engel du nombre ch$\left(\sqrt{2}\right) - 2$. 
\item Démontrer que $x \in ]0~;~1]$ est rationnel si et seulement si la suite 
$\left(a_{n}\right)_{n \in \N}$ de son développement en série de Engel est stationnaire.

Pour le sens direct, on pourra commencer par procéder à la division euclidienne du dénominateur de $x$ par son numérateur.
\end{enumerate}

\bigskip

\hrule

\begin{center}{\large Problème 2 : statistiques et probabilités}\end{center}

\hrule

\bigskip

\begin{center}\textbf{Partie A : deux indicateurs de dispersion}\end{center}

\emph{En 1801, un astronome italien, Piazzi découvre une nouvelle planète Cérès, qu'il perd bientôt de vue. Le problème posé alors aux scientifiques est le suivant : comment, à partir d'une série de résultats d'observations effectuées par différents astronomes, choisir une valeur qui se rapproche le plus possible de la \og vraie position \fg{} et prédire ainsi le futur passage de Cérès. Deux options s'affrontent : celle de Laplace, qui propose de minimiser les valeurs absolues des écarts et celle de Gauss et Legendre, qui proposent de minimiser les carrés des écarts.}

\medskip
 
Dans cette partie, $n$ désigne un entier naturel non nul et $\left(x_{1},~\cdots,~x_{n}\right)$, un $n$-uplet de réels.

On définit sur $\R$ les deux fonctions $G$ et $L$ par :

\[\begin{array}{l c l}
G(X) &=& \displaystyle\sum_{i=1}^n \left(x - x_{i}\right)^2\\
L(x) &=& \displaystyle\sum_{i=1}^n \left|x - x_{i} \right|
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item \textbf{Minimisation de \boldmath$G$ \unboldmath} 
	\begin{enumerate}
		\item En écrivant $G(x)$ sous la forme d'un trinôme du second degré, démontrer que la fonction $G$ admet un minimum sur $\R$ et indiquer pour quelle valeur de $x$ il est atteint. 
		\item Que représente d'un point de vue statistique la valeur de $x$ trouvée à la question 1 b ?
	\end{enumerate}
\item \textbf{Minimisation de \boldmath $L$ \unboldmath}

On supposera dans cette question que la série est ordonnée, c'est-à-dire que: 
$x_{1} \leqslant  x_{2} \leqslant \cdots \leqslant   x_{n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter graphiquement la fonction $L$ dans le cas où : 

$n = 3, x_{1} = - 2, x_{2} = 3, x_{3} = 4$
		\item Représenter graphiquement la fonction $L$ dans le cas où : 

$n = 4, x_{1} = -2, x_{2}= 2, x_{3} = 4, x_{4} = 7$
		\item Démontrer que la fonction $L$ admet un minimum $m$ sur $\R$ et indiquer pour quelle(s) valeur(s) de $x$ il est atteint.

On distinguera les cas $n$ pair et $n$ impair.
		\item Que représentent d'un point de vue statistique les valeurs de $x$ trouvées à la question \textbf{2. c.} ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\emph{Le 7 décembre 1801, Cérès sera observée à l'endroit privu par les calculs de Gauss. Il prolongera ce travail en établissant, grâce à la théorie des probabilités, que la répartition des erreurs suit une loi normale.}

\bigskip

\begin{center}\textbf{Partie B : théorie de l'information, le cas discret} \end{center}

\emph{La théorie de l'information est un modèle mathématique créé par Claude Shannon en 1948, qui vise à quantifier mathématiquement la notion d'incertitude. Elle a depuis connu des développements aussi bien en statistique qu'en physique théorique ou en théorie du codage.}

\bigskip

On se place dans cette partie dans un espace probabilisé $\left(\Omega, \mathcal{A}, P\right)$.

Étant donné un entier naturel non nul $n$, on considère un système complet d'évènements $A = \{A_{1}, \cdots, A_{n}\}$ de probabilités respectives 
$\left(p_{1}, \cdots, p_{n}\right)$ toutes non nulles.

On définit l'entropie de ce système par le nombre: 

\[H(A) = - \sum_{k=1}^n  p_{k} \ln p_{k}\]

Ce nombre quantifie l'incertitude, tandis que son opposé quantifie la quantité d'information. L'entropie doit être maximale lorsqu'aucune hypothèse ne peut être privilégiée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Deux exemples}

On se place ici dans le cas $n = 4$.

Quatre chevaux sont au départ d'une course, et on note $A_{i}$ l'évènement : \emph{Le cheval numéro $i$ remporte la course}. Calculer dans chacun des cas suivants l'entropie du système. 
	\begin{enumerate}
		\item $p_{1} = p_{2}= p_{3} = p_{4}$
		\item $p_{1} = \dfrac{1}{8}, p_{2} = \dfrac{1}{8}, p_{3} = \dfrac{1}{4}, p_{4} = \dfrac{1}{2}$
	\end{enumerate}
On va à présent établir la propriété générale suivante :
 
l'entropie est maximale lorsqu'aucune hypothèse ne peut être privilégiée, c'est-à-dire lorsqu'il y a équiprobabilité.
\item \textbf{Cas $n = 2$}

On considère un système complet $A = \{A_{1}, A_{2}\}$.

On pose $p_{1} = p$ et $p_{2} = 1 - p$.

Démontrer que l'entropie est maximale lorsque les deux évènements $A_{1}$ et $A_{2}$ sont équiprobables.
\item \textbf{Cas général}
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{Un résultat préliminaire : l'inégalité de Jensen}

Soit $f$ une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle $I$. On dit que $f$ est convexe sur $I$ si :

\[\forall(x,~y) \in  I^2, \forall \lambda \in [0~;~1], ~f(\lambda x + (1 - \lambda)y) \leqslant \lambda f(x) + (1 - \lambda)f(y)\]
 
On considère une fonction $f$ convexe sur $I, \left(x_{1}, \cdots , x_{n}\right) \in I^n, \left(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}\right) \in  \R_{+}^n$ avec $\displaystyle\sum_{k=1}^n \lambda_{k} = 1$
 
Démontrer que :

\[f\left(\sum_{k=1}^n \lambda_{k} x_{k} \right) \leqslant \sum_{k=1}^n \lambda_{k} f\left(x_{k}\right)\]

\emph{On pourra procéder par récurrence sur $n$, en remarquant que si $\lambda_{n} \neq 1$ :} 

\[\sum_{k=1}^n \lambda_{k} x_{k} = \lambda_{n} x_{n} + \left(1 - \lambda_{n}\right) \left(\sum_{k=1}^{n - 1} \dfrac{\lambda_{k}}{1 - \lambda_{n}} \right)\]

		\item On admet le théorème suivant :

si $f$ est deux fois dérivable sur $I$, $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f''$ est positive sur $I$.

Démontrer que la fonction $x \longmapsto x \ln x$ est convexe sur $]0~;~1[$.
		\item Démontrer que $H(A) \leqslant  \ln n$. Conclure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{Partie C : théorie de l'information, le cas continu} \end{center}

Soit $f$ une fonction à valeurs réelles définie et continue sur $\R$. On rappelle que $f$ est une densité de probabilité sur $\R$ si $f$ est positive, intégrable sur $\R$, et que $\displaystyle\int_{\R} f = 1$ 

Lorsqu'en plus $f \ln f$ est intégrable, on définit l'entropie associée à $f$ par :

\[H(f) = - \int_{- \infty}^{+ \infty} f(x)\ln(f(x))\:\text{d}x\]

On désigne par $\mathcal{H}$ l'ensemble des densités de probabilités qui possèdent une entropie. Le but de cette partie est de déterminer quelle densité maximise l'entropie, c'est-à-dire correspond à la quantité minimale d'information.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Deux exemples}

On admet que les deux fonctions suivantes sont des densités de probabilité. Calculer l'entropie associée à chacune d'elles. 

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item $g$ définie sur $\R$ par $g(t) = \dfrac{\text{e}^{- \frac{t^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}}$.
		\item $h$ définie par $h(t) = \lambda \text{e}^{- \lambda t}$  si $t \geqslant  0, h(t) = 0$ sinon, où $\lambda$ est un réel strictement positif.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Deux résultats préliminaires}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tous réels strictement positifs $x$ et $y$ :
		\[x \ln y \leqslant x \ln x + y - x \quad \text{et}\quad x\ln y = x \ln x + y - x \iff x = y\]

		\item Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a~;~b]$, avec $a < b$. Démontrer que :

\[\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x = 0 \Rightarrow \forall x \in  [a~;~b],~f(x) = 0\]

On pourra procéder par contraposition.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Une maximisation d'entropie sous contrainte de moyenne et de variance}

On s'intéresse dans cette question aux fonctions de $\mathcal{H}$ d'espérance nulle et de variance égale à $1$, c'est-à-dire telles que :

$\bullet~~t \longmapsto tf(t)$ est intégrable sur $\R$ d'intégrale nulle

$\bullet~~t \longmapsto t^2 f(t)$ est intégrable sur $\R$ d'intégrale égale à 1. 

On appelle $\mathcal{N}$ cet ensemble.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $g \in \mathcal{N}$, où $g$ désigne la fonction définie à la question 1. a.
		\item Soit $f$ un élément de $\mathcal{N}$. Démontrer que : 

\[- \int_{- \infty}^{+ \infty} f(x)\ln (g(x))\:\text{d}x = H(g)\]

		\item En utilisant les résultats de la question 2, démontrer que:

$\bullet~~H(J) \leqslant H(g)$

$\bullet~~H(J) = H(g) \iff f = g$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}