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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small }
\lfoot{\small{CAPES externe}}
\rfoot{\small{17 novembre 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
{\Large \textbf{CAPES épreuve 2 session 2012}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}{\large DEUXIÈME COMPOSITION}\end{center}

\hrule

\begin{center}{\large Problème 1 : anneau  $\left(\Z/n\Z,\:+,\: \times \right)$}\end{center} 

\hrule

\vspace{1cm}

Notations :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\star~~$] Pour un ensemble fini $F$, on note card($F$) son cardinal.
\item[$\star~~$] Pour $n \in \N$ tel que $n > 1$, on note $\mathcal{I}_{n}$ l'ensemble des éléments inversibles de l'anneau $\left(\Z/n\Z,\:+,\: \times \right)$ et $\mathcal{N}_{n}$ l'ensemble des éléments non inversibles.
\item[$\star~~$] Pour $a$ et $b \in \Z$, \og $a$ divise $b$ \fg{} est noté $a|b$, ce qui équivaut à : $\exists k \in \Z,\: b = ka$.
\item[$\star~~$] Pour $a$ et $b \in \Z$, le plus grand commun diviseur dans $\N$ de $a$ et $b$ est noté $a \wedge b$.
\item[$\star~~$] Pour $a \in \Z$ et $n \in \N^{\star}$, on désigne par $\overline{a}$ la classe de $a$ dans l'ensemble quotient $\left(\Z/n\Z,\:+,\: \times \right)$.

\setlength\parindent{0mm}

Rappels : on considère $(G,\:.)$ un groupe fini d'élément neutre 1$_{G}$.
\setlength\parindent{6mm}

\item[$\star~~$] Soit $a \in G$. On appelle ordre de $a$, que l'on note $\omega(a)$, le plus petit élément de l'ensemble $\left\{k \in \N^{\star} /   a^k = 1_{G}\right\}$.

On a alors : $0 < \omega(a) \leqslant  \text{card}(G)\: \text{et}\: a^{\omega(a)} = 1_{G}$.

\item[$\star~~$] Le groupe $G$ est cyclique si et seulement si il existe $a \in G$ tel que 

card$(G) = \omega(a)$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\textbf{Éléments inversibles de l'anneau }\boldmath $\left(\Z/n\Z,\: +,\: \times \right)$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soient $a \in Z$ et $n \in N$ tels que $n > 1$. Démontrer que $a$ est inversible dans $\left(\Z/n\Z,\: +,\: \times \right)$ si et seulement si $a \wedge n = 1$.
 \item Soit $n \in \N$ tel que $n > 1$. Montrer que $\left(\mathcal{I}_{n},\: \times \right)$ est un groupe commutatif.
\item Sans justification, énumérer, dans un tableau ayant deux rangées, les éléments de $\mathcal{I}_{10}$ avec leurs ordres. Ce groupe $\left(\mathcal{I}_{10},\:\times\right)$ est-il cyclique ?
\item Sans justification, énumérer, dans un tableau ayant deux rangées, les éléments de $\mathcal{I}_{12}$ avec leurs ordres. Ce groupe $\left(\mathcal{I}_{12},\:\times\right)$ est-il cyclique ?
\item Pour les algorithmes demandés, on utilisera uniquement les opérations $\times$, +, $\wedge$ et la fonction de deux variables \texttt{reste} où \texttt{reste}$(a, b)$ donne le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ pour $a \in \N$ et $b \in \N^{\star}$.

On pourra également utiliser des boucles de type 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item \texttt{for}
\item \texttt{while}
\item et la construction \texttt{if ... then ... else ....}
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On précisera le logiciel de calcul formel ou le modèle de calculatrice utilisé.

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Écrire une procédure \texttt{Test} (~ ,~ ) ayant comme arguments deux entiers naturels $k$ et $n$ avec $n > 1$ affichant \og 1 \fg{} si $k \in \mathcal{I}_{n}$ et \og 0 \fg{} sinon.
		\item Écrire une procédure \texttt{Card}( ) ayant comme argument un entier $n$ avec $n > 1$ affichant le cardinal de $\mathcal{I}_{n}$.
		\item Écrire une procédure \texttt{Ord}(~,~ ) ayant comme arguments deux entiers naturels $k$ et $n$ avec $n > 1$ affichant la valeur de $\omega(k)$, l'ordre de $k$ dans $\left(\mathcal{I}_{n},\: \times \right)$, si $k \in \mathcal{I}_{n}$ et \og Erreur \fg{} sinon.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Éléments non inversibles de l'anneau $\left(\Z/n\Z,\: +,\: \times \right)$}

Soit $n \in \N$. On dit que $n$ est primaire lorsqu'il existe un nombre premier $p$ et $\alpha \in \N^{\star}$ tels que $n = p^{\alpha}$.

\begin{enumerate}
\item[\textbf{6.}] Soit $n \in \N$ tel que $n > 1$ et $n$ ne soit pas primaire.
	\begin{enumerate}
		\item Établir qu'il existe deux entiers, que l'on notera $n_{1}$ et $n_{2}$, tels que 

$n = n_{1}n_{2},\: 1 < n_{1} < n$ et $n_{1} \wedge n_{2} = 1$.

On pourra utiliser la décomposition en produit de facteurs premiers de $n$.
		\item Montrer alors que $\left(n_{1} + n_{2}\right) \wedge n = 1$.
		\item Établir également que : $\overline{n_{1}} \notin  \mathcal{I}_{n}$ et $\overline{n_{2}} \notin  \mathcal{I}_{n}$.
	\end{enumerate}
\item On considère $p$ un nombre premier et $\alpha \in \N^{\star}$.
 
Soit $k \in \Z$. Prouver que : $\overline{k} \in \mathcal{N}_{p^{\alpha}} \iff p|k$.
\item Soit $n \in \N$ tel que $n > 1$.
 
Démontrer que $\mathcal{N}_{n}$ est un sous-groupe de $\left(\Z/n\Z,\: +\right)$ si et seulement si $n$ est primaire.
\end{enumerate}

\bigskip

\hrule

\begin{center}{\large Problème 2 : isométries du plan et de l'espace}\end{center}

\hrule

\bigskip

On considère $E = \R^n$ (avec $n \in \{2~;~ 3\}$) muni de sa structure canonique d'espace vectoriel euclidien.

Rappels et notations :
 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Pour un ensemble fini $F$, on note card($F$) son cardinal.
\item[$\bullet~~$] $E$ est muni canoniquement d'une structure affine.
\item[$\bullet~~$] Une application affine de $E$ est une application $f : E \longrightarrow E$ telle qu'il existe une application linéaire $\varphi : E \longrightarrow E$ vérifiant: pour tout $(A,~ B) \in E^2,$

$\vect{f(A)f(B)} = \varphi \left(\vect{AB}\right)$.

$f$ étant donnée, l'application $\varphi$ est unique, elle est appelée \emph{partie linéaire} de $f$ et on la note $\vect{f}$.
\item[$\bullet~~$] Une isométrie de $E$ est une application $f : E \longrightarrow E$ vérifiant :

\[\text{pour tout}\quad  (A,~ B) \in E^2,\: f(A)f(B) = AB.\]

\item[$\bullet~~$] Une isométrie de $E$ est une application affine de $E$. 
\item[$\bullet~~$] Si $f$ est une isométrie de $E$, on dit que $f$ est un déplacement de $E$ lorsque

det $\left(\vect{f}\right) > 0$.
\item[$\bullet~~$] On note $Is(E)$ l'ensemble des isométries de $E,\: Is^+(E)$ l'ensemble des déplacements et $Is^{-}(E) = Is(E) \backslash Is^+(E)$.
\item[$\bullet~~$] L'image d'une droite (resp. d'un plan) de $E$ par une isométrie de $E$ est une droite (resp. un plan).
\item[$\bullet~~$] Une isométrie de $E$ est une bijection de $E$ sur $E$. 
\item[$\bullet~~$] $(Is(E),~\circ)$ est un groupe et $Is^+(E)$ est un sous-groupe de $(Is(E),~\circ)$. 
\item[$\bullet~~$] Si $f \in Is^{-}(E)$ et $g \in Is^{-}(E)$, alors $f \circ g \in Is^+(E)$.
\item[$\bullet~~$] Si $f \in Is^+(E)$ et $g \in Is^{-}(E)$, alors $f \circ g \in Is^-(E)$.
\item[$\bullet~~$] Pour une isométrie $f$ de $E$, on note $f^0 = \text{Id}_{E}$ l'application identité de $E,$

$ f^1 = f,\: f^2 = f \circ f$ et $f^{-1}$ la bijection réciproque de $f$.
\item[$\bullet~~$] On considère $F$ une partie non vide de $E$. On note $G(F)$ (respectivement $G^+(F)$) l'ensemble des isométries (respectivement déplacements) de $E$ laissant globalement invariant l'ensemble $F$.

Ainsi pour tout $f \in Is(E)$ on a : $f \in G(F) \iff  f(F) = F$. 

De plus, on a : $G^+(F) = G(F) \cap Is^+(E)$. 

On définit enfin $G^-(F) = G(F) \backslash G^+(F)$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}\textbf{Partie A : généralités}\end{center}

\begin{enumerate}
\item Soit $f \in Is(E)$.

Établir que $f \in G(F)$ si et seulement si pour tout $M \in F$, on a $\left\{\begin{array}{l}
f(M) \in F\\
f^{- 1}(M) \in F
\end{array}\right.$
\item Montrer que $G(F)$ et $G^+(F)$ sont des sous-groupes de $(Is(E),\: \circ)$.
\item Soit $s \in  Is(E)$ telle que $s$ soit une symétrie.

Établir que $s \in G(F)$ si et seulement si pour tout $M \in F$, on a $s(M) \in F$.

\emph{On rappelle qu'une symétrie $\sigma$ de $E$ est une application affine telle que }$\sigma \circ \sigma = \text{Id}_{E}$.
\item On suppose qu'il existe $\varphi \in G^-(F)$. On note $\Phi : \left\{\begin{array}{l c l}
G^+(F) 	&\longrightarrow	&G^-(F)\\
f		&\longmapsto	& \varphi \circ f.
\end{array}\right.$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $\varphi$ est une application bien définie.
		\item Montrer que $\varphi$ est une bijection.
Démontrer que si $G(F)$ est fini alors card$(G(F)) = \text{card} (G^+(F))$ ou card$(G(F)) = 2 \text{card} (G^+(F))$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie B :} exemples dans le plan euclidien \end{center}

Dans cette partie, on se place dans le cas où $n = 2$ et on désigne par $\mathcal{P}$ le plan $\R^2$ orienté.

\emph{On rappelle que $Is^+(\mathcal{P})$ est constitué des rotations et des translations et que les réflexions (symétries orthogonales par rapport à des droites) sont des éléments de }$Is^-(\mathcal{P})$.

\medskip

\textbf{Un singleton}

Soit $\Omega$ un point du plan $\mathcal{P}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère une application $f \in Is^{-}(\mathcal{P})$ telle que $f(\Omega) = \Omega$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'il existe $I \in \mathcal{P}$ tel que $f(I) \neq I$. On appelle $r$ la réflexion ayant pour axe la médiatrice de $[I, f(I)]$. 
		\item Montrer que $r(\Omega) = \Omega$ puis que $r \circ f  = \text{Id}_{\mathcal{P}}$.
		\item En déduire que $f$ est une réflexion.
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que les éléments de $G(\{\Omega\})$ sont les rotations de centre $\Omega$ et les réflexions d'axe passant par $\Omega$.

\medskip

\textbf{Une paire}

On considère une paire de points du plan, $\mathcal{U} = \{P_{1},\: P_{2}\}$ où $P_{1} \neq P_{2}$.

On note $I$ le milieu du segment $\left[P_{1},~ P_{2}\right]$.
\item Soit $f \in G(\mathcal{U})$. Montrer que $f(I) = I$.
\item Soit $f  \in G^+(\mathcal{U})$ tel que $f \neq \text{Id}_{\mathcal{P}}$. Prouver que $f$ est la symétrie centrale de centre $I$.
\item Montrer alors que $G(\mathcal{U})$ est formé de quatre éléments : $\text{Id}_{\mathcal{P}}$, la symétrie centrale de centre $I$ et deux réflexions.

\textbf{Une ellipse}

On munit le plan $\mathcal{P}$ d'un repère orthonormé direct \Oij. Les axes de coordonnées sont notés : (O$x$) et (O$y$).

On considère l'ellipse $\Gamma$ d'équation : $\dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ avec $0 < b < a$.

On note A$(a~;~0)$ et A$'(-a~;~0)$ les sommets principaux de l'ellipse $\Gamma$. On note $s$ la symétrie centrale de centre O, $r_{1}$ la réflexion d'axe (O$x$) et $r_{2}$ la réflexion d'axe (O$y$), de sorte que, d'après ce qui précède :

\[G\left(\left\{\text{A},\:\text{A}'\right\}\right) = \left\{\text{Id}_{\mathcal{P}}, s, r_{1}, r_{2}\right\}\]

\item Soit $M \in  \mathcal{P}$ de coordonnées $(x~;~y)$. Donner les coordonnées des points $s(M),\:r_{1}(M)$ et $r_{2}(M)$. 
\item Montrer alors que $G\left(\left\{A,~ A'\right\}\right) \subset  G(\Gamma)$.

On note $\Delta = \{M \in \mathcal{P}/  \text{O}M \leqslant a\}$ le disque fermé de centre O et de rayon $a$ et $\Lambda$ le cercle de centre O et de rayon $a$. 
\item Pour $a = \sqrt{3}$ et $b = 1$, représenter sur un même graphique l'ellipse $\Gamma$ et le cercle $\Lambda$.
\item Établir que $\Gamma  \subset \Delta$.
\item Montrer que $\Gamma \cap  \mathbf{\Lambda} = \left\{A,~ A'\right\}$. 
\item Soient $P$ et $P'$ deux points de $\Gamma$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que : $PP' \leqslant  2a$.
		\item Établir de plus que : $PP' = 2a \iff \left\{P,~ P'\right\} = \left\{A,~ A'\right\}$.
	\end{enumerate}
\item En déduire que : $G(\Gamma) = G\left(\left\{A,~ A'\right\}\right)$. 

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} {\large Partie C : étude d'isométries de l'espace}\end{center}

\medskip

Pour la fin du problème, on se place dans le cas où $n = 3$. On désigne par $\mathcal{E}$ l'espace $\R^3$ orienté muni d'un repère orthonormé direct : $\mathcal{R} =$ \Oijk. Les axes de coordonnées sont notés (O$x$), (O$y$) et (O$z$).

On rappelle qu'un automorphisme $u$ de $\mathcal{E}$ est orthogonal si et seulement si pour tout $\vect{x} \in \mathcal{E}$ :
$\left\|\vect{u}\left(\vect{x}\right)\right\| = \left\|\vect{x}\right\|$ où $\|~.~\|$ désigne la norme euclidienne de $\mathcal{E}$.

$O(\mathcal{E})$ désigne l'ensemble des automorphismes orthogonaux de $\mathcal{E}$. 

On rappelle qu'une matrice $A \in \mathcal{M}_{3}(\R)$ est orthogonale si et seulement si $^tAA = I_{3} = A^tA$ où $^tA$ désigne la transposée de la matrice $A$.
 
L'ensemble des matrices orthogonales (resp. orthogonales de déterminant 1) est noté $O_{3}(\R)$ (resp. $SO_{3}(\R)$).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $f \in Is(\mathcal{E})$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\vect{f} \in O(\mathcal{E})$.

On note alors $A$ la matrice de $\vect{f}$ dans la base orthonormale directe $\left(\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$,  $X,\: X'$ et $B$ les matrices colonnes respectives des coordonnées des points $M(x~;~y~;~z),\: M'(x'~;~y'~;~z')$ et $f(\text{O})(\alpha,\:\beta,\: \gamma)$ dans le repère $\mathcal{R}$.
		\item Montrer que : $f(M) = M' \iff  X' = AX + B$.

(C'est l'expression analytique de $f$ relativement au repère $\mathcal{R}$.) 
		\item Montrer que : $A \in O_{3}(\R)$ puis que : $f \in Is^+(\mathcal{E})$ si et seulement si $A \in SO_{3}(\R)$.
	\end{enumerate}
Pour $i \in \{0~;~1~;~2~;~3\}$ on considère les matrices carrées :

\[A_{0} = \begin{pmatrix}1& 0& 0\\0& 1& 0\\0& 0& 1 \end{pmatrix}, \:A_{1} = \begin{pmatrix}-1& 0&0\\0& -1& 0\\0& 0& 1\end{pmatrix},\:A_{2} = \begin{pmatrix}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& - 1\end{pmatrix} \:\text{et}\:A_{3} =\begin{pmatrix}1& 0& 0\\  0& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{pmatrix}\]

\item Justifier que pour $i \in \{0~;~1~;~2~;~3\}$, on a $A_{i} \in O_{3}(\R)$. 
\item Pour quelles valeurs de $i \in \{0~;~1~;~2~;~3\}$, a t-on $A_{i} \in SO_{3}(\R)$ ?

Soit $\lambda \in \R$. On considère la matrice colonne $B_{\lambda} = \begin{pmatrix}0\\0\\\lambda\end{pmatrix}$  et on définit les applications $t_{\lambda},\: v_{\lambda},\: s$ et $r$ 
de $\mathcal{E}$ dans $\mathcal{E}$ par leur expression analytique : 

\[t_{\lambda} : X' = X + B_{\lambda}, \quad v_{\lambda} : X' = A_{1}X + B_{\lambda}, \quad s : X' = A_{2}X, \quad r : X' = A_{3}X\]

De plus, on note $v = v_{0}$.

On rappelle que $Is^+(\mathcal{E})$ est constitué des translations, des rotations axiales et des vissages. Les réflexions de $\mathcal{E}$ (symétries orthogonales par rapport à un plan) sont des éléments de $Is^-(\mathcal{E})$.
\item Sans justification, donner la nature des transformations $t_{\lambda},\: v,\: s$ et $r$ ainsi que leur(s) élément(s) caractéristique(s).
\item Montrer que $v_{\lambda} = v \circ t_{\lambda} = t_{\lambda}  \circ v$ et reconnaître cette transformation en précisant ses éléments caractéristiques.

\emph{On pourra utiliser un calcul matriciel}.

\item Soient $\gamma$ et $\delta \in \R$. Montrer que $v_{\gamma} \circ v_{\delta} = t_{\gamma + \delta}$ et que $t\circ_{\gamma} \circ v_{\delta} = v_{oy+o \gamma + \delta}$.
\end{enumerate}

\bigskip
o
\begin{center}{\large \textbf{Partie D :} un cylindre à base elliptique}\end{center}

\medskip

On considère deux réels strictement positifs $a$ et $b$ tels que $a > b$. On considère le cylindre C d'équation : $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$.

On considère $\Pi$ le plan d'équation $z = 0$ et $\Gamma$ l'intersection du cylindre $C$ et du plan $\Pi$.

On remarque que la courbe $\Gamma$ est l'ellipse d'équation : $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ dans \Oij{} repère orthonormé du plan $\Pi$.
 
Pour $\theta \in  \R$ fixé, on considère la droite $d_{\theta}$ de $\mathcal{E}$ d'équations : $\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& a\cos (\theta)\\
y &=& b \sin (\theta)
\end{array}\right.$.

On va montrer que les éléments de $G(C)$ peuvent s'écrire en composant certaines isométries de la partie précédente.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\lambda \in \R$. Montrer que $t_{\lambda},\:v_{\lambda}, s$ et $r$ sont des éléments de $G(C)$.
\item Montrer que $C = \displaystyle\bigcup_{\theta \in \R} d_{\theta}$.
\item Soit $\mathcal{D}$ une droite non parallèle à $d_{0}$.
	\begin{enumerate}
		\item Établir que $\mathcal{D}$ admet un vecteur directeur $\vect{u}(\alpha~;~\beta~;~\gamma)$ tel que $\alpha$  et $\beta$ ne sont pas simultanément nuls.

On pourra commencer par donner un vecteur directeur $d_{\theta}$  pour $\theta \in \R$. 
		\item On note $M_{0}\left(x_{0}~;~y_{0}~;~z_{0}\right)$ un point de $\mathcal{D}$.

Donner une équation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ obtenue à l'aide de $\vect{u}$ et de $M_{0}$.
		\item Montrer alors que $\mathcal{D}$ coupe $C$ en au plus deux points.
	\end{enumerate}
\item Soit $f \in G(C)$. Déduire de la question précédente que $f\left(d_{\theta}\right)$ est parallèle à la droite $\left(d_{\theta}\right)$.
\item Soit $f \in G(C)$. Montrer que $\vect{k}$ est un vecteur propre de $\vect{f}$.
\item Soit $\varphi \in O(\mathcal{E})$ admettant $\vect{k}$ comme vecteur propre.
	\begin{enumerate}
		\item Établir que $\varphi$ admet dans la base $\left(\vect{\imath},~\vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$ une matrice de $O_{3}(\R)$, donnée par blocs, de 
	la forme $\left(\begin{array}{c c c}
\multicolumn{2}{c}{M}&\begin{array}{c}0\\0\end{array}\\
0&0&\epsilon
\end{array}\right)$  où $M \in O_{2}(\R)$ et $\epsilon \in  \{- 1~;~1\}$.
		\item Vérifier que $\epsilon = \text{det}(\varphi) \text{det}(M)$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $f \in G^+(C)$ tel que $f(\text{O}) \in \Pi$. On admet que $f(\Pi) = \Pi$.

On peut donc définir $g : \left\{\begin{array}{l c l}
\Pi&\longrightarrow&\Pi\\
M & \longmapsto& g(M) = f(M),
\end{array}\right.$ application induite par $f$ sur $\Pi$.
	\begin{enumerate}
		\item Établir que $g$ est une isométrie de $\Pi$ vérifiant $g(\Gamma) = \Gamma$.
		\item À l'aide de la partie B, énoncer les quatre possibilités pour $g$ puis en déduire que $f(\text{O}) = \text{O}$.
		\item Écrire les quatre possibilités pour la matrice de $\vect{g}$ dans la base $\left(\vect{\imath},~\vect{\imath}\right)$.
		\item Vérifier alors que l'on peut trouver $i$ et $j \in \{0~;~1\}$ tels que $f = v^j \circ s^i$.

\emph{On pourra utiliser l'expression analytique de $f$ et la question} 6.
	\end{enumerate}
\item Soit $f \in G^+(C)$ tel que $f(\text{O}) \notin \Pi$.

On note O$'$ le projeté orthogonal de $f(\text{O})$ sur le plan $\Pi$, $t$ la translation de vecteur $\vect{f(\text{O})\text{O}'}$ et $h = t \circ f$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $h \in G^+(C)$ et $h(\text{O}) \in \Pi$.

\emph{On pourra commencer par justifier que $t$ peut s'écrire $t = t_{\mu}$ avec $\mu \in \R^{\star}$ et utiliser la question} 1.
		\item Montrer que l'on peut trouver $\lambda \in \R^{\star},\: i$ et $j \in \{0~;~1\}$ tels que $f = t_{\lambda} \circ v^j \circ s^i$.
	\end{enumerate}
\item Soit $f \in G^-(C)$.
	\begin{enumerate}
		\item Établir que $r \circ f \in G^+(C)$.
		\item En déduire qu'il existe $\lambda \in \R,\: i$ et $j \in \{0~;~1\}$ tels que $f = r \circ t_{\lambda} \circ v^j \circ s^i$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}{\large Partie E : une hélice}\end{center}

\medskip

On reprend dans cette partie les notations de la partie précédente.

On consid\`ere l'arc param\'etr\'e 	$M :\left\{\begin{array}{l c l}
\R&\longrightarrow&\mathcal{E}\\
t &\longmapsto& M(t)(a\cos (t)~;~b\sin (t)~;~t)
\end{array}\right.$

On note $\mathcal{H}$ la trajectoire de cet arc paramétré.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\mathcal{H} \subset C$.
\item Soit $\mathcal{D}$ une droite telle que $\mathcal{D}$ coupe la courbe $\mathcal{H}$ en au moins trois points.

Montrer alors qu'il existe $\theta \in \R$ tel que $\mathcal{D}= d_{\theta}$. 

On pourra utiliser les questions 2. et 3. de la partie D.
\item Soit $\theta \in  \R$. Montrer que de $d_{\theta} \cap \mathcal{H} = \{M(\theta + 2k\pi) / k \in \Z\}$.
\item Soient $f \in G(\mathcal{H})$ et $\theta \in \R$. Montrer qu'il existe $\omega \in \R$ tel que $f\left(d_{\theta}\right) = d_{\omega}$.
\item En déduire que $G(\mathcal{H}) \subset G(C)$.
\item Soit $k \in Z$. Montrer que $t_{2k\pi} \in G(\mathcal{H})$.
\item Soit $\lambda \in \R$ tel que $v_{\lambda} \in G(\mathcal{H})$. Prouver qu'il existe $k \in \Z$ tel que $\lambda = 2k\pi$.

\emph{On pourra utiliser le fait que } $t_{\lambda}(M(0)) \in \mathcal{H}$.
\item Justifier brièvement que $s$ et $v_{\lambda} \in G(\mathcal{H})$.
\item Soit $\lambda \in \R$ tel que $v_{\lambda} \in G(\mathcal{H})$. Prouver qu'il existe $k \in \Z$ tel que $\lambda = (2k + 1)\pi$.

\emph{On pourra utiliser le fait que } $v_{\lambda}(M(0)) \in \mathcal{H}$.
\item Soit $f$ une isométrie de $\mathcal{E}$. Démontrer que :

\[f \in  G^+(H) \iff \exists k \in \Z,\: \exists i \in \{0~;~1\}, \left\{\begin{array}{l c l}
f &=& t_{2k\pi} \circ s^i\\
\text{ou}&&\\
f &=& v_{(2k+1)\pi} \circ s^i
\end{array}\right.\]

\item On veut montrer que $G(H) = G+(\mathcal{H})$.

Pour cela, on suppose que $G(H) \neq G^+(\mathcal{H})$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer qu'il existe $\lambda \in \R,\: i$ et $j \in  \{0~;~1\}$ tels que $r \circ t_{\lambda} \circ v^j \circ s^i \in G^-(\mathcal{H})$.
		\item En déduire que l'on peut trouver un réel noté $\mu$ tel que $r \circ t_{\mu} \in G^-(\mathcal{H})$.
		\item Calculer les coordonnées du point $r \circ t_{\mu}(M(0))$.
		\item En déduire que l'on peut trouver $m \in \Z$ tel que $r \circ  t_{2m\pi} \in G^-(\mathcal{H})$.
		\item En déduire que $r \in G^-(\mathcal{H})$.
		\item Calculer les coordonnées du point $r\left(M\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right)$.
		\item Conclure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}