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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small 17 novembre 2011}
\lfoot{\small{CAPES externe}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center}
{\Large \textbf{CAPES épreuve 1 session 2012}}
\end{center}


\vspace{0,5cm}

\hrule

\begin{center}\textbf{\large Problème 1 : continuité uniforme}\end{center}

\hrule

\medskip

Étant donnée une fonction $f$ de variable réelle définie sur un intervalle $I$ d'intérieur non vide, on dit que $f$ est uniformément continue sur $I$ lorsque :

\[\forall \epsilon > 0, \exists \eta > 0, \forall (x,~ y) \in I^2, \:\left(|x - y| \leqslant \eta \Rightarrow  |f(x) - f(y)|  \leqslant  \epsilon \right)\]

\begin{enumerate}
\item Écrire à l'aide de quantificateurs la proposition \og $f$ n'est pas uniformément continue sur $I$ \fg.
\item On rappelle qu'une fonction $f$ est lipschitzienne de rapport $k$, où $k$ est un réel strictement positif, si pour tout couple $(x,~y)$ d'éléments de $I$ on a :

\[|f(x) - f(y)| \leqslant k|x - y|.\]
 
Montrer que toute fonction lipschitzienne sur I est uniformément continue sur 1.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tous réels $x$ et $y$ on a :

		\[\left||y| - |x|  \right| \leqslant |y - x|\]

		\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par:

\[f(x) = \dfrac{1}{1 + |x|} \]

Montrer que $f$ est uniformément continue sur $\R$
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tous réels positifs $x$ et $y$ on a :

\[\sqrt{x + y} \leqslant \sqrt{x} + \sqrt{y} \quad \text{et} \quad \left|\sqrt{x} - \sqrt{y}\right| \leqslant \sqrt{|x - y|}\]

		\item Montrer que la fonction $g :\: x \longmapsto  \sqrt{x}$ est uniformément continue sur $\R_{+}$.
		\item Montrer que la fonction $g$ n'est pas lipschitzienne sur $\R_{+}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item En considérant les deux suites de réels $\left(x_{n}\right)_{n \in \N}$ et $\left(y_{n}\right)_{n \in \N}$ définies pour tout entier $n$ par $x_{n} = \sqrt{n+1}$ et $y_{n} = \sqrt{n}$, montrer que la fonction $h :\: x \longmapsto x^2$ n'est pas uniformément continue sur $\R$.
		\item La fonction $h$ est-elle lipschitzienne sur $\R_{+}$ ?
\item Soit $F$ un application uniformément continue de $\R_{+}$ dans $\R$. On se propose de montrer qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x \in \R_{+}$ :

\[F(x) \leqslant  ax + b\]

	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier l'existence d'un réel $\eta_{1}$ strictement positif tel que : 

\[\forall (x,~y) \in \left(\R_{+}\right)^2, \: \left(|x - y| \leqslant \eta_{1} \Rightarrow |F(x) - F(y)| \leqslant 1 \right)\]

Soit $x_{0} \in  \R_{+}$.
		\item Soit $\eta_{0}$ le plus petit entier tel que $\dfrac{x_{0}}{\eta_{0}} \leqslant \eta_{1}$  ; justifier l'existence de $\eta_{0}$ et exprimer $n_{0}$ en  
fonction de $x_{0}$ et de $\eta_{1}$.
		\item Montrer que :
		 
\[\left|F\left(x_{0}\right) - F(0)\right| \leqslant \sum_{k=0}^{n_{0} - 1} F \left(\dfrac{(k + 1)x_{0}}{n_{0}}\right) - F \left(\dfrac{kx_{0}}{n_{0}}\right)\]

		\item Conclure.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Les fonctions polynômes de degré supérieur ou égal à 2 sont-elles uniformément continues sur $\R$ ?
		\item La fonction exponentielle est-elle uniformément continue sur $\R$ ? 
	\end{enumerate}
\item \textbf{Théor\`eme de Heine}

Soit $I = [a~;~b]\: (a < b)$ un segment de $\R$. On se propose de démontrer le théorème de Heine\footnote{Eduard Heine (1821-1881), mathématicien allemand} :

\emph{si une fonction $G$ est continue sur $I$ alors elle est uniformément continue sur $I$.}

\medskip

On suppose dans la suite que $G$ est une fonction continue sur $I = [a~;~b]$ et que $G$ n'est pas uniformément continue sur $I$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'il existe un réel $\epsilon > 0$ et deux suites $\left(x_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ et $\left(y_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ d'éléments de $I$ tels que pour tout entier $n \geqslant 1$ :

\[\left|x_{n} - y_{n} \right| \leqslant \dfrac{1}{n}\quad \text{et} \quad \left|G\left(x_{n}\right) - G\left(y_{n}\right) \right| > \epsilon\]

		\item Justifier qu'il existe deux sous-suites $\left(x_{\sigma(n)} \right)_{n \geqslant 1}$ et $\left(y_{\sigma(n)} \right)_{n \geqslant 1}$ convergentes telles que pour tout entier $n \geqslant 1$ :

\[\left|(x_{\sigma(n)} - y_{\sigma(n)}\right| \leqslant  \dfrac{1}{n}\quad \text{et}\quad \left|(G\left(x_{\sigma(n)}\right) - G\left(y_{\sigma(n)}\right)\right| > \epsilon\]

		\item Montrer que :

\[\lim_{n \to + \infty} x_{\sigma(n)} = \lim_{n \to + \infty} y_{\sigma(n)}\] 

		\item Conclure.
\item Soit $J$ un intervalle d'intérieur non vide. Si une fonction $G$ est uniformément continue sur tout intervalle $[a~;~b]$ inclus dans $J,\: G$ est-elle nécessairement uniformément continue sur $J$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\hrule

\begin{center}\textbf{\large Problème 2 : marches aléatoires}\end{center}

\hrule

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie A} : quelques résultats d'analyse\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la suite $\left(H_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ définie par :

\[H_{n} = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier $k \geqslant 1$ :

\[\dfrac{1}{k + 1} \leqslant \int_{k}^{k+1}\dfrac{1}{t}\:\text{d}t 	\leqslant \dfrac{1}{k}\]

		\item En déduire que pour tout $n \geqslant 1$ :

\[\ln (n + 1) \leqslant H_{n} \leqslant 1 + \ln (n)\]

puis que

\[H_{n} \underset{+ \infty}{\sim} \ln (n)\]

	\end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(K_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ définie par :

\[K_{n} = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2}\]

Montrer, à l'aide des outils de terminale scientifique, que la suite $\left(K_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ converge ; on notera $K$ la limite de cette suite (on ne demande pas de calculer $K$).
\item On pose pour tout entier naturel $n$ non nul:

\[a_{n} = \dfrac{\sqrt{n}}{4^n}\binom{2n}{n}\]

On admet la formule de Stirling\footnote{James Stirling (1692-1770) mathématicien écossais} :

\[n! \underset{+ \infty}{\sim} \binom{n}{\text{e}}^n\sqrt{2\pi n}\]

Montrer que la suite $\left(a_{n}\right)_{n\in \N^{\star}}$ converge vers $\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}$ ;
\item Montrer que, pour tout entier $n$ non nul, on a :

\[\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} - 1 = \dfrac{\left(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n} \right)^2}{2\sqrt{n}\sqrt{n+1}}\]

\item En déduire que la suite $\left(a_{n}\right)_{n \in \N^{\star}}$ est croissante et que pour tout entier $n \geqslant 1$ :

\[a_{n} \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{\pi}}\]

\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tous réels $a$ et $b$ on a : $(a + b)^2 \geqslant  4ab$. 
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul:

\[\left(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\right)^2\leqslant  \dfrac{1}{4\sqrt{n(n + 1}}\]

	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier $n \geqslant 1$ :
 
\[0 \leqslant a_{n+1} - a_{n} \leqslant  \dfrac{1}{8n(n + 1)\sqrt{\pi}}\]

		\item Montrer que pour tout entier $k \geqslant 1$ et tout entier $p \geqslant k$

		\[0 \leqslant a_{p} - a_{k} \leqslant \dfrac{1}{8k\sqrt{\pi}}\]

		\item En déduire que, pour tout entier $k$ non nul:

\[0 \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{\pi}} - a_{k}\leqslant \dfrac{1}{8k\sqrt{\pi}}\]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{Partie B} : marche aléatoire sur une droite\end{center}

Soit $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$ un axe gradué. Dans la suite du problème, tous les instants considérés sont des nombres entiers naturels.

Une particule située sur un point d'abscisse $k \in \Z$ saute à chaque instant sur le point d'abscisse $k + 1$ ou sur le point d'abscisse $k - 1$, avec la même probabilité.

Chaque saut est indépendant du précédent.

La particule est à l'origine à l'instant $t = 0$.

On note $O_{k}$ la variable aléatoire égale à 1 si la particule est à l'origine à l'instant $t = k$ et $0$ sinon et $U_{n}$ la variable aléatoire égale au nombre de passages en O de la particule entre les instants 1 et $2n$ ( $n \geqslant 1$).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer la variable $U_{n}$ en fonction des variables $O_{k}$. 
\item Pour tout $k \geqslant 1$, : montrer que
	\begin{enumerate}
		\item $P\left(O_{2k+1} = 1\right) = 0 $ ;
		\item $P\left(O_{2k} = 1\right) = \dfrac{1}{4k}\binom{2k}{k} = \dfrac{a_{k}}{\sqrt{k}}$.
	\end{enumerate}
\item Calculer l'espérance mathématique $E\left(U_{n}\right)$ de la variable aléatoire $U_{n}$ et montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$ :

\[E\left(U_{n}\right) = \dfrac{(2n + 1)}{4^n}\binom{2n}{n} - 1\]

\item En déduire un équivalent de $E\left(U_{n}\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{Partie C} : marche aléatoire sur un plan\end{center}

\medskip

Un plan est rapporté à un repère \Oij. Une particule située sur un point de coordonnées $(k~;~l) \in  \Z^2$ saute à chaque instant sur l'un des points de coordonnées $(k + 1~;~l + 1),\: (k + 1~;~l - 1),\: (k - 1~;~l + 1)$ ou $(k - 1~;~l - 1)$ avec la même probabilité (c'est-à-dire qu'à chaque étape, la particule se déplace selon la diagonale d'un carré).

Chaque saut est indépendant du précédent.

La particule est à l'origine à l'instant $t = 0$.

On note $O_{k}$ la variable aléatoire égale à 1 si la particule est à l'origine à l'instant $t = k$ et $0$ sinon et $U_{n}$ la variable aléatoire égale au nombre de passages en O de la particule entre les instants $1$ et $2n$ ($n \geqslant 1$).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer la variable $U_{n}$ en fonction des variables $O_{k}$. 
\item Pour tout $k \geqslant  1$, calculer $P\left(O_{2k+1} = 1\right)$ et $P\left(O_{2k} = 1\right)$.
\item Montrer que l'espérance de $U_{n}$ est donnée par :

\[E\left(U_{n}\right) = \sum_{k=1}^n \dfrac{a_{k}^2}{k}.\]

\item Montrer que pour tout entier $k \geqslant 1$ on a :

\[\dfrac{1}{\pi k} - \dfrac{1}{4\pi k^2} \leqslant \dfrac{a_{k}^2}{k} \leqslant \dfrac{1}{\pi k}\]

\item En déduire un équivalent de $E\left(U_{n}\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.
\end{enumerate}

\bigskip

\hrule
\begin{center}\textbf{\large Problème 3 : équation de Pell-Fermat}\end{center}

\hrule

\medskip

On se propose de déterminer s'il existe des entiers strictement positifs $m$ et $n$ ($m < n$) vérifiant l'égalité:

\[\sum_{k=1}^{m}k = \sum_{k=m}^{n}k.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que ce problème peut se ramener à la recherche d'entiers $x, y, m$ et $n$ ($0 < m < n$) tels que :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 2n + 1\\
y& =&2m\\
x^2 - 2y^2 &=& 1
\end{array}\right.\]

On note dans ce qui suit $(E)$ l'équation $x^2 - 2y^2 = 1$ d'inconnue $(x~;~y) \in \left(N^{\star}\right)^2$. On range les solutions de $(E)$ dans l'ordre croissant des $y$. 
\item Écrire un algorithme permettant d'obtenir les solutions de $(E)$ pour $y \leqslant 100$.
\item Déterminer la plus petite (au sens de l'ordre choisi) solution de $(E)$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer qu'il existe deux suites d'entiers $\left(x_{n}\right)_{n\in \N^{\star}}$ et $\left(y_{n}\right)_{n\in \N^{\star}}$ telles que, pour tout entier $n$ non nul :

\[\left(3 + 2\sqrt{2} \right)^n = x_{n} + y_{n}\sqrt{2}\]

		\item Exprimer $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ en fonction de $x_{n}$ et $y_{n}$.
		\item Montrer que les suites $\left(x_{n}\right)_{n\in \N^{\star}}$ et $\left(y_{n}\right)_{n\in \N^{\star}}$ sont strictement croissantes et tendent vers $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1,\: \left(x_{n}~;~y_{n}\right)$ est solution de $(E)$.

On se propose de montrer que l'ensemble $S = \left\{\left(x_{n}~;~y_{n}\right),\:n \in N^{\star}\right\}$ est l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$.

On suppose qu'il existe des couples $(x~;~y)$ d'entiers positifs solutions de $(E)$ n'appartenant pas à $S$ et on note $(X~;~Y)$ le plus petit (au sens de l'ordre choisi) de ces couples.
\item Montrer qu'il existe un unique entier $N$ tel que $y_{N} < Y < y_{N+1}$.
\item Justifier à l'aide de l'algorithme que $N \geqslant 2$. 
\item Montrer que :

\[x_{N} + y_{N}\sqrt{2}< X + Y\sqrt{2} < x_{N+1} + y_{N+1}\sqrt{2}\]

\item  En déduire que:
\[x_{N-1} + y_{N-1} \sqrt{2} < (3X - 4Y) + (3Y - 2X)\sqrt{2} < x_{N} + y_{N}\sqrt{2}\]

\item Montrer que :
	\begin{enumerate}
		\item $3X - 4Y > 0$ ;
		\item $3Y - 2X > 0$ ;
		\item $3Y - 2X < Y$ ;
		\item $(3X - 4Y~;~3Y - 2X)$ est solution de $(E)$.
	\end{enumerate}
\item Conclure.
\item Donner les cinq premiers couples d'entiers $(x~;~y)$ (au sens de l'ordre choisi) solutions de $(E)$ puis les valeurs correspondantes de $m$ et $n$.
\end{enumerate}
\end{document}