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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small CAPES }
\lfoot{\small{Deuxième épreuve (annulée)}}
\rfoot{\small{ 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~CAPES externe 2005 mathématiques~\decofourright\\[7pt](épreuve de remplacement de l'épreuve 2)}}
\end{center}

\medskip

\noindent La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les résultats indiqués dans l'énoncé peuvent être utilisés par les candidats pour la suite du problème.

\noindent Les candidats doivent reporter sur leur copie, devant leurs réponses, la numérotation complète des questions de l'énoncé.

\noindent Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale dans sa copie et poursuit sa composition en indiquant les initiatives qu'il est amené à prendre de ce fait.

\bigskip
\hrule
\bigskip

\noindent Sauf exceptions dûment signalées, chaque partie peut être traitée indépendamment des autres.

\medskip
\noindent Dans tout le problème, on se place dans le cadre d'un plan euclidien $\Pi$ rapporté à un repère orthonormé direct \Oij{} par rapport auquel les coordonnées sont notées $x$ et $y$. La droite $\Delta$ est définie par son équation $x = a$ où $a$ est une constante réelle strictement positive ; elle coupe l'axe des abscisses au point $A$.

\medskip

\noindent La notation :

\[X = \{M \mid \varphi(x,y) = 0\}\]

désigne la partie $X$ du plan définie comme l'ensemble des points $M$ dont les coordonnées $(x, y)$ vérifient l'égalité $\varphi(x,y) = 0$ ; cette relation est alors appelée une \emph{équation} de $X$. Une définition analogue est posée dans le cas de coordonnées polaires $(\rho, \theta)$ par rapport au repère formé du point $O$ et de la demi-droite $\R^+\vect{\imath}$.

%---------------------------------------------------------------------
\section*{Première partie}
%---------------------------------------------------------------------

Soit $k$ une constante réelle strictement positive. On note $\Phi$ la courbe décrite par le point $M$ de coordonnées :

\[x = a + k\cos t,\quad y = a\tan t + k\sin t\]

où $t$ décrit la réunion $\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[ \cup \left]\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right[$. On note $H$ la projection orthogonale de $M$ sur $\Delta$ et $\Omega$ le point de $\Delta$ d'ordonnée $a\tan t$.

\medskip

\begin{enumerate}[label=\textbf{1.\arabic*.}]
\item Dans le cas particulier $a = 1$, $k = 2$, étudier la courbe $\Phi$ (variations, étude asymptotique, points singuliers, représentation graphique\ldots) ; on pourra s'aider d'une calculatrice graphique.
\item Donner l'allure de $\Phi$ dans le cas général, en distinguant :
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item les cas où $0 < k < a$,
		\item le cas où $k = a$,
		\item les cas où $k > a$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une fonction polynomiale $f$ à deux variables telle que $f(x,y) = 0$ soit une équation de $\Phi$.
\item Donner une équation polaire de $\Phi$.
\item Déterminer les points réguliers $M$ de $\Phi$ et donner en ces points les coordonnées d'un vecteur normal.
\item Calculer les coordonnées du point d'intersection $R$ de la normale en $M$ avec la droite d'équation $y = a\tan t$ dans le cas où $M$ n'appartient pas à l'axe des abscisses. Que peut-on dire du triangle $RO\Omega$ ?
\end{enumerate}

%---------------------------------------------------------------------
\section*{Deuxième partie}
%---------------------------------------------------------------------

Sont traitées ici quelques propriétés des coniques exclusivement utilisées dans les troisième et quatrième parties.

Un \emph{axe} est défini par une droite $D$, un point $O_1$ de $D$ et un vecteur unitaire $\vec{u}$ dirigeant $D$. Pour tout couple $(A, B)$ de points de $D$, on appelle \emph{mesure algébrique} et l'on note $\overline{AB}$ la différence $x_B - x_A$ de leurs abscisses relatives au repère $(O_1, \vec{u})$ : on remarquera qu'elle est indépendante du point $O_1$.

La distance de deux points $M$ et $N$ du plan est notée $MN$. S'ils sont distincts, on note $(MN)$ l'unique droite qui les joint.

\subsection*{Sur l'hyperbole}

\begin{enumerate}[label=\textbf{2.\arabic*.}]

\item Écrire le théorème de Thalès dans le plan, ainsi que sa réciproque, en utilisant les mesures algébriques définies ci-dessus : on se donnera deux axes distincts coupant chacun un triplet de droites $(D, D', D'')$ dont les deux dernières sont parallèles et disjointes, et l'on écrira, sans justification, une condition nécessaire et suffisante sur les six points d'intersection pour que les deux premières le soient, éclairée par une figure à main levée.

\item Soient trois axes du plan $\Pi$ dont les deux premiers, sécants en un point $O_1$, sont respectivement l'axe des abscisses $(O_1 x)$ et l'axe des ordonnées $(O_1 y)$ d'un certain repère affine, le troisième les coupant respectivement en deux points distincts $U$ et $V$.

Pour tout point $M$ de $(UV)$, autre que $U$ ou $V$, on note $P$ et $Q$ ses projections respectives sur chacun des deux axes de coordonnées parallèlement à l'autre. Déterminer l'unique hyperbole $\mathcal{H}$ passant par $M$ et admettant $(O_1 x)$ et $(O_1 y)$ comme asymptotes (on pourra introduire les projections sur les axes d'un point courant $M'$ de $\mathcal{H}$).
\item À l'aide par exemple du théorème de Thalès, montrer qu'un point $M'$ de $(UV)$, distinct de $M$, appartient à $\mathcal{H}$ si, et seulement s'il est symétrique de $M$ par rapport au milieu de $[UV]$.
\item Quelle propriété obtient-on si l'on fait tendre un point $N$ de $\mathcal{H}$ vers $M$ ?
\end{enumerate}

\subsection*{Sur la parabole}

Dans ce qui suit, $M$ est un point d'une parabole $\mathcal{P}$ de foyer $F$, de sommet $S$ et de directrice $D$, et $H$ sa projection orthogonale sur $D$.

\begin{enumerate}[label=\textbf{2.\arabic*.},start=5]
\item Soit $T$ la médiatrice du segment $[FH]$. Montrer que, pour tout point $N$ de $T$ différent de $M$ et se projetant orthogonalement en $K$ sur $D$, on dispose de l'inégalité $NF > NK$. Ce résultat reste-t-il valable si l'on considère un point $N'$ tel que $N'F > N'H$ ?
\item Déduire de la question précédente que la tangente à $\mathcal{P}$ en $M$ est la médiatrice du segment $[FH]$.
\item Quel est l'ensemble des projections orthogonales de $F$ sur les tangentes à la parabole ?
\item Cette question établit les principales propriétés de la puissance d'un point par rapport à un cercle.
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Si $A$ et $B$ sont deux points d'un cercle du plan $\Pi$ alignés avec $M$, on définit la \emph{puissance} de $M$ par rapport au cercle comme le nombre $\overline{MA}\cdot\overline{MB}$ s'ils sont distincts, et $\overline{MA}^2$ s'ils sont confondus et si $M$ appartient à la tangente en $A$. Établir la cohérence de cette définition.
		\item Si $(x_0, y_0)$ est le couple des coordonnées de $M$ relatives à un repère orthonormé dans lequel le cercle a pour équation :

\[C(x,y) = x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0,\]

montrer que la puissance de $M$ est égale à $C(x_0, y_0)$.

		\item Que peut-on dire des points de puissance nulle par rapport au cercle ?
		\item Déterminer (par exemple analytiquement) l'axe radical de deux cercles de centres distincts, c'est-à-dire le lieu des points ayant mêmes puissances par rapport à ces cercles.
	\end{enumerate}
\item Soit $(M, M')$ un couple de points distincts de $\mathcal{P}$, $I$ leur milieu et $H$ et $H'$ leurs projections orthogonales respectives sur $D$.
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Déterminer l'ensemble des points ayant même puissance par rapport aux deux cercles passant par $F$ et respectivement centrés en $M$ et $M'$.
		\item Soit $J$ l'intersection de l'axe radical précédent et de la directrice. Que peut-on dire du triplet de points $(J, H, H')$ ?
	\end{enumerate}
\item Cette question établit la principale propriété des cordes de $\mathcal{P}$ ayant une direction donnée.
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Montrer que, lorsque l'on fait varier le couple $(M, M')$ de façon que la droite $(MM')$ reste parallèle à une direction fixe, le point $I$ décrit alors une partie d'une droite orthogonale à $D$.
		\item Que devient la configuration précédente lorsque la droite $(MM')$ devient tangente à la parabole ? Relier la figure ainsi obtenue au résultat de la question 2.7.
		\item Soit une droite quelconque perpendiculaire à $D$. Montrer qu'elle est un axe de symétrie (généralement non orthogonale) pour la parabole et donner une construction géométrique de la direction selon laquelle s'exerce cette symétrie.
	\end{enumerate}
\item Soit $Q$ un point de $\mathcal{P}$ distinct de $S$ et $(N, M)$ un couple de points distincts de $\mathcal{P}$ déterminant une corde parallèle à $SQ$. On note $L$ le point défini par $\overrightarrow{NL} = \overrightarrow{SQ}$, $A$ le symétrique orthogonal de $N$ par rapport à l'axe $SF$ de la parabole, $\Omega$ et $R$ les projections respectives parallèlement à l'axe de $A$ et de $Q$ sur $(NM)$. Déduire de la question précédente l'égalité $\overrightarrow{NL} = \overrightarrow{\Omega M}$.

Étendre le résultat au cas où $M = N$ et où l'on remplace la droite $(NM)$ par la tangente à $\mathcal{P}$ en $N$.

\end{enumerate}

%---------------------------------------------------------------------
\section*{Troisième partie}
%---------------------------------------------------------------------

Soit $\Gamma$ une courbe du plan $\Pi$ privée de ses éventuels points d'abscisse nulle. On dit qu'une courbe $\mathcal{C}$ de $\Pi$ est la \emph{transformée de Descartes} de $\Gamma$ relative à $O$ et à $\Delta$ si elle est formée des points $M$ tels qu'il existe un point $\Omega$ de $\Delta$ et un point $P$ commun à $(O\Omega)$ et à $\Gamma$ tels que $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{\Omega M}$.

\begin{enumerate}[label=\textbf{3.\arabic*.}]

\item Si $\Gamma$ est définie par des équations paramétriques de la forme :

\[x = \alpha(t),\quad y = \beta(t),\]

montrer qu'une représentation paramétrique de sa transformée de Descartes $\mathcal{C}$ s'écrit sous la forme :

\[x = a + \alpha(t),\quad y = \frac{\beta(t)}{\alpha(t)}\bigl[a + \alpha(t)\bigr].\]

\item Donner une équation cartésienne des transformées de Descartes des droites $\Gamma$ de $\Pi$ privées de leurs éventuels points d'abscisse nulle.

Expliquer le résultat trouvé à partir des propriétés mises en évidence dans la deuxième partie.

\item Donner une équation cartésienne de la transformée de Descartes de la parabole d'équation $y = cx^2$ ($c > 0$) privée de son sommet.

\item Retrouver ce résultat grâce à une question de la deuxième partie.

\item Montrer que $\mathcal{C}$, la courbe d'équation cartésienne :

\[y(x - a) = x\bigl(c(x - a - b)^2 + d\bigr)\quad (c \neq 0)\]

privée de ses points d'abscisse $a$, est la transformée de Descartes de la parabole $\Gamma$ d'équation $y = c(x-b)^2 + d$ privée du point $\left(0,\, b^2 c + d\right)$.

\item Montrer que cette courbe $\mathcal{C}$ admet une \emph{parabole asymptote}, c'est-à-dire d'équation $y = \varphi(x)$ où $\varphi$ est un polynôme du second degré tel que :

\[\lim_{|x| \to +\infty} \bigl[y - \varphi(x)\bigr] = 0,\]

parabole dont on précisera la position relative à $\mathcal{C}$.
\item Donner la forme de cette courbe $\mathcal{C}$ pour $b = 0$, $c = 1$, $d = 1$ et $a = 1$, puis pour $a = 6$ (dans ce second cas, on pourra plus précisément étudier l'allure de $\mathcal{C}$ aux voisinages des points d'abscisse $x = 4$ et $x = 6$).
\item Étudier la transformée de Descartes $\mathcal{C}$ d'un cercle $\Gamma$ de centre $O$ et de rayon $k$ privé de ses deux points d'abscisse nulle. Que retrouve-t-on ainsi ?
\end{enumerate}
%---------------------------------------------------------------------
\section*{Quatrième partie}
%---------------------------------------------------------------------

Cette partie utilise la première question de la partie précédente.

\begin{enumerate}[label=\textbf{4.\arabic*.}]

\item Vérifier que $\rho = -a\cos t$, où $t$ décrit $\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[$, est une équation polaire du cercle $\Gamma$ passant par $O$, centré au point de coordonnées $\left(-\dfrac{a}{2}, 0\right)$ et privé de son point d'abscisse nulle.

Vérifier que sa transformée de Descartes est la courbe $\mathcal{C}$ de représentation paramétrique :

\[x = a\sin^2 t,\quad y = a\tan t\sin^2 t.\]

Donner la forme de la courbe.

\item Montrer que $\mathcal{C}$ admet une autre représentation paramétrique de la forme :

\[x = a\,\frac{m^2}{1+m^2},\quad y = a\,\frac{m^3}{1+m^2}\cdot\]

Comment peut-on relier les deux représentations ?

\item Soit $\mathcal{P}$ la parabole d'équation $y^2 = -4ax$ et $M$ un point de $\mathcal{C}$ distinct de $O$. On note $M_1$ le point distinct de $O$ commun à $\mathcal{P}$ et à la droite $(OM)$. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{OM_1}\cdot\overrightarrow{OM}$.

\item Montrer qu'il existe un unique point $M_2$ de $\mathcal{P}$, dont on donnera les coordonnées, tel que la tangente en $M_2$ à $\mathcal{P}$ coupe orthogonalement $(OM)$ en $M$.

\item Notant $\Omega$ le point de $\Delta$ associé à $M$ lors de la construction de la transformée de Descartes de $\Gamma$ par rapport à $O$, montrer, par exemple grâce à un résultat de la deuxième partie, que sa projection orthogonale $Q$ sur $(Oy)$ est confondue avec celle du foyer $F$ de $\mathcal{P}$ sur la tangente en $M_2$, et que $QFPM$ est un rectangle.

\item Montrer que toute transformée de Descartes d'un cercle passant par $O$ et privé de ses points d'abscisse nulle est incluse dans l'ensemble des points vérifiant une égalité de la forme :

\[x(x^2 + y^2) = ux^2 + 2vxy + wy^2.\]

\end{enumerate}
%---------------------------------------------------------------------
\section*{Cinquième partie}
%---------------------------------------------------------------------

On revient maintenant à une courbe $\Gamma$ quelconque, privée de ses points d'abscisse nulle. Cette partie ne demande, pour pouvoir être traitée, que la connaissance de la définition de la transformation de Descartes.

On y montre que cette transformation permet de créer des courbes dont une équation annule un polynôme de degré quelconque, ce qui était l'un des objectifs poursuivis par Descartes lui-même au moment de la rédaction de son livre \emph{La Géométrie}, paru en 1637.

\begin{enumerate}[label=\textbf{5.\arabic*.}]

\item Soit $f$ une fonction polynomiale réelle de degrés $p > 1$ et $q > 1$ par rapport à deux variables $x$ et $y$, telle que tout point de $\Gamma$ vérifie $f(x,y) = 0$. Déterminer une fonction polynomiale non nulle $g$ telle que $g(x,y) = 0$ est une équation cartésienne de la transformée de Descartes $\mathcal{C}$ de $\Gamma$.

\item Étudier le même problème en échangeant les rôles de $\mathcal{C}$ et de $\Gamma$.

\item Déterminer une fonction polynomiale $g$ convenable dans le cas où $f(x,y) = y - x^2$. Peut-on en obtenir une autre, de degré inférieur, par division de $g$ par un polynôme de la forme $ax + b$ avec $(a,b) \in \R^2$ ?

\item Appliquer le résultat de la question \textbf{5.1} au cas particulier faisant l'objet de la première partie.

\item Soit :

\[f(x,y) = \sum_{m=v}^{n}\sum_{k=0}^{m} f_{m,k}\, x^{m-k} y^k\]
une fonction polynomiale réelle de degrés respectifs $p > 1$ et $q > 1$ par rapport à $x$ et $y$. On notera qu'il existe donc un $m$ et un $k$ tels que $f_{m,q} f_{p+k,k} \neq 0$ alors que, pour tout $m$, $f_{m,k} = 0$ si $k > q$ ou $k < m - p$.

On dit que $f$ est de \emph{degré} $n$ et de \emph{valuation} $v$ lorsqu'il existe au moins un $k$ et un $h$ tels que $f_{n,k} f_{v,h} \neq 0$.

Soit $\lambda$ un réel donné non nul. On note $\varphi(x,y)$ la fonction rationnelle définie par :

\[\varphi(x,y) = f\!\left(x - \lambda,\; \frac{y}{x}(x-\lambda)\right).\]

Montrer qu'il existe un entier $r$ compris entre $0$ et $q$ tel que la fonction $g$ définie par $g(x,y) = x^r \varphi(x,y)$ soit polynomiale.

\item Dans la suite de cette partie, $r$ est supposé minimal. Montrer, par exemple à l'aide de fonctions polynomiales particulières du type $(x,y) \mapsto x^a + (x+\lambda)^b y^q$ où $a$ et $b$ sont des entiers positifs ou nuls donnés, que l'on peut avoir $r$ égal à n'importe quel entier entre $0$ et $q$.

\item Déterminer l'entier maximal $s > 0$ tel que la fonction $F = T_\lambda(f)$ définie par :

\[F(x,y) = (x-\lambda)^{-s}\, g(x,y)\]

soit polynomiale.

Montrer que, si $r > 1$, alors $F(0,0) = 0$.

\item Calculer en fonction de $(n, v, r)$ le degré $N$ de la fonction polynomiale $F$. Démontrer l'inégalité $N \leqslant 2n$, et donner un exemple, où $n$ est un entier donné strictement positif, tel que l'égalité soit atteinte.

\item Calculer $N$ pour $f(x,y) = x^a + (x+\lambda)^q y^q$ où $a$ est un entier positif ou nul donné, et vérifier dans ce cas l'inégalité $N \geqslant \dfrac{n}{2}$.

Montrer que, pour tout entier $n$ strictement positif et tout entier $m$ compris entre la partie entière de $\dfrac{n+1}{2}$ et $n$, il existe une fonction polynomiale $f$ telle que $N = m$.

\item Montrer que, si $f(x,y)$ n'est pas le produit d'une fonction polynomiale de la forme $x + k$ par une fonction polynomiale, il existe un réel non nul $\mu$ tel que :

\[f = T_\mu(F) = T_\mu \circ T_\lambda(f) = T_\lambda \circ T_\mu(f).\]

Que peut-on en déduire pour $N$ ?

\item Déterminer les fonctions polynomiales $f$ telles que $T_\lambda(f) = f$.
\end{enumerate}
\end{document}
