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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve 1}
\lfoot{\small{CAPES externe 1\up{er} avril 2019}}
\rfoot{\small{}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~CAPES Concours externe  Option mathématiques ~\decofourright\\[5pt]session 1\up{er} avril 2019  Épreuve 1}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

Cette épreuve est constituée de deux problèmes indépendants.

\begin{center}
\textbf{\large Problème \no 1}
\end{center}

{\large \textbf{Notations.}

\medskip

On désigne par $\N$ l'ensemble des entiers naturels, par $\R$ l'ensemble des nombres réels et par $\C$ l'ensemble des nombres complexes.

Pour $z \in  \C$, on note le conjugué de $z$ par $\overline{z}$.

Pour $n$ un entier naturel non nul, $\mathcal{M}_n(\C)$ désigne l'ensemble des matrices à $n$ lignes et $n$ colonnes, à coefficients complexes. L'ensemble des matrices inversibles pour la multiplication
matricielle de $\mathcal{M}_n(\C)$ est noté GL$_n(\C)$.

\begin{center}
\textbf{\large Partie A : rotations et translations du plan}
\end{center}

On se place dans un plan euclidien orienté $P$, muni d'un repère orthonormé direct.

Notations.

Soit $\theta$ un nombre réel non congru à $0$ modulo $2\pi$ et D un point de $P$. La rotation de centre
$\Omega$ et d'angle $\theta$ est notée $r_{\Omega,\theta}$.

Soit $\vect{u}$ un vecteur de $P$. La translation de vecteur $\vect{u}$ est notée $t_{\vect{u}}$.

\medskip

\textbf{I. Question de cours}. Soient $\theta$ un nombre réel non congru à 0 modulo $2\pi$, $\Omega$ un point
de $P$ et $\vect{u}$ un vecteur de $P$. L'affixe de $\Omega$ est notée $\omega$ et l'affixe de $\vect{u}$ est notée $z_{\vect{u}}$. Soit
$M$ un point de $P$, d'affixe $z$. Déterminer l'affixe $z'$ de l'image de $M$ par $t_{\vect{u}}$. Déterminer
l'affixe $z''$ de l'image de $M$ par $r_{\Omega,\theta}$.

\medskip

\textbf{II.} Soient $a$ un nombre complexe de module 1 et $b$ un nombre complexe. On considère l'application $f$ de $P$ dans lui-même qui a tout point d'affixe $z$ associe le point d'affixe $az + b$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que si $a = 1$, alors $f$ est une translation dont on précisera le vecteur.
\item On suppose dans cette question que $a \ne 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f$ possède un unique point fixe $\Omega$ dont on précisera l'affixe $\omega$.
		\item Montrer que l'image par $f$ du point $M$ d'affixe $z$ est le point d'affixe
$a(z - \omega) + \omega$.
		\item Montrer que $f$ est une rotation dont on précisera le centre et l'angle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{III.} Soient $a_1$ et $a_2$ deux nombres complexes de module 1 et $b_1$ et $b_2$ deux nombres complexes.

On considère l'application $f_1$, respectivement $f_2$, de $P$ dans lui-même, envoyant
le point d'affixe $z$ sur le point d'affixe $a_1z + b_1$, respectivement $a_2z + b_2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f = f_1 \circ  f_2$. Pour tout point $M$ d'affixe $z$, calculer l'affixe de $f(M)$.
\item  Montrer que $f$ est une translation ou une rotation.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{IV.} Soient $r_1$ la rotation de centre d'affixe 1 et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ et $r_2$  la rotation de centre d'affixe
$0$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $r_1 \circ  r_2$ et $r_2 \circ r_1$.

\medskip

\textbf{V.} On considère l'ensemble $G$ formé des rotations de $P$ et des translations de $P$. Montrer que G est un groupe pour une loi que l'on précisera.

\medskip

\begin{center}
\textbf{\large Partie B : une construction géométrique}
\end{center}

On se place de nouveau dans le plan euclidien orienté $P$. On a montré dans la partie
précédente que, sous certaines conditions, la composée de deux rotations est une rotation.

On cherche ici à construire le centre de cette rotation.

\textbf{Notations.}

Soit $D$ une droite de $P$. La symétrie orthogonale d'axe $D$ est notée $s_D$.

Si $\vect{u}$ et $\vect{v}$ sont deux vecteurs non nuls de $P$, on note $\left(\vect{u},\vect{v}\right)$ l'angle orienté de $\vect{u}$ et $\vect{v}$.

\medskip

\textbf{VI.} Soient $D_1$ et $D_2$ deux droites du plan, sécantes en un point $\Omega$. On désigne par $\vect{u_1}$ et $\vect{u_2}$ des vecteurs directeurs de $D_1$ et $D_2$ respectivement. On considère l'application $f = s_{D_2} \circ  s_{D_1}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\Omega$ est un point fixe de $f$.
\item Soit $M$ un point de $P$ distinct de $\Omega$. Soient $M' = s_{D_1}(M)$ et $M'' = s_{D_2}\left(M'\right)$.

Montrer que les angles $\left(\vect{\Omega M}, \vect{u_1}\right)$ et $\left(\vect{u_1}, \vect{\Omega M'}\right)$ sont égaux. 

On montrerait de même que les angles $\left(\vect{\Omega M'},~\vect{u_2}\right)$ et $\left(\vect{u_2}~, \vect{\Omega M''}\right)$ sont égaux.
\item  Montrer que $\left(\vect{\Omega M}, \vect{\Omega M''}\right) \equiv 2\left(\vect{u_1},~\vect{u_2}\right) \:[2\pi]$.
\item Montrer que $\Omega M = \Omega M' = \Omega M''$.
\item Montrer que $f$ est une rotation dont on précisera le centre et l'angle.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{VII.} Soient $r_1$ et $r_2$ deux rotations, de centres respectifs $\Omega_1$ et $\Omega_2$ et d'angles respectifs $\theta_1$ et $\theta_2$. On suppose $\Omega_1 \ne  \Omega_2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer deux droites $D_1$ et $D_2$ telles que $r_1 = D_1 \circ s_{\left(\Omega_1\Omega_2\right)}$ et $r_2 = s_{\left(\Omega_1\Omega_2\right)} \circ s_{D_2}$.
\item Montrer que $r_1 \circ r_2 = s_{D_1} \circ s_{D_2}$.
\item On suppose $D_1$ et $D2$ sécantes en un point $\Omega$. Montrer qu'alors 
$r_1 \circ r_2$ est une rotation dont on précisera le centre et l'angle.
\item  Donner une construction à la règle et au compas du centre de la rotation $r_1 \circ r_2$ lorsque $r_1$ est la rotation de centre d'affixe i et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ et $r_2$ est la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.
\item Que se passe t-il si $D_1$ et $D2$ sont parallèles ?
\end{enumerate}

\medskip
\begin{center}
\textbf{\large Partie C : structure des quaternions}
\end{center}
\medskip

Soient $a$ et $b$ deux nombres complexes. On note $M(a, b)$ la matrice complexe suivante:

\[M(a, b) = \begin{pmatrix}a &-b\\\overline{b}&\overline{a}\end{pmatrix}.\]

Une matrice $M \in  \mathcal{M}_2(\C)$ de la forme $M(a, b)$ est appelée un quaternion. 

On considère en particulier les quaternions suivants :

\[E = M(1, 0), I= M(\text{i}, 0), J = M(0, 1), K = M(0, \text{i}).\]

On veillera à ne pas confondre la matrice $I = M(\text{i}, 0)$ avec la matrice identité d'ordre 2, $I_2 = E$.

On note $\mathbb{H} = \{M(a, b) \:|\: (a, b) \in \C^2\}$.

\medskip

\textbf{VIII.}

\begin{enumerate}
\item Donner sans justification une base du $\C$-espace vectoriel $\mathcal{M}_2(\C)$ puis une base du $\R$-espace vectoriel $\mathcal{M}_2(\C)$.
\item  Montrer que $\mathbb{H}$ est un sous-espace vectoriel du $\R$-espace vectoriel 
$\mathcal{M}_2(\C)$, dont une base est $(E, I, J, K)$.

En conséquence, tout quaternion $q$ s'écrit de manière unique 

$q = xE + yI + zJ + tK$, avec $x$, $y$, $z$, $t \in \R$.
\item  Pour $a$, $b$, $a'$, $b'$ des nombres complexes, calculer $M(a, b)M(a', b')$. 

En déduire que $\mathbb{H}$ est stable par la multiplication matricielle.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{IX.}

\begin{enumerate}
\item Calculer les produits deux à deux des matrices $E$, $I$, $J$ et $K$. On présentera les
résultats dans un tableau à double entrée.
\item La multiplication dans $\mathbb{H}$ est-elle commutative ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{X.} Montrer que tout quaternion $q = M(a, b)$ avec $(a, b) \in \C^2 \backslash \{(0, 0)\}$, est un élément de GL$_2(\C)$ dont l'inverse $q^{-1}$ est un quaternion.

\medskip

\textbf{XI.} Montrer que $\{q \in  \mathbb{H} | \forall r  \in \mathbb{H}, qr = rq\} = \{xE | x \in \R\}$.

\medskip
\begin{center}
\textbf{\large Partie D : conjugué, parties réelle et imaginaire d'un
quaternion}
\end{center}

Soit $q = xE + yI + zJ + tK \in  \mathbb{H}$, avec $x$, $y$, $z$, $t \in \R$. On définit le quaternion conjugué de $q$, noté $q*$, par :

\[q* = xE - yI - zJ - tK.\]

On définit la partie réelle de q, notée $\Re(q)$, par $\Re(q) = xE$.

On définit la partie imaginaire de $q$, notée $\Im(q)$, par $\Im(q) = yI + zJ + tK$.

On définit l'ensemble des quaternions purs, noté $\mathbb{H}_{pur}$, par $\mathbb{H}_{pur} = \{q \in \mathbb{H} | \Re(q) = 0\}$.

\medskip

\textbf{XII.}

\begin{enumerate}
\item Soit $q$ un quaternion. Montrer que $q*$ est la transposée de la matrice obtenue en
conjugant tous les coefficients de $q$.
\item  En déduire que, pour tous quaternions $q$, $r$, $(qr)* = r*q*$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{XIII.} Pour tout quaternion $q$, on pose $N(q) = qq*$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout quaternion $q = xE + yI + zJ + tK$, avec $x$, $y$, $z$, $t \in \R$, \:$N(q) = \left(x^2 + y^2 + z^2 + t^2\right)E$.
\item  Montrer que, pour tous quaternions $q$, $r$, $N(qr) = N(q)N(r)$.
\end{enumerate}

\medskip
\begin{center}
\textbf{\large Partie E : norme sur }\boldmath $\mathbb{H}$\unboldmath
\end{center}

On admet qu'on définit une norme euclidienne sur $\mathbb{H}$ de la façon suivante :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
\mathbb{H}& \to &\R\\
q = xE + yI + zJ + tK &\mapsto &\left\|q\right\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2 + t^2}
\end{array}\right.\]

\medskip

\textbf{XIV.} Quel est le produit scalaire associé à cette norme euclidienne ?

\medskip

\textbf{XV.} 

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout quaternion $q$, $N(q) = \| q\|^2 E$.
\item En déduire que, pour tous quaternions $q$, $r$, $\| q \| = \| q \| \times \| r \|$.
\item En déduire que pour tout quaternion non nul $q$, $\lvert q^{-1}\| = \dfrac{1}{\| q \|}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{XVI.} On considère l'application suivante:

\[\Psi : \left\{\begin{array}{l c l}
\R^3				&\to 		&\mathbb{H}_{pur}\\
\vect{q} = (y, z, t)&\mapsto 	&q =  yI + zJ + tK.
\end{array}\right.\]

Le quaternion pur $\Psi(q)$ est appelé quaternion pur associé au vecteur $\vect{q}$. L'espace $\R^3$ est muni de sa structure euclidienne canonique et est supposé orienté. Son produit scalaire est noté $\langle \cdot | \cdot \rangle$. De plus, $\mathbb{H}_{pur}$ est muni de la structure euclidienne induite par celle de $\mathbb{H}_{pur}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\Psi$ est une isométrie, c'est-à-dire que pour tout $q \in \R^3$,

\[\Psi\left(\vect{q}\right)11 = \|\vect{q}\|.\]

\item  Soient $q_1, q_2 \in \mathbb{H}_{pur}$ respectivement associés aux vecteurs 
$\vect{q_1} $ et $\vect{q_2} $. Montrer que
$Re\left(q_1q_2\right) = - \langle\vect{q_1} | \vect{q_2}\rangle E$ et que $Im\left(q_1q_2\right) = \Psi\left(\vect{q_1} \wedge \vect{q_2}\right)$, où $\vect{q_1} \wedge \vect{q_2}$ désigne le produit vectoriel des vecteurs $\vect{q_1}$ et $\vect{q_2}$.
\item  Soit $q \in \mathbb{H}_{pur}$. Calculer $Re\left(q^2\right)$ et $Im\left(q^2\right)$. En déduire $q^2$.
\item  Soient $(a, b, c, d) \in \R^4$ et $q \in \mathbb{H}_{pur}$. Calculer $(aE + bq)(cE + dq)$.
\item  Soient $q_1$ et $q_2$ deux quaternions purs, respectivement associés aux vecteurs 
$\vect{q_1}$  et $\vect{q_2}$. Montrer que $\langle \vect{q_1} | \vect{q_2}\rangle = 0$ si et seulement si $q_1q_2 + q_2q_1 = 0.$
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{\large Partie F : quaternions unitaires et rotations vectorielles}
\end{center}

On note $U = \{q \in \mathbb{H} | N(q) = E\}$. Les éléments de $U$ sont appelés quaternions unitaires.

\medskip

\textbf{XVII.} Montrer que $U$ est un sous-groupe de GL$_2(\C)$.

\medskip

\textbf{XVIII.} Soit $p \in U$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe un nombre réel $\theta$ et un quaternion $u \in U \cap  \mathbb{H}_{pur}$ tel que

\[p = \cos(\theta)E + \sin\theta)u.\]

\item  Vérifier que $p^{-1} = p* = \cos(\theta)E - \sin(\theta)u$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{XIX.} Soit $p\in U$. On définit l'application suivante :

\[r_p: \left\{\begin{array}{l c l}
\mathbb{H}&\to&\mathbb{H}\\
q &\mapsto&pqp^{-1}
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $r_p$ est une application linéaire.
\item Montrer que pour tout $q \in \mathbb{H}$, $\|r_p(q)\| = \| q \|$.
\item Soient $p_1$ et $p_2$ deux éléments de $U$. Montrer que $r_{p_1} \circ r_{p_2} = r_{p_1p_2}$. En déduire que pour tout $p\in U$, $r_p$ est une bijection d'inverse $r_{p^{-1}}$.
\item Montrer que $r_p$ est égale à l'identité de $\mathbb{H}$ si et seulement si $p = E$ ou $p = -E$.
\item Soient $p_1$ et $p_2$ deux quaternions unitaires. Déduire de la question précédente que $r_{p_1} = r_{p_2}$ si et seulement si $p_1 = p_2$ ou $p_1 = - p_2$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{XX.} On suppose maintenant que $p$ est un quaternion unitaire différent de $E$ et de $-E$.

D'après la question \textbf{XVIII. 1.}, le quaternion $p$ s'écrit sous la forme 

$p = \cos(\theta)E + \sin(\theta)u$, où $\theta$ est un nombre réel et $u$ est un quaternion pur unitaire. On associe à $u$ le vecteur $\vect{u}$ par l'application $\Psi$ définie dans la question \textbf{XVI}.

Soit $\vect{v}$ un vecteur unitaire de $\R^3$ orthogonal à $\vect{u}$ : On pose $\vect{w} = \vect{u} \wedge \vect{v}$. On note $v$ et $w$ les quaternions purs associés aux vecteurs $\vect{v}$ et $\vect{w}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Que peut-on dire de la famille $\left(\vect{u}, \vect{u}, \vect{w}\right)$ ?
\item Montrer que $uv = - vu = w$,\: $uw = -wu = -v$,\: $u^2 = -E$ et que $u^3 = - u$.
\item Calculer $r_p(u)$,\: $r_p(v)$ et $r_p(w)$.
\item Montrer qu'il existe une rotation vectorielle de $\R^3$ notée $R$, dont on précisera l'axe et l'angle, telle que pour tout $q \in \mathbb{H}_{pur}$ si $q = \Psi\left(\vect{q}\right)$, alors $r_p(q) = \Psi\left(R\left(\vect{q}\right)\right)$.

\medskip

\textbf{XXI.} Soit $R$ une rotation vectorielle de l'espace euclidien $\R^3$, d'axe la droite $D$ dirigée par un vecteur unitaire $\vect{d}$ et d'angle $\phi$. 

Montrer qu'il existe $p \in U$ tel que pour tout $q \in \mathbb{H}_{pur}$
si $q = \Psi\left(\vect{q}\right)$, alors $r_p(q) = \Psi\left(R\left(\vect{q}\right)\right)$.

\medskip

\textbf{XXII.} \emph{Application.} Soient $R_1$ la rotation vectorielle de $\mathbb{R}^3$ d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ et d'axe engendré par
$(1,~-1,~ -1)$ et $R_2$ la rotation vectorielle de $\mathbb{R}^3$ d'angle $\pi$ et d'axe engendrée par (0,~1,~0).

Montrer que $R_2 \circ R_1$ et $R_1 \circ R_2$ sont des rotations dont on précisera les axes et les angles
\end{enumerate}

\medskip
\begin{center}
\textbf{\Large Problème \no 2}
\end{center}

Notations

On désigne par $\N$ l'ensemble des entiers naturels, par $\N*$ l'ensemble des entiers naturels non nuls et par $\R$ l'ensemble des nombres réels.

Soit $(\Omega, \mathcal{B}, \mathbb{P})$ un espace probabilisé. Si $A$ et $B$ sont deux événements de $\Omega$ avec $B$ de probabilité non nulle, la probabilité conditionnelle de $A$ sachant que $B$ est réalisé est notée $\mathbb{P}_B(A)$.

Soient $k$ et $n$ des entiers naturels, avec $0 \leqslant k \leqslant n$. Le coefficient binomial donnant le nombre de parties à $k$ éléments est noté $\binom{n}{k}$.

On utilisera la convention $0^0 = 1$ dans tout le problème.

\medskip

\begin{center}
\textbf{\large Partie A : quelques études de séries}
\end{center}

\medskip

\textbf{I.}. 

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ et tout nombre réel $x$ différent de $1$,

\[\displaystyle\sum_{k=0}^n x^k = \dfrac{1- x^{n+1}}{1 - x}.\]

\item  En déduire, pour tout entier naturel $n$ non nul et tout nombre réel $x$ différent de
$1$, une expression de $\displaystyle\sum_{k=1}^n kx^{k-1}$.
\item  Soit $x \in ]- 1~;~1[$. En déduire la convergence de la série $\displaystyle\sum_{b \geqslant 1}  nx^{n-1}$ et donner la valeur de sa somme.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II.} Soit $k$ un entier naturel. On considère la série entière

\[S_k(x) = \displaystyle\sum_{n=k}^{+ \infty}\binom{n}{k} x^{n-k}.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer le rayon de convergence de $S_k(x)$.
\item Montrer que $S_k$ est dérivable sur $]-1~;~1[$ et que, pour tout $x \in ]-1~;~1[$,\:

\[S'_k(x) = (k + 1 )S_{k+1} (x).\]

\item Montrer par récurrence que, pour tout $k\in \N$ et pour tout $x \in ] - 1~;~1[$,

\[S_k(x) = \dfrac{1}{(1 - x)^{k+1}}\]

\item Soit $x \in ]- 1~;~1[$. Justifier la convergence de la série $\displaystyle\sum_{n \geqslant 1} n^2x^{n-1}$ et montrer que

\[\displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty} n^2x^{n-1} = \dfrac{x + 1}{(1 - x)^3}.\]

\emph{Indication} : on pourra écrire $n^2$ en fonction de $\binom{n}{1}$ et de $\binom{n}{2}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{III.} Application : soit (D, A, P) un espace probabilisé. Soit P un réel de ]0; 1 [. Soit X une
variable aléatoire discrète suivant la loi géométrique de paramètre p, c'est-à-dire une
variable aléatoire définie sur D, telle que

\[X(\Omega) = \mathbb{N}^* \quad \text{et}\quad  \forall k \in \mathbb{N}^*,\: \mathbb{P}(X = k) = p(1 - p)^{k-1}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $X$ admet une espérance et la calculer.
\item Montrer que $X^2$ admet une espérance et la calculer.
\item Montrer que $X$ admet une variance et la calculer.
\end{enumerate}

\medskip
\begin{center}
\textbf{\large Partie B : étude d'une séance de tir à l'arc}
\end{center}

On considère deux archers $A_1$ et $A_2$ qui tirent chacun sur une cible de manière indépendante.

L'archer $A_1$ (respectivement $A_2$) touche sa cible avec une probabilité $p_1$ (respectivement $p_2$) strictement comprise entre $0$ et $1$. On suppose de plus que les tirs des joueurs sont indépendants les uns des autres. On appelle $X_1$ (respectivement $X_2$) la variable aléatoire donnant le nombre de tirs nécessaires à l'archer $A_1$ (respectivement $A_2$) pour qu'il touche sa cible pour la première fois. 

On note $q_1 = 1 - p_1$ et $q_2 = 1 - p_2$.

\medskip

\textbf{IV.} Déterminer les valeurs possibles prises par $X_1$.

\medskip

\textbf{V.} On introduit, pour tout entier naturel non nul $i$, l'évènement $E_i$ : \og le joueur $A_i$ touche la cible à son $i$-ème tir \fg.

Exprimer, pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, l'évènement $(X_1 = k)$ à l'aide des évènements $E_i,\: i \in \mathbb{N}^*$.

\medskip

\textbf{VI.} En déduire la loi de Xl.

\medskip

\textbf{VII.} 

\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel non nul $k$, calculer $\mathbb{P}(X_1 > k)$.
\item  Montrer que

\[\forall (m,~n) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{N}^*, \: \mathbb{P}_{(X_1 > k)}\left(X_1 > n +m \right) = \mathbb{P}\left(X_1 > n \right).\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{VIII.} Calculer $\mathbb{P}\left(X_1 = X_2\right)$.

\medskip

\textbf{IX.} Calculer $\mathbb{P}\left(X_1 > X_2\right)$.

\medskip

\textbf{X.} Que vaut $\mathbb{P}\left(X_2 > X_1\right)$ ?

\medskip

\textbf{XI.} On réalise à présent une deuxième expérience avec les deux archers $A_1$ et $A_2$ de la manière suivante : l'archer $A_1$ tire jusqu'à ce qu'il touche sa cible. On appelle $X_1$ la variable aléatoire donnant le nombre de tirs effectués par le joueur Al pour qu'il touche sa cible pour la première fois. Ensuite, si $X_1$ prend la valeur $n$, l'archer $A_2$ effectue $n$ tirs en direction de sa cible dans les mêmes conditions que la première expérience.

On définit alors la variable aléatoire $G$ égale au nombre de fois où la cible a été touchée
par l'archer $A_2$. On suppose dans cette partie que $p_1 = p_2$ et on note

\[p = p_1 = p_2, \qquad q = 1 - p = 1 - p_1 = 1 - p_2.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $k\in \mathbb{N}$. Déterminer la probabilité conditionnelle $\mathbb{P}_{(X_1 = n)}(G = k)$.

On distinguera les cas $k > n$ et $k \leqslant n$.
\item Montrer que, pour tout $k \in \mathbb{N}^*$,\: $\mathbb{P}(G ~ k) = q^{k-1}p^{k+1}\displaystyle\sum_{n=k}^{+ \infty}  \binom{n}{k}q^{2n - 2k}$.
\item En utilisant la partie A., montrer que, pour tout $k \in \mathbb{N}^*$,

\[\mathbb{P}(G = k) = \left(\dfrac{q}{1 + q}\right)^{k-1} \times \dfrac{1}{(1 + q)^2}.\]

\item Montrer que $G$ admet une espérance et que celle-ci vaut 1. Interpréter ce résultat.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{\large Partie C : étude d'une variable discrète sans mémoire}
\end{center}

Soit $Y$ une variable aléatoire discrète, à valeurs dans $\mathbb{N}$ telle que pour tout entier naturel $n$,
$\mathbb{P}(Y \geqslant n) > 0$.

On suppose également que $Y$ est sans mémoire c'est-à-dire qu'elle vérifie :

\[\forall(m,~n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N},\: \mathbb{P}_{(Y\geqslant m)}(Y \geqslant n + m) = \mathbb{P}(Y \geqslant n).\]

On pose $\mathbb{P}(Y = 0) = p$ et $q = 1 - p$.

\medskip

\textbf{XII.} Montrer que $\mathbb{P}(Y \geqslant 1) = q$. En déduire que $0 < q ~ 1$.

\medskip

\textbf{XIII.} Montrer que pour tout couple $(m,~n)$ d'entiers naturels,

\[\mathbb{P}(Y \geqslant n + m) = \mathbb{P}(Y \geqslant m)\mathbb{P}(Y \geqslant n).\]

\medskip

\textbf{XIV.} Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = \mathbb{P}(Y \geqslant n)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique et préciser sa raison.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $\mathbb{P}(Y \geqslant n)$ en fonction de $n$ et de $q$.
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, $\mathbb{P}(Y = n) = \mathbb{P}(Y \geqslant n) - \mathbb{P}(Y \geqslant n + 1)$.
\item En déduire que, pour tout $n \in \N$, $\mathbb{P}(Y = n) = q^np$.
\item En déduire que $q$ est différent de 1.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{XV.} Reconnaître la loi suivie par la variable aléatoire y + 1.

\medskip

\textbf{XVI.} Conclure que $Y$ est sans mémoire si et seulement si $Y + 1$ est une variable aléatoire de loi géométrique de paramètre $p \in ]0~;~1[$.

\begin{center}
\textbf{\Large Partie D : taux de panne d'une variable discrète}

\end{center}

Soit $Z$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ telle que, pour tout entier naturel $n$,

\[P(Z \geqslant n) > 0.\]

Soit $n \in \N$. On appelle taux de panne de $Z$ à l'instant $n$, le réel noté $\lambda_n$ défini par

\[\lambda_n = \mathbb{P}_{(Z \geqslant n)}(Z = n).\]

\medskip

\textbf{XVII.}\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$,

\[1  - \lambda_n = \dfrac{\mathbb{P}(Z \geqslant n+1)}{\mathbb{P}(Z \geqslant n)}\]

\item Vérifier alors que, pour tout entier naturel n, on a $0 \leqslant \lambda_n < 1$.

\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul,

\[P(Z \geqslant n) = \displaystyle\prod_{k=0}^{n-1} \left(1 - \lambda_k\right).\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{XVIII.} \begin{enumerate}
\item  Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul,
n-l
\[\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\mathbb{P}(Z = k) = 1- \mathbb{P}(Z \geqslant n).\]

\item En déduire que $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\mathbb{P}(Z \geqslant n)$ existe et vaut $0$.
\item Quelle est la nature de la série $\displaystyle\sum_{n \geqslant 0}\ln \left(1 - \lambda_n\right)$ ?
\item Que dire alors de la nature de la série $\displaystyle\sum_{n \geqslant 0} \lambda_n$ ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{XIX.} On suppose maintenant qu'il existe un nombre réel $c$ tel que pour tout $n \in \N$, $\lambda_n = c$.

Ce réel est appelé taux de panne de $Z$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $0 \leqslant c < 1$.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $\mathbb{P}(Z \geqslant n)$ en fonction de $c$ et de $n$.
\item Montrer que $c$ est non nul.
\item En déduire une caractérisation des variables aléatoires ayant un taux de panne
constant.
\end{enumerate}
\end{document}