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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small }
\lfoot{\small{CAPES externe}}
\rfoot{\small{9 mars 2011}}
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\thispagestyle{empty}
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\begin{center}
{\Large \textbf{CAPES épreuve 2 session 2011}}
\end{center}


\vspace{0,5cm}

$n$ désigne un entier naturel non nul.
 
Ce problème a pour objet de démontrer que tout compact de $\R^n$ d'intérieur non vide est inclus dans un unique ellipsoïde de volume minimal.
 
La partie I est indépendante du reste du problème.

\medskip

\textbf{Notations et définitions}

\medskip

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\circ~~$] $\mathcal{M}_{n,\,p}(\R)$ : ensemble des matrices à $n$ lignes et à $p$ colonnes, à coefficients dans $\R$, et on identifiera $\mathcal{M}_{n,\,1}(\R)$ à $\R^n$. 
\item[$\circ~~$] $\mathcal{M}_{n}(\R)$ : ensemble des matrices carrées à $n$ lignes et $n$ colonnes, à coefficients dans $\R$. 
\item[$\circ~~$] $GL_{n}(\R)$ : ensemble des matrices inversibles de $\mathcal{M}_{n}(\R)$. 
\item[$\circ~~$] Si $n$ et $p$ sont deux entiers naturels non nuls, $0_{n,\,p}$ désigne la matrice de $\mathcal{M}_{n}(\R)$ dont tous les coefficients sont nuls.
\item[$\circ~~$] Pour $M = \left(m_{ij} \right)_{\begin{subarray}{l}1\leqslant i \leqslant n\\1\leqslant j \leqslant n\\
\end{subarray}} \in  \mathcal{M}_{n}(\R)$ et $k \in \{1,\,\ldots,\, n\}$, on note $M_{k}$ la matrice 

$\left(m_{ij} \right)_{\begin{subarray}{l}1\leqslant i \leqslant k\\
1\leqslant j \leqslant k\\
\end{subarray}} \in \mathcal{M}_{k}(\R)$.
\item[$\circ~~$] $\mathcal{S}_{n}(\R)$ : ensemble des matrices $M \in  \mathcal{M}_{n}(\R)$ symétriques, c'est-à-dire telles que $^tM = M$. 
\item[$\circ~~$] On rappelle qu'une matrice $M$ de $\mathcal{S}_{n}(\R)$ est symétrique positive lorsque pour tout $X \in  \mathcal{M}_{n,\,1}(\R),\, ^tX M X 2 \geqslant 0$.
 
On notera $\mathcal{S}_{n}^{+}(\R)$ l'ensemble de ces matrices. 
\item[$\circ~~$] On rappelle qu'une matrice $M$ de $\mathcal{S}_{n}(\R)$ est symétrique définie positive lorsque pour tout $X \in  \mathcal{M}_{n,\,1}(\R) \backslash \{0_{0,\,1}\},\, ^t X M X > 0$. On notera $\mathcal{S}_{n}^{++}(\R)$ l'ensemble de ces matrices. 
\item[$\circ~~$] On dit qu'une partie $\epsilon$ de $\mathcal{M}_{n,\,1}(\R)$ (ou de $\R^n$) est un \textbf{ellipsoïde}, s'il existe $A \in  \mathcal{S}_{n}^{++}(\R)$ telle que 

\[\epsilon = \left\{X \in  \mathcal{M}_{n,\,1}(\R) \ ^t X A X \leqslant 1.\right\} \]

Pour $A \in  \mathcal{S}_{n}^{++}(\R)$, l'ellipsoïde $\left\{X \in  \mathcal{M}_{n,\,1}(\R) /  ^t X A X \leqslant 1\right\}$ sera noté $\epsilon_{A}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip
 
\section{\textbf{Partie 1 : cas d'un triangle équilatéral}}

\medskip
 
On se place dans le plan affine euclidien orienté $\mathcal{P}$.
 
Cette partie a pour objet de démontrer l'existence et l'unicité d'une ellipse d'aire minimale circonscrite à un triangle équilatéral.
 
Le terme ellipse désigne une courbe bornée admettant dans un repère une équation du type $ax^2 + by^2 + 2cxy + dx + ey + f = 0$ avec $(a,\, b,\, c,\, d,\, e,\, f) \in  \R^6$ tel que 

$(a,\, b,\, c) \neq (0,\,0,\,0)$. 
\begin{enumerate}
\item Étant donné un repère orthonormal direct \Oij, on considère les points : 

\[I(1~;~ 0),\quad  J\left(- \dfrac{1}{2}~;~\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)\quad  \text{et}\,\, K\left(- \dfrac{1}{2}~;~- \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right).\] 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $ \epsilon$ une ellipse de centre $O$ et d'équation
		
$ax^2 + by^2 + 2cxy + dx + ey + f = 0$ dans le repère \Oij.
 
Montrer que $d = e = 0$. 
		\item Montrer que le cercle circonscrit à $IJK$ est l'unique ellipse de centre O contenant les points $I,\, J$ et $K$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $ABC$ un triangle équilatéral et $R$ le rayon de son cercle circonscrit. Exprimer l'aire du triangle $ABC$ en fonction de $R$. 
\item Résoudre le système d'équations $\left\{\begin{array}{l c l}
\cos(y - x)& =& \cos x\\
\cos(y - x)& =& \cos y
\end{array}\right.$  d'inconnue 

$(x,\, y) \in \R^2$ telle que $0 < x < y < 2\pi$.
\item  Soit $C$ un cercle de rayon $R > 0$. On note O son centre. 
	\begin{enumerate}
		\item Étant donné un repère orthonormal direct \Oij, on considère les points $A(R~;~0),\, B(R\cos \beta~;~ R\sin \beta$ et $C(R\cos \gamma~;~ R \sin \gamma)$, avec $(\beta,\, \gamma) \in \R^2$ tel que $0 \leqslant \beta \leqslant \gamma \leqslant 2\pi$. 
		\begin{enumerate}
			\item Montrer que l'aire du triangle $ABC$ est $\dfrac{R^2}{2} \left[\sin (\gamma - \beta) - \sin \gamma + \sin \beta\right]$. Dans la suite, cette aire sera notée $f(\beta,\,\gamma)$. 
			\item Montrer que $f$ admet un maximum atteint en un point $\left(\beta_{0}0~;~\gamma_{0}\right)$ tel que $0 < \gamma_{0} < \gamma_{0} < 2\pi$. 
			\item Déterminer $\beta_{0}$ et $\gamma_{0}$. Quelle est alors la nature du triangle obtenu ?
		\end{enumerate} 
		\item Déterminer l'aire maximale d'un triangle inscrit dans $C$.
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que si $C$ est un cercle d'aire $\mathcal{A}_{C}$ circonscrit à un triangle $\mathcal{T}$ d'aire $\mathcal{A}_{\mathcal{T}}$, alors  $\dfrac{\mathcal{A}_{C}}{\mathcal{A}_{\mathcal{T}}} \geqslant \dfrac{4\pi}{3\sqrt{3}}$  avec égalité si et seulement si le triangle est équilatéral. 
\item Montrer que parmi les ellipses circonscrites au triangle $IJK$ défini dans la question 1, il en existe une et une seule délimitant une surface d'aire minimale. \emph{On rappelle que toute ellipse peut-être transformée en un cercle par une affinité orthogonale et qu'une affinité orthogonale conserve les rapports d'aires.}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\section{\textbf{Partie II : étude de \boldmath $\mathcal{S}_{n}^{++}(\R)$\unboldmath }}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que si $D \in \mathcal{M}_{n}(\R)$ est une matrice diagonale à coefficients diagonaux strictement positifs, alors $D \in \mathcal{S}_{n}^{++}(\R)$. 
\item Soit $A \in \mathcal{S}_n(\R)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, si $A \in \mathcal{S}_{n}^{++}(\R)$, alors les valeurs propres de $A$ sont strictement positives. 
		\item Énoncer le théorème permettant d'affirmer qu'il existe des matrices $D$ diagonale et $P$ orthogonale telles que $A = ^tPDP$. 
		\item Montrer que, si les valeurs propres de $A$ sont strictement positives, alors $A \in \mathcal{S}_{n}^{++}(\R)$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $A \in \mathcal{M}_{n}(\R)$. Montrer que $A \in \mathcal{S}_{n}^{++}(\R)$ si et seulement si il existe $Q \in GL_{n}(\R)$ telle que $A = ^tQQ$. 
\item Soit $A \in \mathcal{S}_{n}(\R)$. Montrer que si $A \in \mathcal{S}_{n}^{++}(\R)$, alors $\det(A) > 0$.

La réciproque est-elle vraie ? 
\item Soit $A \in \mathcal{S}_{n}^{++}(\R)$. Montrer que, pour tout $k \in \{1,\,\ldots ,\,n\},\, \det \left(A_{k}\right) > 0.$ 
\item Soit $A \in \mathcal{S}_{n+1}(\R)$ telle que $A_{n} \in \mathcal{S}_{n}^{++}(\R)$. Montrer qu'il existe $Q \in GL_{n}(\R),\,$

$C \in \mathcal{M}_{n,\,1}(\R),\, \alpha \in \R$ tels que 

\[A = \begin{pmatrix}^tQ&0_{n,\,1}\\
0_{n,\,1}&1\\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}I_{n}&C\\
^tC&\alpha\\  \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Q& 0_{n,\,1}\\
O_{1,\,n}&1\\  \end{pmatrix}\]

\item Etant donné un entier naturel $m$ non nul, $\alpha,\, \alpha_{1},\,\ldots,\,\alpha_{m}$ désignent $m + 1$ nombres réels. On considère la matrice $M$ de $\mathcal{M}_{m+1}(\R)$ définie par : 

\[M = \begin{pmatrix}
1 &0  &\cdots&0&\alpha_{1}\\  
0&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 
\vdots&\ddots&\ddots&0&\vdots\\
0 &\cdots& 0  &1&\alpha_{m}\\ 
\alpha_{1}&\cdots&\cdots&\alpha_{m}&\alpha\\
\end{pmatrix}\] 

\medskip
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence sur $m$ que $\det(M) = \alpha - \displaystyle\sum_{i = 1}^{m} \alpha_{i}^2$. 
		\item Pour $X \in  \mathcal{M}_{m,\,1}(\R)$, expliciter $^tXMX$ en fonction des composantes de $X$ et en déduire que si $\det (M) > 0$ alors $M \in S_{m+1}^{++}(\R)$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $A \in \mathcal{S}_n(\R)$. Montrer que si pour tout $k \in \{1,\,\ldots,\,n\} \, \det\left(A_{k}\right) > 0$, alors 

$A \in \mathcal{S}_{n}^{++}(\R)$.
 
\emph{On pourra raisonner par récurrence sur $n$ et utiliser les questions $6$. et $7$.} 
\item Montrer que $\mathcal{S}_{n}^{++}(\R)$ est un ouvert de l'ensemble $\mathcal{S}_n(\R)$ muni d'une norme.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\section{\textbf{Partie III : inclusion d'un compact dans un ellipsoïde}}

\medskip
 
\textbf{III. 1 Réduction simultanée}

\medskip

Soit $A \in \mathcal{S}_{n}^{++}(\R)$ et $B \in  \mathcal{S}_n(\R)$.
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'application $\Phi_{A}$ qui à $(X,\, Y) \in  \mathcal{M}_{n,\,1}(\R)^2$ associe 

$\Phi_{A}(X,\, Y) = ^tXAY$ est un produit scalaire sur $\mathcal{M}_{n,\,1}(\R)$. 
\item Montrer que si les colonnes d'une matrice $P \in Mn(\R)$ forment une base orthonormale de $\mathcal{M}_{n,\,1}(\R)$ pour $\Phi_{A}$, alors $^t PAP = I_{n}$. 
\item Montrer que l'application $f$ de $\mathcal{M}_{n,\,1}(\R)$ dans lui-même qui, à $X \in \mathcal{M}_{n,\,1}(\R)$ associe $f(X) = A^{-1}BX$ est un endomorphisme de $\mathcal{M}_{n,\,1}(\R)$, symétrique pour $\Phi_{A}$.
 
Quelle est la matrice de $f$ dans la base canonique de $\mathcal{M}_{n,\,1}(\R)$ ? 
\item En déduire qu'il existe $Q \in GL_{n}(\R)$ et $D$ une matrice diagonale telles que 

$A = ^tQQ$ et $B = ^tQDQ$.
 
Que représentent les coefficients diagonaux de $D$ ? 
\item On suppose que $B \in S_{n}^{++}+(\R)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que si $\epsilon_{A} \subset \epsilon_{B}$ les valeurs propres de $A^{-1}B$ sont inférieures ou égales à 1. 
		\item En déduire que si ${\epsilon}_{A} = \epsilon_{B}$ alors $A = B$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\textbf{III. 2 Convexité}

\medskip
 
Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel.
 
Si $u_{1}$ et $u_{2}$ sont deux éléments de $E$, le segment $\left[u_{1}~;~ u_{2}\right]$ est l'ensemble des vecteurs de la forme $tu_{1} + (1 - t)u_{2}$ lorsque $t$ décrit [0~;~1].
 
On rappelle qu'une partie $C$ de $E$ est convexe lorsque, pour tout $\left(u_{1},\,u_{2}\right) \in  C^2,\, \left[u_{1}~;~ u_{2}\right] \subset C$.
 
Étant donnée une partie $C$ de $E$ convexe, une application $\varphi : C \to \R$  est dite strictement convexe lorsque pour tout $\left(u_{1},\,u_{2}\right) \in C^2$ tel que $u_{1}\neq u_{2}$ et pour tout 

$t \in]0~;~1[,\, \varphi\left(tu_{1} + (1 - t)u_{2}\right) < t\varphi\left(u_{1}\right) + (1 - t)\varphi \left(u_{2}\right)$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'intersection de deux parties convexes est convexe. 
\item On suppose de plus $E$ normé. On considère une partie $C$ non vide, convexe et compacte de $E$ et $\varphi : C \to \R$ une application strictement convexe et continue sur $C$.  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\varphi$ admet un minimum, atteint en un unique point. 
		\item Montrer que $\varphi$ admet un maximum. Sans justification, donner un exemple pour lequel ce maximum est atteint en une infinité de points.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
	 
\textbf{III. 3 Volume d'un ellipsoïde}

\medskip
 
On admet qu'il existe une constante $k_{n}$ ne dépendant que de $n$ telle que, si $A \in \mathcal{S}_{n}^{++}(\R)$, le volume de $\epsilon_{A}$ est $\dfrac{k_{n}}{\sqrt{\det(A)}}$. 
 
On s'intéresse à la fonction $v$ définie sur $\mathcal{S}_{n}^{++}(\R)$ par $v(A) = \dfrac{1}{\det(A)}$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer $k_{2}$ et $k_{3}$. 
\item Montrer (sans considération de volume) que, si $\epsilon_{A} \subset \epsilon_{B}$, alors $v(A) \leqslant v(B)$. 
\item Montrer que $v$ est continue sur $\mathcal{S}_{n}^{++}(\R)$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $\lambda \in \R^{+*}$ et tout $t \in ]0~;~1[,$
		
$\ln (t + (1 - t)\lambda) \geqslant (1 - t) \ln(\lambda)$. Montrer qu'il y a égalité si et seulement si $\lambda = 1$.
		 
\emph{On pourra, pour $t$ fixé dans $]0~;~1[$, étudier la fonction $\psi$ définie sur $\R^{+*}$ par :}

\[ \psi(\lambda) = \ln(t + (1 - t)\lambda) - (1 - t) \ln \lambda.\]
 
		\item Montrer que, pour tout $(a,\,b) \in \R^2$ et tout $t \in [0~;~1],\,$
		
$\text{e}^{t a+(1-t)b} \leqslant t\text{e}^{a} + (1 - t)\text{e}^{b}$. 
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item Montrer que $\mathcal{S}_{n}^{++}(\R)$ est une partie convexe de $\mathcal{M}_{n}(\R)$. 
			\item Soient $A$ et $B$ appartenant à $\mathcal{S}_{n}^{++}(\R)$ et $t\in \R$. En reprenant les notations de III. 1. 4, exprimer $\det (A),\, \det(B)$ et $\det(tA + (1 - t)B)$ en fonction de $\det(Q)$ et des coefficients diagonaux de $D$. 
			\item Montrer que $v$ est strictement convexe sur $\mathcal{S}_{n}^{++}(\R)$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate} 
\item Soient $A \in \mathcal{S}_{n}^{++}(\R)$ et $M \in GL_{n}(\R)$.
 
On considère l'ensemble $M\left(\epsilon_{A}\right) = \{Y \in \mathcal{M}_{n,\,1}(\R)/\exists X \in \epsilon_{A},\, Y = MX\}$ qu'on pourra aussi écrire sous la forme $\{MX~;~X \in \epsilon_{A}\}$. Montrer que $M\left(\epsilon_{A}\right)$ est un ellipsoïde ; déterminer la matrice symétrique définie positive $B$ telle que $M\left(\epsilon_{A}\right) = \epsilon_{B}$. Donner une relation entre le volume de $\epsilon_{A}$ et celui de $M\left(\epsilon_{A}\right)$.
\end{enumerate}

\textbf{III.   Inclusion dans un ellipsoïde}

\medskip
 
On munit $\mathcal{M}_{n,\,1}(\R)$ de la norme euclidienne usuelle et $\mathcal{M}_{n} (\R)$ de la norme subordonnée:
 
si  $X \in \mathcal{M}_{n,\,1}(\R),\, \|X\| = \sqrt{^tXX}$  et si  $A \in \mathcal{M}_{n}(R),\,|||A||| = \begin{subarray}{l}\sup\\X \neq 0\\ \end{subarray} \dfrac{||AX||}{||X||}$.
 
On considère un compact $K$ de $\mathcal{M}_{n,\,1}(\R)$ d'intérieur non vide. Il existe alors $ X_{0} \in K$ et $\epsilon$ un réel strictement positif tels que la boule fermée $B\left(X_{0},\, \epsilon\right)$ soit incluse dans $K$.
 
\begin{enumerate}
\item Soit $A \in  \mathcal{S}_{n}^{++}(\R)$ telle que $K \subset  \epsilon_{A}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\epsilon_{A}$ est une partie convexe de $\mathcal{M}_{n,\,1}(\R)$.
		 
On pourra utiliser que $X \mapsto  \left(^t X A X\right)^{1/2}$ est une norme sur $\mathcal{M}_{n,\,1}(\R)$. 
		\item Montrer que si $X \in \epsilon_{A}$, alors $-X \in \epsilon_{A}$. 
		\item Montrer que pour tout $X \in B(0,\,\epsilon),\, X_{0} + X$ et $-X_{0} + X$ appartiennent à $\epsilon_{A}$ et en déduire que $B(0,\,\epsilon) \in  \epsilon_{A}$. 
		\item Montrer que, si $\lambda$ est une valeur propre de $A$, alors $\lambda \leqslant \dfrac{1}{\epsilon^2}$.
		 
\emph{On pourra considérer un vecteur propre unitaire associé à la valeur propre $\lambda$}. 
		\item Montrer que $|||A||| \leqslant  \dfrac{1}{\epsilon^2}$. 
	\end{enumerate}
\item Montrer qu'il existe un ellipsoïde $\epsilon$ tel que $K \subset \epsilon$.
 
Dans la suite, on fixe $A_{0} \in \mathcal{S}_{n}^{++}(\R)$ tel que $K \subset \epsilon_{A_{0}}$ et on considère l'ensemble 

\[\mathcal{M} = \{A \in S_{n}^{+}(\R) / \det\left(A_{0}\right) \quad \text{et}\,\,  \forall X \in K,\, 0 \leqslant ^tXAX \leqslant 1\}\] 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\mathcal{M}$ est inclus dans $\mathcal{S}_{n}^{++}(\R)$. 
		\item Montrer que $\mathcal{M}$ est borné. 
		\item Montrer que $\mathcal{M}$ est une partie fermée de $S_{n} (\R)$. 
		\item Montrer que $\mathcal{M}$ est une partie convexe.
		 
\emph{On pourra utiliser la convexité de $v$ sur $\mathcal{S}_{n}^{++}(\R)$ démontrée en } III. 3. 4.
	\end{enumerate} 
\item Montrer qu'il existe un unique ellipsoïde $\epsilon$ de volume minimal contenant K. 
\item On considère dans $\R^2$ l'ensemble $K = \{(x,\, y) \in \R^2 / x \in  [-1~;~ 1]\, \text{et}\, y = 0\}$.
	\begin{enumerate}
		\item Quel est l'intérieur de $K$ ? 
		\item Existe-t-il une ellipse d'aire minimale contenant $K$ ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}