\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage{eufrak}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès Denis.Verges@wanadoo.fr
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small CAPES externe }%tapez un titre
\lfoot{\small{Seconde épreuve}}
\rfoot{\small{10 mars 2009}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}%\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\huge \textbf{\gray \decofourleft~CAPES externe 10 mars 2009~\decofourright}}

\vspace{5cm} \textbf{\Large Seconde épreuve} 

\vspace{2cm}9 h à 14 h
 \end{center}

\newpage

\begin{center} \textbf{Notations et présentation du sujet} \end{center}


Dans tout le problème $n$ désigne un entier naturel non nul. Si $a$ et $b$ sont deux entiers naturels tels que $a < b$ on note $\llbracket a,~ b\rrbracket$ l'ensemble des entiers naturels $k$ tels que $a \leqslant k \leqslant b$.
 
Si $K =  \R$ ou $\C$, pour un polynôme $P(X) \in K[X]$ on notera $P$ la fonction polynôme associée à $P(X)$. On note $P'(X)$ le polynôme dérivé de $P(X)$. 

Enfin, le plan $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormal direct d'origine O. 

\medskip

Ce sujet traite de quelques aspects géométriques liés aux racines de polynômes. Il se compose de quatre parties. Les parties A et B sont destinées à donner des majorations des modules des racines d'un polynôme en fonction de ses coefficients. Dans les parties suivantes, on s'intéresse à localiser les racines du polynôme dérivé par rapport aux racines du polynôme. Dans la partie C on établit à ce sujet un théorème de Lucas et dans la partie D on démontre un raffinement de ce théorème pour des polynômes de degré 3. 

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
{\large\textbf{Partie A : une majoration des modules des racines d'un polynôme}} \end{center} 

\medskip

Soit $P(X) = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots  + a_{1}X + a_{0} \in  \C[X]$ un polynôme unitaire de degré $n$. On se propose de montrer que les racines de $P(X)$ appartiennent au disque fermé de centre O et de  rayon $R$ où
\[R = \text{max}\{|a_{0}|,~1 + |a_{1}|,  1 +  |a_{2}|,~\cdots,~1 + |a_{n-1}|\} \] 

 \textbf{I. Exemple numérique} 

On considère les nombres complexes $a_{0} = 6 - 2\text{i},~ a_{1} = -3 - 5\text{i},~ a_{3} = - 2 + 3\text{i}$, et on définit le polynôme $p(X) \in \C[X]$ par : 
\[p(X) = X^3 + a_{2}X^2 + a_{1}X + a_{0}.\] 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $p(X)$ possède une racine réelle. 
		\item  Résoudre dans $\C$ l'équation : $z^2 + 3\text{i}z - 3 + \text{i} = 0$. 
		\item  Vérifier que les racines de $p(X)$ appartiennent au disque fermé de centre O et de rayon 
	$R$ où $R = \text{max}\{|a_{0}|,~ 1 + |a_{1}|,~ 1 + a_{2}|\}$. 
		\end{enumerate}
		 
\textbf{II. Étude du cas général}
 
Soit $A = \left(a_{ij}\right)$ une matrice carrée d'ordre $n$ à coefficients dans $\C$. On pose, pour tout entier 
$i \in \llbracket 1,~n \rrbracket$ : 
 
\[r_{i} = \sum_{j=1}^n \left|a_{ij}\right| \quad  	\text{et} \quad  	D_{i} = \{z \in \C,~ |z| \leqslant r_{i}\}\] 

\begin{enumerate}
\item  Soit $\lambda \in \C$ une valeur propre de $A$ et soit $V$ un vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre $\lambda$. On pose $V = \begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\ \vdots\\v_{n}\\
\end{pmatrix}$ où $v_{i} \in \C$ pour tout $i \in \llbracket 1,~n\rrbracket$

	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout entier $i \in \llbracket 1,~n\rrbracket$, on a : 
\[\left|\lambda v_{i}\right| \leqslant r_{i} \underset{k \in \llbracket 1,~n\rrbracket}{\text{max}} \left(\left|v_{k}\right|\right)\]
 
		\item En déduire que:  $\lambda  \in  \displaystyle\bigcup_{i=1}^n  D_{i}.$
	\end{enumerate}
\item Au polynôme $P(X) = X^n+a_{n-1}X^{n-1} + \cdots  +a_{1}X +a_{0} \in \C[X]$, est associée la matrice carrée d'ordre $n$ notée $M_{P}$, appelée matrice compagnon de $P$, et définie par : 
\[ M_{P} = \begin{pmatrix}
0 &0 &0& \ldots & 0 &0 &- a_{0}\\ 
1 &0 &0 &\ldots&0&0& - a_{1}\\ 
0& 1 &0  &\ldots&0&0& - a_{2}\\ 
\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
0 &0 &0 &\ldots&1 &0& - a_{n-2}\\ 
0 &0 &0 &\ldots&0 &1& - a_{n-1}\\
\end{pmatrix}\] 
c'est--à--dire la matrice $M_{P} = \left(m_{ij}\right)$ avec : 
\[ \left\{ \begin{array}{l c l}
m_{ij}&=& 1\quad  \text{si}~ i - j = 1 \\
m_{in}&=&  -a_{i-1}\\
 m_{ij} &=& 0 \quad  \text{sinon}\\
 \end{array}\right.\] 

	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout nombre complexe $z$ on a : 
\[\text{det}\left(M_{P} - zI_{n}\right) = (- 1)^n P(z)\]
où $I_{n}$ est la matrice identité d'ordre $n$. 
		\item  En déduire que les racines de $P(X)$ appartiennent au disque fermé de centre O et de rayon $R$ où 
\[R = \text{max}\left\{\left|a_{0}\right|,{} 1 + \left|a_{1}\right|,~ 1 + \left|a_{2}\right| ,~1 + \left|a_{n-1}\right|\right\}\] 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}{\large\textbf{PARTIE B : La borne de Cauchy} } \end{center}

Dans cette partie on se propose de donner un autre encadrement des modules des racines d'un polynôme en fonction de ses coefficients. 

\textbf{I. Un résultat préliminaire}
 
Soient $\left(c_{i}\right)_{i \in \llbracket 0,~n-1 \rrbracket}$  des réels positifs non tous nuls. On considère le polynôme $H(X)$ défini par : 
\[H(X) = X^n - \sum_{k=0}^{n-1} c_{k}X^k\] 
et on définit sur $]0~;~ +\infty[$ la fonction $h$ par : 
\[h(x) = - \dfrac{H(x)}{x^n}\] 
 
\begin{enumerate}
\item  Montrer que la fonction $h$ est strictement décroissante sur $]0~;~+ \infty[$. 
\item   En déduire que le polynôme $H(X)$ admet une unique racine réelle strictement positive qu'on note $\alpha$ et montrer que cette racine est une racine simple. 

\item   Soit $\zeta$ une racine complexe de $H(X)$. On suppose que $|\zeta|  > \alpha$, montrer alors que : 

\[|\zeta|^n> \sum_{k=0}^{n-1}c_{k} |\zeta|^k\] 

\item   En déduire que toutes les racines de $H(X)$ appartiennent au disque fermé de centre O et de rayon $\alpha$. 
\end{enumerate}

\textbf{II.  Une application}
 
On considère un entier $m \geqslant 2$ et un polynôme $F( X) = \displaystyle\sum_{k=0}^{m-1} a_{k}X^k$  de degré $m - 1$ tel que 
$a_{i}$ soit un réel strictement positif pour tout $i \in \llbracket 0,~ m - 1\rrbracket$.

 On pose $\gamma = \underset{i \in \llbracket 1,~m-1 \rrbracket}{\text{max}} \left\{\dfrac{a_{i} - 1}{a_{i}}\right\}$
et on considère une racine complexe $\zeta$ du polynôme $F(X)$. 
\begin{enumerate}
\item  En considérant le polynôme $F_{\gamma}(X) = (X - \gamma)F(X)$, montrer que 
\[|\zeta| \leqslant \gamma\]
\item  On pose $\gamma'  = \underset{i \in \llbracket 1,~m-1 \rrbracket}{\text{min}}\left\{\dfrac{a_{i} - 1}{a_{i}}\right\}$. Montrer que : 
\[ \gamma' \leqslant |\zeta| \]
\end{enumerate}

\textbf{III.  La borne de Cauchy }
 
Soit $f(X) = \displaystyle\sum_{k=0}^n a_{k}X^k \in  \C[X]$ un polynôme de degré $n$ tel que les $\left(a_{i}\right)_{i\in \llbracket 0,~n-1 \rrbracket}$ soient non  tous nuls. 
\begin{enumerate}
\item  Montrer que l'équation d'inconnue $x$ 
\[\sum_{k=0}^{n-1} \left|a_{k}\right|x^k = \left|a_{n}\right|x^n\]
poss\`ede une unique solution réelle strictement positive.
 
Cette racine est appelée borne de Cauchy de $f(X)$ et sera notée dans la suite $\rho(f)$. 
\item Montrer que pour toute racine complexe $\zeta$ de $f(X)$ on a : 
\[|\zeta| \leqslant \rho(f)\]
\item Soit $\left(\zeta_{i}\right)_{i\in \llbracket 1,~n \rrbracket}$ les $n$ racines complexes (distinctes ou non) de $f(X)$ avec 
\[0 \leqslant  \left|\zeta_{1}\right| \leqslant  \left|\zeta_{1}\right| \leqslant \cdots \leqslant  \left|\zeta_{n}\right| \leqslant \rho(f)\]
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout entier $k \in \llbracket 0,~ n\rrbracket$ on a : 
\[ \left|\dfrac{a_{k}}{a_{n}}\right|\leqslant \binom{n}{k}\left|\zeta_{n}\right|^{n-k}\]
où $\binom{n}{k}$ désigne le coefficient binômial : $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n - k)!}$. 
		\item  En déduire que : 
		\[\rho(f)^n \leqslant \sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}\rho(f)^k \left|\zeta_{n}\right|^{n-k}  \]
		\item  En déduire que : 
\[\left( \sqrt[n]{2} - 1\right)\rho(f) \leqslant \left|\zeta_{n}\right|  \]
 
		\item  On suppose que $0$ n'est pas racine de $f(X)$ et on pose $g(X) = \displaystyle\sum_{k=0}^n  a_{k}X^{n-k}$. On 
note $\rho(g)$ la borne de Cauchy de $g(X)$. Montrer que : 

\[\dfrac{1}{\rho(g)} \leqslant \left|\zeta_{1}\right| \leqslant \dfrac{1}{\left( \sqrt[n]{2} - 1\right)\rho(g)}\]
	\end{enumerate}
\item En reprenant le polynôme $p(X)$ de la question 1. de la partie A, déterminer à la calculatrice une valeur approchée de la borne de Cauchy de $p(X)$ et vérifier pour ce polynôme les résultats obtenus aux questions 2., et 3. c.
\end{enumerate}
 
\textbf{IV. Un raffinement de la borne de Cauchy} 
 
On considère toujours $f(X) = \displaystyle\sum_{k=0}^n a_{k}X^k \in  \C[X]$ un polynôme de degré $n$ tel que les 
$\left(a_{i}\right)_{i\in \llbracket 0,~n-1 \rrbracket}$ soient non tous nuls. 

On pose
\[f_{1}(X) = a_{n}X^n + \sum_{k=0}^{n-2}a_{k}X^k\]
 
On se propose de montrer que les racines de $f(X)$ appartiennent à $\mathcal{D}_{0} \cup \mathcal{D}_{1}$ où $\mathcal{D}_{0}$ et $\mathcal{D}_{1}$ sont les disques définis par : 

\[\mathcal{D}_{0} = \{z \in \C,~ |z|  \leqslant  \rho(f_{1})\} \quad \text{et} \quad  \mathcal{D}_{1} = \left\{z \in \C,~ \left|z + \dfrac{a_{n-1}}{a_{n}}\right|  \leqslant  \rho(f_{1})\right\}\]  
et où $\rho(f_{1})$ désigne la borne de Cauchy de $f_{1}(X)$.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que $\rho\left(f_{1}\right)  \leqslant \rho(f)$.
\item  Soit $\zeta$ une racine de $f$ n'appartenant pas à $\mathcal{D}_{0}$. Montrer que : 

\[\left|a_{n-1} + a_{n}\zeta\right| \leqslant \dfrac{1}{\rho\left(f_{1}\right)^{n-1}}\sum_{k=0}^{n-2} \left|a_{k}\right|\rho\left(f_{1}\right)^k = \left|a_{n}\right|\rho\left(f_{1}\right)\] 
\item  Conclure. 
\end{enumerate}

\begin{center}{\large \textbf{PARTIE C : un théorème de Lucas}} \end{center}

\medskip 

On dit qu'une partie $\Gamma$ du plan $\mathcal{P}$ est convexe si pour tout couple $(A,~ B)$ de points de $\Gamma$, le segment $[AB]$ est contenu dans $\Gamma$ : c'est à dire, en notant $a$ et $b$ les affixes respectives des points $A$ et $B$, si pour tout $\lambda \in [0~;~1]$, le point $M_{\lambda}$ d'affixe $\lambda a + (1- \lambda)b$ appartient à $\Gamma$. (En particulier, l'ensemble vide est convexe). 

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{I. Préliminaires} 

\begin{enumerate}
\item  Soit $P$ une partie de $\mathcal{P}$ et $E$ l'ensemble des parties de $P$ qui sont convexes et qui contiennent $P$. On pose 
\[\mathcal{E}(P) = \bigcap_{\Gamma \in E} \Gamma\] 
Montrer que $\mathcal{E}(P)$ est la plus petite (au sens de l'inclusion) partie convexe contenant $P$. Cette partie $\mathcal{E}(P)$ est appelée \textbf{l'enveloppe convexe} de $P$. 
\item Soit $P$ une partie non vide de $\mathcal{P}$ et notons $\mathcal{B}$ l'ensemble des barycentres de familles finies de points de $P$ affectés de coefficients positifs. Montrer que $\mathcal{E}(P) = \mathcal{B}$. 
\end{enumerate}
 
\textbf{II.}  Soit $f(X) = \displaystyle\sum_{k=0}^n a_{k}X^k \in \C[X]$  un polynôme de degré $n$ et soit $f'(X)$ son polynôme dérivé. 

Soit $\left\{r_{1},~ r_{2},~ \ldots,~r_{m}\right\}$ l'ensemble des racines de $f(X)$ et soit $\alpha_{j}$ l'ordre de multiplicité de la racine $r_{j}$ pour tout $j \in  \llbracket 1,~ m\rrbracket$. 
\begin{enumerate}
\item  Montrer que pour tout nombre complexe $z$ n'appartenant pas à $\left\{r_{1},~ r_{2},~ \ldots,~r_{m}\right\}$, on a : 
\[ \dfrac{f'(z)}{f(z)} =\sum_{j=1}^{m} \dfrac{\alpha_{j}}{z - r_{j}}\]

\item   Soit $r \in \C$ une racine de $f'(X)$ n'appartenant pas à $\left\{r_{1},~ r_{2},~ \ldots,~r_{m}\right\}$. Montrer que : 
\[\sum_{j=1}^{m} \dfrac{\alpha_{j}}{\left|r - r_{j} \right|^2}\left( r - r_{j}\right) = 0  \]
et déduire que le point d'affixe $r$ est barycentre des points $M_{1}, ~M_{2},~\ldots ,~M_{m}$ d'affixes respectives $r_{1},~ r_{2}, \ldots,~ r_{m}$. 
\item   Montrer alors que l'ensemble des points dont les affixes sont les racines de $f'(X)$ est inclus dans l'enveloppe convexe des points du plan dont les affixes sont les racines de  $f(X)$. (\emph{Théorème de Lucas}) 
\item   Illustrer ce résultat pour le polynôme $p(X)$ défini dans la question 1. de la partie A.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
 
\begin{center}{\large \textbf{PARTIE D : théorème de Lucas et polynômes de degré 3}}  \end{center}

On se propose dans cette partie de démontrer un raffinement du théorème de Lucas pour des polynômes de degré 3. Plus précisément, on se propose de montrer le résultat suivant : 

\medskip

\emph{Soit $f(X) \in \C[X]$ un polynôme unitaire de degré 3. On note $M_{1},{} M_{2}$ et $M_{3}$ les points du plan dont les affixes sont les racines de $f(X)$ et on suppose que $M_{1},{} M_{2}$ et $M_{3}$ ne sont pas alignés. Alors les racines du polynôme dérivé $f'(X)$ sont les affixes :} 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  \emph{des foyers de l'ellipse tangente aux trois côtés du triangle $M_{1} M_{2}M_{3}$ en leurs milieux si $M_{1} M_{2}M_{3}$ n'est pas équilatéral}
\item \emph{du centre du cercle inscrit dans le triangle $M_{1} M_{2}M_{3}$ s'il est équilatéral} 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\textbf{I. Étude du cas où $M_{1} M_{2}M_{3}$ est un triangle équilatéral}
 
Soit $f(X) = (X - r_{1})(X - r_{2})(X - r_{3}) \in \C[x]$ où $r_{1},{} r_{2}$ et $r_{3}$ sont trois nombres complexes distincts. On suppose que les points $M_{1},{} M_{2}$ et $M_{3}$ d'affixes respectives $r_{1},{} r_{2}$ et $r_{3}$ ne sont pas alignés. 
\begin{enumerate}
\item  Montrer que $f'(X)$ possède une racine double $\omega$ si et seulement si le triangle $M_{1}M_{2}M_{3}$ est équilatéral et son centre de gravité a pour affixe $\omega$. 
\item  Conclure. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{II. Une propriété de la tangente à l'ellipse }

Soit $a$ un réel strictement positif et soient $F$ et $F'$ deux points distincts du plan tels que $FF' < 2a$. On appelle ellipse de foyers $F$ et $F'$ et de demi--axe focal $a$ l'ensemble $(\mathcal{E})$ des points $M$ du plan tels que: 
\[MF + MF' = 2a \]
Soit $t \longmapsto  M(t)$ une paramétrisation de classe $C^1$ de l'ellipse. Pour tout point $M(t) \in (\mathcal{E})$, on note $\vect{r}(t) = \dfrac{\text{d}}{\text{d}t}\left( \vect{M(t)F} \right)$ un vecteur directeur de la tangente à $(\mathcal{E})$ en $M(t)$ et on pose 
\[\vect{u(t)} = \dfrac{1}{M(t)F} \vect{M(t)F} \quad \text{et} \quad \vect{v(t)} = \dfrac{1}{M(t)F'} \vect{M(t)F'}\] 

\begin{enumerate}
\item  Montrer que : 
\[\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}\left( \vect{M(t)F} \right) = \dfrac{\text{d}}{\text{d}t}\left( \vect{M(t)F'} \right) \]
\item Montrer que le produit scalaire $\left(\vect{u}(t) + \vect{v}(t)\right) \cdot r(t)$ est nul. 
\item En déduire que la tangente à $(\mathcal{E})$ en $M(t)$ est une bissectrice du couple de droites $\left((M(t)F\right),{} \left(M(t)F')\right)$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{III. Un théorème de Poncelet}

\medskip
 
Soit $P$ un point strictement « extérieur » à l'ellipse $(\mathcal{E})$ (c'est--à--dire un point $P$ tel que $PF + PF' > 2a$) : on admet qu'il existe toujours deux tangentes issues de $P$ à $(\mathcal{E})$ et on note $T_{1}$ et $T_{2}$ les points de tangences. 
\begin{enumerate}
\item  Soit $F_{1}$ l'image de $F$ par la réflexion d'axe $\left(PT_{1}\right)$. Montrer que $F'F_{1} =  2a$. 
\item On note de même $F_{2}$ l'image de $F$ par la réflexion d'axe $\left(PT_{2}\right)$. Montrer que $\left(PF'\right)$ est la médiatrice de $[HF_{2}]$. 
\item On se propose de montrer que les angles de droites $\left((PT_{1}\right),{} (PF))$ et $\left((PF'\right),{} \left(PT_{2}\right))$ sont égaux. Pour toute droite $D$ du plan, on note $S_{D}$ la réflexion d'axe $D$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $S_{(PF)} \circ  S_{(PT_{1})}\left(F_{1}\right)$ et en déduire la nature et les éléments caractéristiques de la composée $S_{(PF)} \circ  S_{(PT_{1})}$.
		\item  Déterminer de la même façon la nature et les éléments caractéristiques de la composée $S_{\left(PT_{2}\right)} \circ  S_{\left(PF'\right)}$ et conclure. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}		

\medskip

\textbf{IV.  Étude du cas où $M_{1}M_{2}M_{3}$ n'est pas équilatéral}

\medskip
		
Soit $f(X) = (X - r_{1})(X - r_{2})(X - r_{3}) \in \C[x]$ où $r_{1},{} r_{2}$ et $r_{3}$ sont trois nombres complexes distincts. On suppose que les points $M_{1},{} M_{2}$ et $M_{3}$ d'affixes respectives $r_{1},{} r_{2}$ et $r_{3}$ ne sont pas alignés et que le triangle $M_{1}M_{2}M_{3}$ n'est pas équilatéral.

\medskip 

On note $w$ et $w'$ (avec $w \neq w'$) les racines du polynôme dérivé $f'(X)$ et $F$ et $F'$ les points d'affixes respectives $w$ et $w'$. 
\begin{enumerate}
\item  Justifier qu'il existe une ellipse $(\mathcal{E})$ de foyers $F$ et $F'$ et passant par le milieu de $\left[M_{1}M_{2}\right]$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que dans $\C[X]$ on a l'égalité : 
\[3(X - w)\left(X - w'\right) = \left(X - r_{1}\right)\left(X - r_{2}\right) + \left(X - r_{2}\right)\left(X - r_{3}\right) + \left(X - r_{3}\right)\left(X - r_{1}\right).\] 
		\item En déduire que : 
 
\[12 \dfrac{w - \dfrac{r_{1} + r_{2}}{2}}{r_{1} - r_{2}} = \dfrac{r_{2} - r_{1}}{w' - \dfrac{r_{1}+ r_{2}}{2}}\]
puis que la droite $\left(M_{1}M_{2}\right)$ est tangente à $(\mathcal{E})$. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que : 

\[\dfrac{r_{2} - r_{1}}{ w - r_{1}}  = 3\dfrac{w' - r_{1}}{r_{3} - r_{1}}.\]
		\item En déduire que $\left(M_{1}M_{3}\right)$ est la deuxième tangente à $(\mathcal{E})$ issue de $M_{1}$.
	\end{enumerate}		
\item  Conclure. 

\end{enumerate}

\begin{center}
\rule{4cm}{0.1mm} FIN \rule{4cm}{0.1mm}
 \end{center}
\end{document}