\documentclass[10pt]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[mathscr]{eucal} \usepackage{eufrak} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès Denis.Verges@wanadoo.fr \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\small A. P. M. E. P.} \lhead{\small CAPES externe }%tapez un titre \lfoot{\small{Seconde épreuve}} \rfoot{\small{10 mars 2009}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}%\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\huge \textbf{\gray \decofourleft~CAPES externe 10 mars 2009~\decofourright}} \vspace{5cm} \textbf{\Large Seconde épreuve} \vspace{2cm}9 h à 14 h \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{Notations et présentation du sujet} \end{center} Dans tout le problème $n$ désigne un entier naturel non nul. Si $a$ et $b$ sont deux entiers naturels tels que $a < b$ on note $\llbracket a,~ b\rrbracket$ l'ensemble des entiers naturels $k$ tels que $a \leqslant k \leqslant b$. Si $K = \R$ ou $\C$, pour un polynôme $P(X) \in K[X]$ on notera $P$ la fonction polynôme associée à $P(X)$. On note $P'(X)$ le polynôme dérivé de $P(X)$. Enfin, le plan $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormal direct d'origine O. \medskip Ce sujet traite de quelques aspects géométriques liés aux racines de polynômes. Il se compose de quatre parties. Les parties A et B sont destinées à donner des majorations des modules des racines d'un polynôme en fonction de ses coefficients. Dans les parties suivantes, on s'intéresse à localiser les racines du polynôme dérivé par rapport aux racines du polynôme. Dans la partie C on établit à ce sujet un théorème de Lucas et dans la partie D on démontre un raffinement de ce théorème pour des polynômes de degré 3. \vspace{0,5cm} \begin{center} {\large\textbf{Partie A : une majoration des modules des racines d'un polynôme}} \end{center} \medskip Soit $P(X) = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_{1}X + a_{0} \in \C[X]$ un polynôme unitaire de degré $n$. On se propose de montrer que les racines de $P(X)$ appartiennent au disque fermé de centre O et de rayon $R$ où \[R = \text{max}\{|a_{0}|,~1 + |a_{1}|, 1 + |a_{2}|,~\cdots,~1 + |a_{n-1}|\} \] \textbf{I. Exemple numérique} On considère les nombres complexes $a_{0} = 6 - 2\text{i},~ a_{1} = -3 - 5\text{i},~ a_{3} = - 2 + 3\text{i}$, et on définit le polynôme $p(X) \in \C[X]$ par : \[p(X) = X^3 + a_{2}X^2 + a_{1}X + a_{0}.\] \begin{enumerate} \item Montrer que $p(X)$ possède une racine réelle. \item Résoudre dans $\C$ l'équation : $z^2 + 3\text{i}z - 3 + \text{i} = 0$. \item Vérifier que les racines de $p(X)$ appartiennent au disque fermé de centre O et de rayon $R$ où $R = \text{max}\{|a_{0}|,~ 1 + |a_{1}|,~ 1 + a_{2}|\}$. \end{enumerate} \textbf{II. Étude du cas général} Soit $A = \left(a_{ij}\right)$ une matrice carrée d'ordre $n$ à coefficients dans $\C$. On pose, pour tout entier $i \in \llbracket 1,~n \rrbracket$ : \[r_{i} = \sum_{j=1}^n \left|a_{ij}\right| \quad \text{et} \quad D_{i} = \{z \in \C,~ |z| \leqslant r_{i}\}\] \begin{enumerate} \item Soit $\lambda \in \C$ une valeur propre de $A$ et soit $V$ un vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre $\lambda$. On pose $V = \begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\ \vdots\\v_{n}\\ \end{pmatrix}$ où $v_{i} \in \C$ pour tout $i \in \llbracket 1,~n\rrbracket$ \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier $i \in \llbracket 1,~n\rrbracket$, on a : \[\left|\lambda v_{i}\right| \leqslant r_{i} \underset{k \in \llbracket 1,~n\rrbracket}{\text{max}} \left(\left|v_{k}\right|\right)\] \item En déduire que: $\lambda \in \displaystyle\bigcup_{i=1}^n D_{i}.$ \end{enumerate} \item Au polynôme $P(X) = X^n+a_{n-1}X^{n-1} + \cdots +a_{1}X +a_{0} \in \C[X]$, est associée la matrice carrée d'ordre $n$ notée $M_{P}$, appelée matrice compagnon de $P$, et définie par : \[ M_{P} = \begin{pmatrix} 0 &0 &0& \ldots & 0 &0 &- a_{0}\\ 1 &0 &0 &\ldots&0&0& - a_{1}\\ 0& 1 &0 &\ldots&0&0& - a_{2}\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ 0 &0 &0 &\ldots&1 &0& - a_{n-2}\\ 0 &0 &0 &\ldots&0 &1& - a_{n-1}\\ \end{pmatrix}\] c'est--à--dire la matrice $M_{P} = \left(m_{ij}\right)$ avec : \[ \left\{ \begin{array}{l c l} m_{ij}&=& 1\quad \text{si}~ i - j = 1 \\ m_{in}&=& -a_{i-1}\\ m_{ij} &=& 0 \quad \text{sinon}\\ \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout nombre complexe $z$ on a : \[\text{det}\left(M_{P} - zI_{n}\right) = (- 1)^n P(z)\] où $I_{n}$ est la matrice identité d'ordre $n$. \item En déduire que les racines de $P(X)$ appartiennent au disque fermé de centre O et de rayon $R$ où \[R = \text{max}\left\{\left|a_{0}\right|,{} 1 + \left|a_{1}\right|,~ 1 + \left|a_{2}\right| ,~1 + \left|a_{n-1}\right|\right\}\] \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \begin{center}{\large\textbf{PARTIE B : La borne de Cauchy} } \end{center} Dans cette partie on se propose de donner un autre encadrement des modules des racines d'un polynôme en fonction de ses coefficients. \textbf{I. Un résultat préliminaire} Soient $\left(c_{i}\right)_{i \in \llbracket 0,~n-1 \rrbracket}$ des réels positifs non tous nuls. On considère le polynôme $H(X)$ défini par : \[H(X) = X^n - \sum_{k=0}^{n-1} c_{k}X^k\] et on définit sur $]0~;~ +\infty[$ la fonction $h$ par : \[h(x) = - \dfrac{H(x)}{x^n}\] \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $h$ est strictement décroissante sur $]0~;~+ \infty[$. \item En déduire que le polynôme $H(X)$ admet une unique racine réelle strictement positive qu'on note $\alpha$ et montrer que cette racine est une racine simple. \item Soit $\zeta$ une racine complexe de $H(X)$. On suppose que $|\zeta| > \alpha$, montrer alors que : \[|\zeta|^n> \sum_{k=0}^{n-1}c_{k} |\zeta|^k\] \item En déduire que toutes les racines de $H(X)$ appartiennent au disque fermé de centre O et de rayon $\alpha$. \end{enumerate} \textbf{II. Une application} On considère un entier $m \geqslant 2$ et un polynôme $F( X) = \displaystyle\sum_{k=0}^{m-1} a_{k}X^k$ de degré $m - 1$ tel que $a_{i}$ soit un réel strictement positif pour tout $i \in \llbracket 0,~ m - 1\rrbracket$. On pose $\gamma = \underset{i \in \llbracket 1,~m-1 \rrbracket}{\text{max}} \left\{\dfrac{a_{i} - 1}{a_{i}}\right\}$ et on considère une racine complexe $\zeta$ du polynôme $F(X)$. \begin{enumerate} \item En considérant le polynôme $F_{\gamma}(X) = (X - \gamma)F(X)$, montrer que \[|\zeta| \leqslant \gamma\] \item On pose $\gamma' = \underset{i \in \llbracket 1,~m-1 \rrbracket}{\text{min}}\left\{\dfrac{a_{i} - 1}{a_{i}}\right\}$. Montrer que : \[ \gamma' \leqslant |\zeta| \] \end{enumerate} \textbf{III. La borne de Cauchy } Soit $f(X) = \displaystyle\sum_{k=0}^n a_{k}X^k \in \C[X]$ un polynôme de degré $n$ tel que les $\left(a_{i}\right)_{i\in \llbracket 0,~n-1 \rrbracket}$ soient non tous nuls. \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation d'inconnue $x$ \[\sum_{k=0}^{n-1} \left|a_{k}\right|x^k = \left|a_{n}\right|x^n\] poss\`ede une unique solution réelle strictement positive. Cette racine est appelée borne de Cauchy de $f(X)$ et sera notée dans la suite $\rho(f)$. \item Montrer que pour toute racine complexe $\zeta$ de $f(X)$ on a : \[|\zeta| \leqslant \rho(f)\] \item Soit $\left(\zeta_{i}\right)_{i\in \llbracket 1,~n \rrbracket}$ les $n$ racines complexes (distinctes ou non) de $f(X)$ avec \[0 \leqslant \left|\zeta_{1}\right| \leqslant \left|\zeta_{1}\right| \leqslant \cdots \leqslant \left|\zeta_{n}\right| \leqslant \rho(f)\] \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier $k \in \llbracket 0,~ n\rrbracket$ on a : \[ \left|\dfrac{a_{k}}{a_{n}}\right|\leqslant \binom{n}{k}\left|\zeta_{n}\right|^{n-k}\] où $\binom{n}{k}$ désigne le coefficient binômial : $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n - k)!}$. \item En déduire que : \[\rho(f)^n \leqslant \sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}\rho(f)^k \left|\zeta_{n}\right|^{n-k}  \] \item En déduire que : \[\left( \sqrt[n]{2} - 1\right)\rho(f) \leqslant \left|\zeta_{n}\right| \] \item On suppose que $0$ n'est pas racine de $f(X)$ et on pose $g(X) = \displaystyle\sum_{k=0}^n a_{k}X^{n-k}$. On note $\rho(g)$ la borne de Cauchy de $g(X)$. Montrer que : \[\dfrac{1}{\rho(g)} \leqslant \left|\zeta_{1}\right| \leqslant \dfrac{1}{\left( \sqrt[n]{2} - 1\right)\rho(g)}\] \end{enumerate} \item En reprenant le polynôme $p(X)$ de la question 1. de la partie A, déterminer à la calculatrice une valeur approchée de la borne de Cauchy de $p(X)$ et vérifier pour ce polynôme les résultats obtenus aux questions 2., et 3. c. \end{enumerate} \textbf{IV. Un raffinement de la borne de Cauchy} On considère toujours $f(X) = \displaystyle\sum_{k=0}^n a_{k}X^k \in \C[X]$ un polynôme de degré $n$ tel que les $\left(a_{i}\right)_{i\in \llbracket 0,~n-1 \rrbracket}$ soient non tous nuls. On pose \[f_{1}(X) = a_{n}X^n + \sum_{k=0}^{n-2}a_{k}X^k\] On se propose de montrer que les racines de $f(X)$ appartiennent à $\mathcal{D}_{0} \cup \mathcal{D}_{1}$ où $\mathcal{D}_{0}$ et $\mathcal{D}_{1}$ sont les disques définis par : \[\mathcal{D}_{0} = \{z \in \C,~ |z| \leqslant \rho(f_{1})\} \quad \text{et} \quad \mathcal{D}_{1} = \left\{z \in \C,~ \left|z + \dfrac{a_{n-1}}{a_{n}}\right| \leqslant \rho(f_{1})\right\}\] et où $\rho(f_{1})$ désigne la borne de Cauchy de $f_{1}(X)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\rho\left(f_{1}\right) \leqslant \rho(f)$. \item Soit $\zeta$ une racine de $f$ n'appartenant pas à $\mathcal{D}_{0}$. Montrer que : \[\left|a_{n-1} + a_{n}\zeta\right| \leqslant \dfrac{1}{\rho\left(f_{1}\right)^{n-1}}\sum_{k=0}^{n-2} \left|a_{k}\right|\rho\left(f_{1}\right)^k = \left|a_{n}\right|\rho\left(f_{1}\right)\] \item Conclure. \end{enumerate} \begin{center}{\large \textbf{PARTIE C : un théorème de Lucas}} \end{center} \medskip On dit qu'une partie $\Gamma$ du plan $\mathcal{P}$ est convexe si pour tout couple $(A,~ B)$ de points de $\Gamma$, le segment $[AB]$ est contenu dans $\Gamma$ : c'est à dire, en notant $a$ et $b$ les affixes respectives des points $A$ et $B$, si pour tout $\lambda \in [0~;~1]$, le point $M_{\lambda}$ d'affixe $\lambda a + (1- \lambda)b$ appartient à $\Gamma$. (En particulier, l'ensemble vide est convexe). \vspace{0,5cm} \textbf{I. Préliminaires} \begin{enumerate} \item Soit $P$ une partie de $\mathcal{P}$ et $E$ l'ensemble des parties de $P$ qui sont convexes et qui contiennent $P$. On pose \[\mathcal{E}(P) = \bigcap_{\Gamma \in E} \Gamma\] Montrer que $\mathcal{E}(P)$ est la plus petite (au sens de l'inclusion) partie convexe contenant $P$. Cette partie $\mathcal{E}(P)$ est appelée \textbf{l'enveloppe convexe} de $P$. \item Soit $P$ une partie non vide de $\mathcal{P}$ et notons $\mathcal{B}$ l'ensemble des barycentres de familles finies de points de $P$ affectés de coefficients positifs. Montrer que $\mathcal{E}(P) = \mathcal{B}$. \end{enumerate} \textbf{II.} Soit $f(X) = \displaystyle\sum_{k=0}^n a_{k}X^k \in \C[X]$ un polynôme de degré $n$ et soit $f'(X)$ son polynôme dérivé. Soit $\left\{r_{1},~ r_{2},~ \ldots,~r_{m}\right\}$ l'ensemble des racines de $f(X)$ et soit $\alpha_{j}$ l'ordre de multiplicité de la racine $r_{j}$ pour tout $j \in \llbracket 1,~ m\rrbracket$. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout nombre complexe $z$ n'appartenant pas à $\left\{r_{1},~ r_{2},~ \ldots,~r_{m}\right\}$, on a : \[ \dfrac{f'(z)}{f(z)} =\sum_{j=1}^{m} \dfrac{\alpha_{j}}{z - r_{j}}\] \item Soit $r \in \C$ une racine de $f'(X)$ n'appartenant pas à $\left\{r_{1},~ r_{2},~ \ldots,~r_{m}\right\}$. Montrer que : \[\sum_{j=1}^{m} \dfrac{\alpha_{j}}{\left|r - r_{j} \right|^2}\left( r - r_{j}\right) = 0 \] et déduire que le point d'affixe $r$ est barycentre des points $M_{1}, ~M_{2},~\ldots ,~M_{m}$ d'affixes respectives $r_{1},~ r_{2}, \ldots,~ r_{m}$. \item Montrer alors que l'ensemble des points dont les affixes sont les racines de $f'(X)$ est inclus dans l'enveloppe convexe des points du plan dont les affixes sont les racines de $f(X)$. (\emph{Théorème de Lucas}) \item Illustrer ce résultat pour le polynôme $p(X)$ défini dans la question 1. de la partie A. \end{enumerate} \vspace{1cm} \begin{center}{\large \textbf{PARTIE D : théorème de Lucas et polynômes de degré 3}} \end{center} On se propose dans cette partie de démontrer un raffinement du théorème de Lucas pour des polynômes de degré 3. Plus précisément, on se propose de montrer le résultat suivant : \medskip \emph{Soit $f(X) \in \C[X]$ un polynôme unitaire de degré 3. On note $M_{1},{} M_{2}$ et $M_{3}$ les points du plan dont les affixes sont les racines de $f(X)$ et on suppose que $M_{1},{} M_{2}$ et $M_{3}$ ne sont pas alignés. Alors les racines du polynôme dérivé $f'(X)$ sont les affixes :} \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item \emph{des foyers de l'ellipse tangente aux trois côtés du triangle $M_{1} M_{2}M_{3}$ en leurs milieux si $M_{1} M_{2}M_{3}$ n'est pas équilatéral} \item \emph{du centre du cercle inscrit dans le triangle $M_{1} M_{2}M_{3}$ s'il est équilatéral} \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \textbf{I. Étude du cas où $M_{1} M_{2}M_{3}$ est un triangle équilatéral} Soit $f(X) = (X - r_{1})(X - r_{2})(X - r_{3}) \in \C[x]$ où $r_{1},{} r_{2}$ et $r_{3}$ sont trois nombres complexes distincts. On suppose que les points $M_{1},{} M_{2}$ et $M_{3}$ d'affixes respectives $r_{1},{} r_{2}$ et $r_{3}$ ne sont pas alignés. \begin{enumerate} \item Montrer que $f'(X)$ possède une racine double $\omega$ si et seulement si le triangle $M_{1}M_{2}M_{3}$ est équilatéral et son centre de gravité a pour affixe $\omega$. \item Conclure. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{II. Une propriété de la tangente à l'ellipse } Soit $a$ un réel strictement positif et soient $F$ et $F'$ deux points distincts du plan tels que $FF' < 2a$. On appelle ellipse de foyers $F$ et $F'$ et de demi--axe focal $a$ l'ensemble $(\mathcal{E})$ des points $M$ du plan tels que: \[MF + MF' = 2a \] Soit $t \longmapsto M(t)$ une paramétrisation de classe $C^1$ de l'ellipse. Pour tout point $M(t) \in (\mathcal{E})$, on note $\vect{r}(t) = \dfrac{\text{d}}{\text{d}t}\left( \vect{M(t)F} \right)$ un vecteur directeur de la tangente à $(\mathcal{E})$ en $M(t)$ et on pose \[\vect{u(t)} = \dfrac{1}{M(t)F} \vect{M(t)F} \quad \text{et} \quad \vect{v(t)} = \dfrac{1}{M(t)F'} \vect{M(t)F'}\] \begin{enumerate} \item Montrer que : \[\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}\left( \vect{M(t)F} \right) = \dfrac{\text{d}}{\text{d}t}\left( \vect{M(t)F'} \right) \] \item Montrer que le produit scalaire $\left(\vect{u}(t) + \vect{v}(t)\right) \cdot r(t)$ est nul. \item En déduire que la tangente à $(\mathcal{E})$ en $M(t)$ est une bissectrice du couple de droites $\left((M(t)F\right),{} \left(M(t)F')\right)$. \end{enumerate} \medskip \textbf{III. Un théorème de Poncelet} \medskip Soit $P$ un point strictement « extérieur » à l'ellipse $(\mathcal{E})$ (c'est--à--dire un point $P$ tel que $PF + PF' > 2a$) : on admet qu'il existe toujours deux tangentes issues de $P$ à $(\mathcal{E})$ et on note $T_{1}$ et $T_{2}$ les points de tangences. \begin{enumerate} \item Soit $F_{1}$ l'image de $F$ par la réflexion d'axe $\left(PT_{1}\right)$. Montrer que $F'F_{1} = 2a$. \item On note de même $F_{2}$ l'image de $F$ par la réflexion d'axe $\left(PT_{2}\right)$. Montrer que $\left(PF'\right)$ est la médiatrice de $[HF_{2}]$. \item On se propose de montrer que les angles de droites $\left((PT_{1}\right),{} (PF))$ et $\left((PF'\right),{} \left(PT_{2}\right))$ sont égaux. Pour toute droite $D$ du plan, on note $S_{D}$ la réflexion d'axe $D$. \begin{enumerate} \item Déterminer $S_{(PF)} \circ S_{(PT_{1})}\left(F_{1}\right)$ et en déduire la nature et les éléments caractéristiques de la composée $S_{(PF)} \circ S_{(PT_{1})}$. \item Déterminer de la même façon la nature et les éléments caractéristiques de la composée $S_{\left(PT_{2}\right)} \circ S_{\left(PF'\right)}$ et conclure. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{IV. Étude du cas où $M_{1}M_{2}M_{3}$ n'est pas équilatéral} \medskip Soit $f(X) = (X - r_{1})(X - r_{2})(X - r_{3}) \in \C[x]$ où $r_{1},{} r_{2}$ et $r_{3}$ sont trois nombres complexes distincts. On suppose que les points $M_{1},{} M_{2}$ et $M_{3}$ d'affixes respectives $r_{1},{} r_{2}$ et $r_{3}$ ne sont pas alignés et que le triangle $M_{1}M_{2}M_{3}$ n'est pas équilatéral. \medskip On note $w$ et $w'$ (avec $w \neq w'$) les racines du polynôme dérivé $f'(X)$ et $F$ et $F'$ les points d'affixes respectives $w$ et $w'$. \begin{enumerate} \item Justifier qu'il existe une ellipse $(\mathcal{E})$ de foyers $F$ et $F'$ et passant par le milieu de $\left[M_{1}M_{2}\right]$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que dans $\C[X]$ on a l'égalité : \[3(X - w)\left(X - w'\right) = \left(X - r_{1}\right)\left(X - r_{2}\right) + \left(X - r_{2}\right)\left(X - r_{3}\right) + \left(X - r_{3}\right)\left(X - r_{1}\right).\] \item En déduire que : \[12 \dfrac{w - \dfrac{r_{1} + r_{2}}{2}}{r_{1} - r_{2}} = \dfrac{r_{2} - r_{1}}{w' - \dfrac{r_{1}+ r_{2}}{2}}\] puis que la droite $\left(M_{1}M_{2}\right)$ est tangente à $(\mathcal{E})$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que : \[\dfrac{r_{2} - r_{1}}{ w - r_{1}} = 3\dfrac{w' - r_{1}}{r_{3} - r_{1}}.\] \item En déduire que $\left(M_{1}M_{3}\right)$ est la deuxième tangente à $(\mathcal{E})$ issue de $M_{1}$. \end{enumerate} \item Conclure. \end{enumerate} \begin{center} \rule{4cm}{0.1mm} FIN \rule{4cm}{0.1mm} \end{center} \end{document}