\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès Denis.Verges@wanadoo.fr
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small CAPES externe }
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{10 mars 2009  2009}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace{0,5cm}

{\huge \textbf{\gray \decofourleft~CAPES externe 10 mars 2009~\decofourright}}

\vspace{5cm}
{\Large \textbf{Première épreuve}}

\vspace{2cm}

9h à 14 h

 \end{center}

\newpage

\begin{center} \textbf{Notations} \end{center}

 $\bullet~$ Si $K = \R$ ou $\C$, pour un polynôme $P(X) \in K[X]$ on notera $P$ la fonction polynôme associée à $P(X)$.

\medskip 

$\bullet~$ Si deux suites numériques $\left(u_{n}\right)_{n}$ et $\left(v_{n}\right)_{n}$ sont équivalentes, on notera $u_{n} \backsim_{n} v_{n}$. De même, si $f$ et $g$ sont deux applications réelles définies au voisinage d'un point $x_{0}$ et équivalentes en $x_{0}$, on notera $f(x) \backsim_{x_{0}} g(x)$. Quand le voisinage sera un voisinage à droite en $x_{0}$, on précisera $f(x) \backsim_{x_{0}^+} g(x)$. 

\medskip 
On rappelle que le \emph{produit au sens de Cauchy} de deux séries (réelles ou complexes) $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ est la série $\Sigma w_{n}$ où le terme général $w_{n}$ est défini pour $n >0$ par $w_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n  u_{n}v_{n-k}$.

 On rappelle aussi que si les séries $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ sont absolument convergentes, alors la série produit $\sum w_{n}$ est aussi absolument convergente et l'on a
 
 \[\left(\displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} u_{n} \right)\left(\displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} v_{n} \right)  = \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} w_{n}    \]
 
 \vspace{0,5cm} 

\begin{center} \textbf{Objectifs du problème} \end{center}

\vspace{0,25cm}

Ce sujet aborde une série de résultats et de propriétés relatifs à la formule de Stirling\footnote{James, mathématicien anglais, Garden 1692 -- Édimbourg 1770} ainsi qu'aux polynômes et nombres dits de Bernoulli\footnote{Jakob (francisé en Jacques), mathématicien suisse, premier d'une longue lignée familiale de mathématiciens. Bâle 1654 -- Bâle 1705}. Il se compose de quatre parties. 


Dans la partie I, on établit la formule de Stirling qui donne un équivalent simple de la suite $(n!)_{n}$. Ce travail utilise les intégrales de Wallis\footnote{John, mathématicien anglais, Ashford 1616 -- Oxford 1703}, qui sont étudiées au début de la partie. La fin de la partie 1 est une application des intégrales de Wallis et de la formule de Stirling à l'étude du volume des boules dans $\R^n$. 

\vspace{0,5cm}

La partie II s'intéresse aux polynômes et nombres de Bernoulli. On y étudie certaines de leurs propriétés et l'on donne deux applications de cette étude. La première, arithmétique, s'intéresse au calcul des sommes du type $\displaystyle\sum_{k=0}^N  k^p$. La deuxième est consacrée au développement en série entière de la fonction $\dfrac{t\text{e}^{xt}}{\text{e}^t - 1}$. 

\vspace{0,5cm} 

Dans la partie III, on introduit la fonction $\zeta$ de Riemann\footnote{Georg Friedrich Berhnard, mathématicien allemand, Breselenz 1826 -- Selasca 1866} et l'on explicite ses valeurs prises sur les entiers positifs pairs au moyen des nombres de Bernoulli. Ce calcul permet, avec la formule de Stirling, d'expliciter un équivalent simple pour la suite des nombres de 
Bernoulli.

\vspace{0,5cm}

Dans la partie IV, on revient à la formule de Stirling et l'on décrit une méthode pour obtenir un raffinement asymptotique de la formule.

\vspace{0,5cm} 

Les parties de ce sujet ne sont pas indépendantes, chacune d'elles pouvant utiliser des résultats établis dans celles qui la précèdent. Aussi pourra-t-on utiliser pour traiter certaines  questions, les résultats établis dans les questions précédentes sans les démontrer. 

Il est toutefois vivement conseillé aux candidats d'aborder linéairement ce sujet. 

\newpage

\begin{center}
{\Large \textbf{I. Intégrales de Wallis et formule de Stirling}}\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Intégrales de Wallis

Pour tout entier $n > 0$, on pose 
\[W_{n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^n (x)\:\text{d}x.\] 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que, pour tout $n \geqslant 0$, on a $W_{n} = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^n (x)\:\text{d}x$.
		 
(Indication :   on pourra, par exemple, utiliser un changement de variables.) 
		\item Montrer que la suite $\left(W_{n}\right)_{n}$ est strictement décroissante.
		 
(Indication :  pour la décroissance, on pourra comparer les fonctions $x \longmapsto  \cos^n(x)$ et $x \longmapsto  \cos^{n+1}(x)$. Pour la stricte décroissance, on pourra raisonner par l'absurde.) 
		\item À l'aide d'une intégration par parties montrer que, pour $n \geqslant 0$, on a
		\[W_{n+2} = \left(\dfrac{n+1}{n+2} \right)W_{n}\] 

		\item En déduire que, pour tout entier $p \geqslant 0$, on a 
\[\left\{ \begin{array}{l c l}
W_{2p}&=&\dfrac{(2p)! }{2^{2p}(p!)^2} \dfrac{\pi}{2}\\
W_{2p+1}&=&\dfrac{2^{2p}(p!)^2 }{(2p+1)!}\\
\end{array}\right.\]

		\item Montrer que, pour tout $n \geqslant 0$, on a 
\[W_{n}W_{n+1} = \dfrac{\pi}{2(n + 1)}\]
(Indication :  on pourra utiliser la question précédente en distinguant suivant la parité de l'entier $n$) 
		\item Prouver que, pour tout $n \geqslant 0$, on a 

\[1 - \dfrac{1}{n + 2} < \dfrac{W_{n+1}}{W_{n}} < 1\]
et en déduire que $W_{n} \backsim n W_{n+1}$. 

(Indication : on pourra utiliser la question 1. b.) 
		\item Montrer finalement que $W_{n}\backsim _{n} \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}$. En déduire $\displaystyle\lim_{n} W_{n}$.
		\end{enumerate} 
\item \textbf{Formule de Stirling}
 
On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n}$ définie, pour $n \geqslant 1$, par 
\[u_{n} = \dfrac{n! \text{e}^n}{n^n \sqrt{n}}\]
et la suite auxiliaire $\left(v_{n}\right)_{n}$ définie, pour $n \geqslant 2$, par 
\[v_{n} = \ln u_{n} -  \ln u_{n-1}.\] 

	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer simplement $v_{n}$ en fonction de $n$ et donner un développement limité à l'ordre 2 en $1/n$ de la suite $\left(v_{n}\right)_{n}$. 
		\item  En déduire que la série $\displaystyle\sum v_{n}$ est convergente. Montrer alors que les suites $\left(\ln u_{n}\right)_{n}$ et $\left(u_{n}\right)_{n}$ convergent et donc qu'il existe un réel   $K > 0$ tel que 
\[n! \backsim_{n}K \left(\dfrac{n}{\text{e}} \right)^n ~\sqrt{n}\]
		\item  En utilisant cet  équivalent, calculer un équivalent simple de la suite $\left(W_{2p}\right)_{p}$. En déduire que $K = \sqrt{2\pi}$ et, par suite, que 
\[n! \backsim_{n} \left(\dfrac{n}{\text{e}} \right)^n  \sqrt{2\pi n}\]
(Formule de Stirling)
	\end{enumerate} 
\item \textbf{Une autre application des intégrales de Wallis}

\textbf{[ Rappel sur les intégrales multiples et généralisation.} (Ce rappel n'est utile que pour les sous-questions 3. a. et 3. c. de cette question 3.) 

\emph{Les notions  d'intégrales doubles et triples ainsi que la méthode de calcul par intégrations succéssives de ces dernières (présentes au programme), se généralisent à toute dimension finie de la manière suivante : étant donné un entier $n \geqslant 1$, une partie} $A_{n} \subset  \R^n$ \emph{sera dite continûment paramétrable si}  $n = 1$ \emph{et} $A_{1}$ \emph{est un segment ou si} $n \geqslant 2$ \emph{et s'il existe une partie} $A_{n - 1} \subset  \R^{n-1}$ \emph{continûment paramétrable et deux  fonctions continues} $f,{} g  : A_{n- 1}  \longmapsto \R$  \emph{telles que }

\begin{multline*}
$A_{n} = \left\{\left(x_{1},~\cdots,~ x_{n}\right) \in \R^n / \left(x_{1},~\cdots,~ x_{n - 1}\right) \in A_{n - 1}~ \text{et}\\ f\left(x_{1},~\cdots,~ x_{n-1}\right) \leqslant x_{n} \leqslant g\left(x_{1},~\cdots,~ x_{n - 1}\right)\right\}$
\end{multline*}

 \emph{Avec ces notations, pour une fonction continue} $\varphi :   A_{n} \rightarrow \R$, \emph{on définit l'intégrale multiple de} $\varphi$ sur $A_{n}$ \emph{par la formule suivante :}
 
 \begin{multline*} 
$\int \ldots \int_{A_{n}} \varphi \left(x_{1},~\ldots,~x_{n} \right)\: \text{d}x_{n}\ldots   \text{d}x_{1} =\\ \int \ldots \int_{A_{n-1}} \left(\int_{f\left(x_{1},~\ldots,~x_{n-1}\right)}^{g\left(x_{1},~\ldots,~x_{n-1} \right)} \varphi \left(x_{1},~\ldots,~x_{n} \right) \text{d}x_{n}\right)\text{d}x_{n - 1} \ldots \text{d}x_{1}$
\end{multline*}

\emph{On admettra, sans démonstration, qu'à l'instar des intégrales doubles et triples, le réel ainsi oblenu ne dépend que de la partie} $A_{n}$ \emph{et de la fonction} $\varphi$. \emph{Le volume de la partie} $A_{n}$ \emph{sera alors, par définition, le réel} $\displaystyle\int \ldots \displaystyle\int_{A_{n}} \:\text{d}x_{n}\ldots   \text{d}x_{1}$.]

\emph{On se propose d'étudier ici le comportement du volume d'une boule de rayon fixé quand on fait varier la dimension de l'espace. Plus précisément, on se fixe un réel} $R > 0$ \emph{et pour tout entier} $n \geqslant 1$ \emph{on considère dans} $\R^n$ \emph{la boule} $\mathcal{B}_{n}$ \emph{de centre O et de rayon} $R$ :
 \[\mathcal{B}_{n} = \left\{\left(x_{1},{}\ldots,{}x_{n}\right) \in \R^n / x_{1}^2 + \cdots +x_{~n}^2  \leqslant R^2\right\}. \]
\emph{On note} $V_{n}$ \emph{son volume.}
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour $n \geqslant 2$, pour tout $\left(x_{1},~\cdots,~x_{n} \right) \in \R^n$, on a 
		
\[\left(x_{1},~\cdots,~x_{n} \right) \in \mathcal{B}_{n} \iff \left\{ \begin{array}{l}
\left(x_{1},~\cdots,~x_{n - 1} \right) \in \mathcal{B}_{n- 1}\\
- \sqrt{R^2 - x_{1}^2 - \cdots - x_{n-1}^2} \leqslant x_{n}\leqslant   \sqrt{R^2 - x_{1}^2 - \cdots - x_{n-1}^2}\\
\end{array}\right.\]

En déduire par récurrence sur $n \geqslant 1$, que $\mathcal{B}_{n}$ est continûment paramétrable. 
		\item Soient $\lambda > 0$  un réel et $m > 0$ un entier. Montrer, en se servant par exemple d'un changement de variable utilisant la fonction $t \longmapsto \lambda \sin t$, que 
\[\int_{- \lambda}^{\lambda} \left(\lambda^2 - x^2\right)^{\frac{m}{2}}\:\text{d}x = 2\lambda^{(m+1)}W_{m+1}.  \]

		\item En déduire que pour tout entier $n \geqslant 2$ et tout $k = 1,~ \ldots,~ n - 1$ on a.
\[V_{n} = 2^k\left(\prod_{i=1}^k W_{i} \right)\int \ldots \int_{\mathcal{B}_{n - k}} \left(R^2 - x_{1}^2 - \cdots - x_{n-k}^2 \right)^{\frac{k}{2}} \text{d}x_{n-k}\cdots \text{d}x_{1}.  \] 

(Indication : on pourra, pour $n$ fixé, faire une récurrence finie sur $k$.)
 		\item Prouver finalement que, pour tout entier $n \geqslant 1$, on a 
\[V_{n} = \left( \prod_{i=1}^n W_{i} \right)(2R)^n.   \]
et par suite, que pour $k \geqslant 1$ 
\[ V_{2k} = \dfrac{\pi^k}{k!} R^{2k} \]
et que pour $k \geqslant  0$ 
\[V_{2k+1} = 2^{2k+1} \dfrac{k!}{(2k+1)!}\pi^k R^{2k+1}.  \]
Expliciter $V_{1},{} V_{2},{} V_{3}$ et $V_{4}$. 
		\item En utilisant la formule de Stirling, donner des équivalents simples des suites $\left(V_{2k}\right)_{k}$ et $\left(V_{2k+1}\right)_{k}$. 
		\item En déduire que $\displaystyle\lim V_{n} = 0$. 
		\item Montrer que, soit la suite $\left(V_{n}\right)_{n}$ est décroissante, soit il existe un rang $n_{0}$ tel que la suite $\left(V_{n}\right)_{n}$ soit croissante jusqu'au rang $n_{0}$, puis décroissante. 
		
(Indication :  on pourra calculer simplement le rapport $V_{n+1}/V_{n}$ grâce à la question 3. d. et utiliser les questions 1. b. et 1. g.) 
		\item Donner les valeurs de $R$ pour lesquelles la suite $\left(V_{n}\right)_{n}$ est décroissante.
		\item Que vaut le rang $n_{0}$ de la question 3. g. quand $R = 1$ ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0.75cm}

\begin{center}
{\Large \textbf{II. Polynômes et nombres de Bernoulli}}\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Définitions. 
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $P(X) \in R[X]$. Montrer qu'il existe un unique polynôme $Q(X) \in R[X]$ tel que $Q' = P$ et $\displaystyle\int_{0}^1 Q(x)\:\text{d}x  = 0$. 
		\item En déduire qu'il existe une unique suite de polynômes réels $\left(B,_{n}(X)\right)_{n}$ vérifiant 
\[\begin{array}{l}
\bullet~B_{0}(X) = 1\\ 
\bullet~\forall n \geqslant 1, B'_{n} = nB_{n-1}\\ 
\bullet~\forall n \geqslant 1, \int_{0}^1  B_{n}(x)\:\text{d}x = 0\\
\end{array}\] 

\emph{On appelle} $\left(B_{n}(X)\right)_{n}$ la suite des polynômes de Bernoulli. \emph{Pour tout} $n \geqslant 0$, \emph{on  pose} $b_{n} =  B_{n}(0)$. \emph{La suite de réels} $\left(b_{n}\right)_{n}$ \emph{est appelée} suite des nombres de Bernoulli. 
		\item Expliciter $B_{n}(X)$ et $b_{n}$ pour $n = 0,{} 1,{} 2,{} 3,{} 4$.
	\end{enumerate} 
\item \textbf{Premières propriétés} 

	\begin{enumerate}
		\item Quel est le degré de $Bn(X)$ pour $n \geqslant 0$ ? 
		\item Montrer que, pour tout $n \geqslant 2$, on a $B_{n}(0) = B_{n}(1)$. 
		\item Prouver par récurrence que, pour tout $n \geqslant 0$ et tout $x \in \R$, on a 
\[B_{n}(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} b_{n-k}x^k\] 
o\`u  $\binom{n}{k}$ désigne le coefficient binômial : $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n - k)!}$
		\item  En déduire, pour $n \geqslant 1$, une expression de $b_{n}$ en fonction de $b_{0},{} \ldots,{}b_{n-1}$. 
Calculer $b_{5}$ et $b_{6}.$
		\item Montrer que la suite $\left(b_{n}\right)_{n}$ est une suite de rationnels et que, pour $n \geqslant 0$, les polynômes $B_{n}(X)$ sont à coefficients rationnels. 
		\item Pour tout $n \geqslant 0$, on pose 
\[C_{n}(X) = (-1)^n B_{n}(1 - X)\] 
Montrer, en utilisant la définition des polynômes de Bernoulli, que pour tout $n \geqslant 0$ on a $C_{n}(X) = B_{n}(X)$. 
		\item En déduire que
		\[ \left\{\begin{array}{l c l}
		\bullet~\forall n \geqslant 1,~b_{2n+1}&=&0\\
		 \bullet~\forall n \geqslant 0,~B_{2n+1}\left(\frac{1}{2} \right)&=&0\\
		 \end{array}\right.\] 
	\end{enumerate}
\item \textbf{Étude des variations de}~\boldmath $B_{n}$~\unboldmath  \textbf{sur [0~;~1]}. 
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $P(X) \in R[X]$. Établir que, si $P$ est non nul et de signe constant sur [0~;~1], alors on a $\displaystyle\int_{0}^1  P(x)\:\text{d}x =  0$. 
		\item  Montrer, par récurrence sur $n \geqslant 1$, que $B_{2n}$ vérifie 
		
$\left\{\begin{array}{l}		
\bullet~(-1)^n B_{2n}(0) < 0\\ 
\bullet~(-1)^n B_{2n}(1) <0 \\
\bullet~(-1)^n B_{2n}\left( \frac{1}{2}\right) > 0\\ 
\bullet~\text{la fonction}~ (-1)^n B_{2n}~ \text{est strictement croissante sur} [0~;~\frac{1}{2}]~ \text{et strictement}\\
 \text{décroissante sur} ~\left[\frac{1}{2}~;~1\right]\\
\end{array}\right.$ 
et que $B_{2n+1}$ vérifie

$\left\{\begin{array}{l} 
\bullet~(-1)^n B_{2n+1}(0) = (-1)^n B_{2n+1}(1) = (-1)^n B_{2n+1}\left(\frac{1}{2}\right) = 0\\ 
\bullet~\text{il existe deux réels}~ \alpha_{2n+1} \in \left]0~;~\frac{1}{2}\right[{}\text{et}~ \beta_{2n+1} \in \left]\frac{1}{2}~;~1\right[ ~ \text{tels que la fonction}\\
 (-1)^nB_{2n+1}~ \text{soit strictement décroissante sur}{} [0~;~\alpha_{2n+1}]  \text{puis strictement}\\
 \text{croissante sur}~ [\alpha_{2n+1}~;~\beta_{2n+1}] \text{puis strictement}
\text{décroissante sur}~ [\beta_{2n+1}~;~ 1]\\
\end{array}\right.$
 
(Indication :  il pourra être judicieux d'aborder en même temps la récurrence sur ces six propriétés.)
		\item  En déduire que le signe du réel $b_{2p}$ est $(-1)^{p+1}$. 
		\item  Pour tout $n \geqslant 0$, on pose $B^{*}_{n}(X) = B_{n}(X) - b_{n}$. Pour $n \geqslant 1$, donner l'allure générale des courbes représentatives des fonctions $B^{*}_{4n - 2},~B^{*}_{4n - 1},~B^{*}_{4n},~B^{*}_{4n +1}$ sur l'intervalle [0~;~ 1]. 
	\end{enumerate} 
\item  \textbf{Une application arithmétique} 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer, par récurrence sur $n \geqslant 1$, que pour tout $x \in  \R$ on a

\[B_{n}(x + 1) - B_{n}(x) = nx^{n-1}.\]
		\item Soient $p \geqslant 1$ et $N \geqslant 0$ deux entiers. On pose $S_{p}(N) = \displaystyle_{k=0}^N k^p$ ; montrer en utilisant  la question 4. a. que 
\[S_{p}(N) = \dfrac{B_{p+1}(N + 1) - b_{p+1}}{p+1}.\]  

		\item Calculer explicitement, en fonction de l'entier naturel $N$, les sommes $S_{p}(N) $ pour $p=1,~2,~3$. 
	\end{enumerate}
\item \textbf{Une application analytique}
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que le rayon de convergence de la série entière $\displaystyle\sum \dfrac{b_{n}}{n!}t^n$ est égal à $2\pi$. 
 
(Indication : On pourra par exemple, déterminer les réels $t > 0$ pour lesquels la suite $\left(\frac{\left|b_{n}\right|}{n!}t^n \right)_{n}$  reste bornée. À cet effet, on pourra utiliser la formule de Stirling et admettre pour cette question que l'on a l'équivalent $b_{2p} \backsim_{p} (-1)^{p+1} \left(\frac{p}{\pi \text{e}} \right)^{2p}\sqrt{16 \pi p}$. Ce dernier résultat sera établi dans la question 2. e. à venir.) 
		\item Calculer le produit au sens de Cauchy des séries entières 
\[\left(\sum_{n \geqslant 1} \dfrac{t^n}{n!}\right)\left( \sum_{n \geqslant 0} \dfrac{b_{n}}{n!}t^n\right)  \]
et en déduire que, pour tout $t \in ]- 2\pi~;~ 2\pi[$, on a 
\[\dfrac{t}{\text{e}^t - 1} = \sum_{n \geqslant 0} \dfrac{b_{n}}{n!}t^n.\] 
		\item Montrer que, pour tout $x \in \R$ et tout $t \in ]- 2\pi~;~ 2\pi[$, on a 
\[\dfrac{t\text{e}^{xt}}{\text{e}^t - 1} = \sum_{n \geqslant 0} \dfrac{B_{n}(x)}{n!}t^n.  \]
		\item Justifier que, pour tout $x \in \R$, le rayon de convergente de la série entière $\displaystyle\sum \dfrac{B_{n}(x)}{n!}t^n$  est bien $2\pi$. 
		
(Indication : on pourra regarder dans $\C$ le comportement de la série entière au voisinage du cercle $|z| = 2\pi$.)
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,75cm}

\begin{center}
{\Large \textbf{III. Fonction $\zeta$ de Riemann et nombres de Bernoulli}}\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Fonction $\zeta$

\emph{On appelle fonction} $\zeta$ \emph{de Riemann (réelle) la fonction de la variable} $s \in \R$ \emph{définie par la formule} 
\[ \zeta(s) = \sum_{n \geqslant 1} \dfrac{1}{n^s}. \]
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $s > 0$. Montrer que, pour tout entier $k \geqslant 1$, on a 
\[\dfrac{1}{(k+1)^s} < \int_{k}^{k+1}\dfrac{1}{x^s}\:\text{d}x
<  \dfrac{1}{k^s}\]

En déduire que la nature (divergence ou convergence) de l'intégrale généralisée $\displaystyle\int_{0}^{+ \infty} \dfrac{1}{x^s}\:\text{d}x$ est la même que celle de la série $\displaystyle\sum_{n \geqslant 1} \dfrac{1}{n^s}$. 
		\item Donner le domaine de définition de $\zeta$ et prouver qu'elle est strictement décroissante sur celui-ci. 
		\item Montrer que $\zeta(s) \backsim_{1^{+}} \dfrac{1}{s - 1}$  	 et en déduire $\displaystyle\lim_{s \to 1^{+}} \zeta(s)$. 
 
		\item Soit  $a\geqslant 1$ un réel. Montrer que la série $\displaystyle\sum_{n\geqslant 1} \dfrac{1}{n^s}$ est normalement convergente sur $[a~;~+ \infty[$. En déduire que $\zeta$ est continue sur son domaine de définition et que $\displaystyle\lim_{s \to +\infty} \zeta(s) = 1.$  
		\item Montrer que, pour tout $s > 0$, la série $\displaystyle\sum_{n\geqslant 1}\dfrac{(- 1)^{n+1}}{n^s}$ converge. Prouver que,  pour tout $s > 1$, on a 
\[\theta(s) = \left(1- \dfrac{1}{2^{s-1}}\right)\zeta(s)\]
	\end{enumerate} 
\item \textbf{II. Calcul de} \boldmath $\zeta(2p)$ \unboldmath

\emph{Pour toute fonction continue} $f : \:  [0~;~1 ] \rightarrow \C$ \emph{et tout} $k \in \Z$, \emph{on note }
\[c_{k}(f) = \int_{0}^1 f(x) \text{e}^{-2\text{i}k\pi x}\:\text{d}x\]
\emph{le k-ième coefficient de Fourier de la fonction $f$. On rappelle sans démonstralion que, si} $f$ et $g$ \emph{sont deux fonctions continues de} [0~;~1 ] \emph{dans} $\C$, \emph{alors on a}

\[\int_{0}^1 \overline{f(x)} g(x)\:\text{d}x = \sum_{k \in \Z} \overline{c_{k}(f)} c_{k}(g)\]
(\emph{où} $z \longmapsto \overline{z}$  \emph{désigne la conjugaison complexe}). 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer, pour tout $k \in \Z$ et tout $n \in \N$, le coefficient $c_{k}(B_{n})$.
		
		 (Indication : pour $k \neq 0$ et $n \geqslant  2$, on cherchera une relation entre $c_{k}\left(B_{n}\right)$ et $c_{k}\left(B_{n-1}\right)$.)
		\item Soient $n,~m \geqslant 1$ deux entiers. Montrer que 

\[\int_{0}^1  B_{n}(x)B_{m}(x)\:\text{d}x  = \sum_{k=1}^{+ \infty} \left[c_{-k}\left(B_{n}\right) c_{k}\left(B_{m}\right) + c_{k}\left(B_{n}\right)c_{-k}\left(B_{m}\right)\right]\] 
et en déduire la valeur de cette intégrale au moyen de valeurs de la fonction $\zeta$. 

(Indication :  on distinguera les cas $n + m$ pair et $n + m$ impair.) 
		\item Pour $p \geqslant 1$, calculer $\displaystyle_{0} ^1  B_{1}(x)B_{2p-1}(x)\:\text{d}x$ en intégrant par parties. En déduire que 
\[\zeta(2p) = (- 1)^{p+1} \dfrac{b_{2p}}{2}\dfrac{(2\pi)^{2p}}{(2p)!}\]
		\item Donner les valeurs de $\zeta(2),~ \zeta(4)$ et $\zeta(6)$. En déduire les valeurs des sommes 
\[\sum_{n \geqslant 1} \dfrac{(- 1)^{n+1}}{n^2},~\sum_{n \geqslant 1} \dfrac{(- 1)^{n+1}}{n^4},~\sum_{n \geqslant 1} \dfrac{(- 1)^{n+1}}{n^6}\] 

et des sommes 
\[\sum_{n \geqslant 0}\dfrac{1}{(2n+1)^2},~\sum_{n \geqslant 0}\dfrac{1}{(2n+1)^4},~\sum_{n \geqslant 0}\dfrac{1}{(2n+1)^6}\]
		\item En utilisant les questions 1. d. et 2. c. ainsi que la formule de Stirling, montrer  que 
		\[b_{2p} \backsim_{p (-1)^{p+1} \left( \dfrac{p}{\pi \text{e}}\right)^{2p} \sqrt{16 \pi p}}\]
	\end{enumerate}
\item \textbf{Application numérique}
	\begin{enumerate}
		\item  Soient $s > 1$ et $N \geqslant 1$. Montrer que 

\[ \sum_{n \geqslant N = 1} \dfrac{1}{n^s} \leqslant \dfrac{N^{1 - s}}{s - 1} \] 
		\item Étant donné un réel $\epsilon  > 0$, expliciter un entier $N_{0}$ tel que $\displaystyle\sum_{n=1}^{N_{0}} \dfrac{1}{n^s}$  soit une approximation à $\epsilon$ près de $\zeta(s)$. 
		\item Déduire de ce qui précéde, une approximation rationnelle $A$ de $\pi^6$ à $10^{-2}$ près. 
		\item Majorer l'erreur commise en prenant $\sqrt[6]{A}$ comme approximation de $\pi$. Combien de décimales de $\pi$ cette approximation permet-elle de donner ? Les donner. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\begin{center}
\textbf{\Large IV.  Formule de Stirling généralisée}\end{center}

On considère la suite $\left(\Omega_{n}\right)_{n}$ définie, pour $n > 0$, par  $\Omega_{n} = \dfrac{n!}{\frac{n}{\text{e}}\sqrt{2\pi n}}$.

\emph{On sait, d'après la partie I. , que l'on a} $\Omega_{n} = 1 + o(1)$. \emph{On se propose ici de décrire une méthode pour obtenir un développement limité en} $1/n$ \emph{à un ordre donné de la suite} $\left(\Omega_{n}\right)_{n}$, \emph{autrement dit on veut raffiner la formule de Stirling.} 

\begin{enumerate}
\item  On se fixe un entier $N >2$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $\ln \Omega_{N} = \ln \Omega_{1}+ \displaystyle\sum_{n=1}^{N - 1} \left(1 - \left(n + \dfrac{1}{2}\right) \ln  \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)\right)$.
		\item  Montrer que la fonction $t \longmapsto \left(\dfrac{1}{t}+ \dfrac{1}{2}\right) \ln(1 + t)$ est développable en série entière en $0$. Préciser son  développement ainsi que le rayon de convergence de ce développement.
		\item  En déduire que 
\[\ln \Omega_{N} = \ln \Omega_{1} + \sum_{k=2}^{+ \infty} (-1)^{k+1} \dfrac{k - 1}{2k(k+1)} \left(\zeta(k)  - \sum_{n\geqslant N} \dfrac{1}{n^k}\right)\] 
		\item  Montrer que la série $\displaystyle (-1)^{k+1} \dfrac{k - 1}{2k(k+1)} \zeta{k}$ est convergente.
		
 (Indication. :  on pourra utiliser le critère des séries alternées.) 
		\item En déduire que :
\[ \ln \omega_{N} = \ln \omega_{1} + \sum_{k=2}^{+ \infty}(-1)^{k+1} \dfrac{k - 1)}{2k(k+1)}\zeta(k) - \sum_{k=2}^{+ \infty}(-1)^{+1} \dfrac{k - 1}{2k(k+1)}R_{k}(N)\]
o\`u $R_{k}(N) = \displaystyle\sum_{n \geqslant N} \dfrac{1}{n^k}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Prouver que pour tout $k \geqslant 2$ et tout $N \geqslant 2$, on a 
		\[\dfrac{1}{k - 1}\cdot \dfrac{1}{N^{k - 1}} \leqslant R_{k}(N) \leqslant \dfrac{1}{k - 1}\cdot \dfrac{1}{N^{k - 1}} + \dfrac{1}{N^k}.\]

		\item En déduire que, pour tout entier $p  \geqslant 2$, on a 

\[\sum_{k=p}^{+ \infty} (-1)^k \dfrac{(k - 1)}{2k(k + 1)}R_{k}(N) = o\left(\dfrac{1}{N^{p - 2}} \right).\]
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que 
\[\sum_{k=2}^{+ \infty} (- 1)^k \dfrac{(k - 1)}{2k(k + 1)}\zeta(k) = 1 - \dfrac{1}{2}\ln 2\pi \]
et que, pour tout $N  \geqslant 2$, on a 

\[\ln \Omega_{N} = \sum_{k=2}^{+ \infty}(- 1)^k\dfrac{(k - 1)}{2k(k + 1)}R_{k}(N).\] 

		\item Déduire de ce qui précède que, si les suites $\left(R_{2}(N)\right)_{N}, {}\ldots,{} \left(R_{p+1}(N)\right)_{N}$ possèdent des développements limités en $1/N$ à l'ordre $p$, alors la suite $\left(\ln \omega_{N}\right)_{N}$, en possède aussi un 
et que celui-ci est égal à celui de la suite $\left(\displaystyle\sum_{k=2}^{p+1}(- 1)^k \dfrac{(k - 1)}{2k(k + 1)} R_{k}N\right)_{N}$ 
		\item Montrer que la suite $\left(\ln \Omega_{N}\right)_{N}$ possède un développement limité en $1/N$ à l'ordre 1. En déduire celui de la suite $\left(\Omega_{N}\right)_{N}$ à cet ordre.
		\end{enumerate}
		 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour $N \geqslant 1$, on a $R_{2}(N) - \dfrac{1}{N} = \displaystyle\sum_{n \geqslant N} \dfrac{1}{ n^2(n + 1)}$.

		\item  En comparant cette dernière série à l'intégrale généralisée $\displaystyle\int_{N}^{+ \infty}\dfrac{1}{x^2(x + 1)} \:\text{d}x$  donner le développement limité de la suite $\left(R_{2}(N)\right)_{N}$  en $1/N$ à l'ordre 2. En déduire le développement limité de la suite $\left(\ln \omega_{N}\right)_{N}$ puis de la suite $\left(\omega_{N}\right)_{N}$, en $1/N$ à l'ordre de 2.
		\item En généralisant ce qui vient d'être fait, décrire brièvement les étapes à suivre pour trouver un développement limité de la suite $\left(\Omega_{N}\right)_{N}$ en $1/N$ à un ordre donné. 
			\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\rule{4cm}{0.1mm} FIN \rule{4cm}{0.1mm} \end{center}

\end{document}
