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\begin{document}

\begin{center}\textbf{\large CAPES externe -- Épreuve 1 -- 2008}
\date{}

\medskip

\textbf{\Large Fonctions à variations bornées}
%\\[0.5em]
\end{center}

\section*{Introduction}

Dans ce problème, on s'intéresse aux fonctions à variations bornées. Cette notion
a été introduite en 1881 par Jordan\footnote{Camille Marie Ennenmond Jordan,
mathématicien français, Lyon 1838 -- Paris 1922.} pour étendre un théorème de
Dirichlet\footnote{Gustav Peter Dirichlet, mathématicien allemand, Düren 1805 --
Göttingen 1859.} sur la convergence des séries de Fourier\footnote{Joseph
Jean-Baptiste Fourier, mathématicien français, Auxerre 1768 -- Paris 1830.}.
Il est composé de sept parties A, B, C, D, E, F et G.

Dans la partie A on établit quelques propriétés élémentaires relatives aux fonctions
à variations bornées. En introduction de la partie B, on définit une notion de longueur
bornée et de longueur pour les fonctions à valeurs dans $\mathbb{R}$. Son objectif est
d'établir des propriétés générales sur cette notion : une inégalité triangulaire, une
relation de Chasles\ldots\ Dans la partie C on établit l'équivalence entre
\og être de longueur bornée sur tout segment \fg\ et \og être à variations bornées \fg.
La partie D se consacre au cas des fonctions de classe $C^1$. On y démontre qu'elles
sont toujours de longueur bornée et on donne une formule pour calculer leur longueur.
La partie E s'intéresse au cas des fonctions périodiques. La partie F est consacrée à
l'étude d'un exemple. Dans la partie G, on étend les définitions et les propriétés
présentées précédemment aux cas des fonctions à valeurs dans $\mathbb{R}^n$. Sauf
mentions contraires explicitées dans le texte, les parties de ce sujet ne sont pas
a priori indépendantes.

\section*{Notations et définition}

\begin{itemize}
\item Pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $A \subseteq \mathbb{R}$, $\mathcal{F}(A,
 \mathbb{R}^n)$ désigne l'ensemble des fonctions de $A$ vers $\mathbb{R}^n$.
 Pour tout $f \in \mathcal{F}(A, \mathbb{R}^n)$ et $B \subseteq A$, $f|_B$
 désigne la restriction de $f$ à $B$.

\item Dans tout le problème, $I$ désignera un intervalle de $\mathbb{R}$ non vide
 et non réduit à un point.

\item Pour $f \in \mathcal{F}(I, \mathbb{R})$, on dit que $f$ est
 \textbf{à variations bornées} lorsqu'il existe $g \in \mathcal{F}(I, \mathbb{R})$
 croissante et $h \in \mathcal{F}(I, \mathbb{R})$ décroissante telles que $f = g + h$.
\end{itemize}

% ============================================================
\section*{A. Premières propriétés}

\textbf{A1.} Établir que toute fonction monotone définie sur $I$ est à variations bornées.

\medskip
\textbf{A2a.} Montrer que l'ensemble des fonctions à variations bornées définies sur
$I$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{F}(I, \mathbb{R})$.

\medskip
\textbf{A2b.} Établir que ce sous-espace est engendré par l'ensemble des fonctions
croissantes sur $I$.

\medskip
\noindent Dans la fin de cette partie, on considère $f \in \mathcal{F}(I, \mathbb{R})$
une fonction à variations bornées, et $a$ et $b$ deux éléments de $I$ tels que $a < b$.

\medskip
\textbf{A3.} Soit $\alpha \in I$. Démontrer qu'il existe $k \in \mathcal{F}(I,
\mathbb{R})$ croissante et $l \in \mathcal{F}(I, \mathbb{R})$ décroissante telles que
$f = k + l$ et $k(\alpha) = 0$.

\medskip
\textbf{A4.} On écrit $f = g + h$ avec $g$ croissante sur $I$ et $h$ décroissante sur
$I$. Prouver que :

\[g(b) - g(a) \geqslant f(b) - f(a) \geqslant h(b) - h(a).\]

\medskip
\textbf{A5.} Montrer que $f$ est bornée sur le segment $[a, b]$.

\medskip
\textbf{A6.} Établir qu'en tout point intérieur à $I$, la fonction $f$ admet une
limite à droite et une limite à gauche.

% ============================================================
\section*{B. Fonctions de longueur bornée}

Soient $a$ et $b$ dans $I$ avec $a < b$ et $f \in \mathcal{F}(I, \mathbb{R})$.
On rappelle qu'une \textbf{subdivision} $\sigma$ de $[a, b]$ est une suite finie,
strictement croissante, qu'on peut noter $(\sigma_k)_{0 \leqslant k \leqslant p}$ où
$p \in \mathbb{N}^*$, et vérifiant $\sigma_0 = a$ et $\sigma_p = b$.

Pour $\sigma = (\sigma_k)_{0 \leqslant k \leqslant p}$ une subdivision de $[a, b]$ avec
$p \in \mathbb{N}^*$, on pose :

\[\ell(\sigma, f) = \sum_{i=1}^{p} \abs{f(\sigma_i) - f(\sigma_{i-1})}.\]

On dit que $f$ est de \textbf{longueur bornée} sur le segment $[a, b]$ lorsqu'il
existe $\Lambda \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $\sigma$ subdivision de $[a, b]$
on ait $\ell(\sigma, f) < \Lambda$. Si $f$ est de longueur bornée sur $[a, b]$,
on définit alors $\Lb{a}{b}(f)$, la \textbf{longueur} de $a$ à $b$ de $f$, par :

\[\Lb{a}{b}(f) = \sup_{\sigma} \bigl\{ \ell(\sigma, f) \mid \sigma
 \text{ est une subdivision de } [a,b] \bigr\}.\]
De plus, on pose également $\Lb{b}{a}(f) = -\Lb{a}{b}(f)$ et $\Lb{a}{a}(f) = 0$.

\medskip

\noindent Dans cette partie, on considère $f$ et $g$ dans $\mathcal{F}(I, \mathbb{R})$
et $a, b, c$ trois éléments de $I$ tels que $a < c < b$.

\medskip
\textbf{B1.} On suppose que $f$ est de longueur bornée sur $[a, b]$. Montrer que :

\[\Lb{a}{b}(f) \geqslant 0.\]

\medskip

\textbf{B2.} On suppose que $f$ est de longueur bornée sur $[a, b]$. Montrer que :

\[\abs{f(b) - f(a)} \leqslant \Lb{a}{b}(f).\]

\medskip

\textbf{B3.} On suppose que $f$ et $g$ sont de longueur bornée sur $[a, b]$.
Établir que $f + g$ est de longueur bornée sur $[a, b]$ et que :

\[\Lb{a}{b}(f + g) \leqslant \Lb{a}{b}(f) + \Lb{a}{b}(g).
\]

\medskip
\textbf{B4.} On suppose que $f$ est de longueur bornée sur $[a, c]$ et sur $[c, b]$.
On considère une subdivision $\sigma = (\sigma_k)_{0 \leqslant k \leqslant p}$ de $[a, b]$
et on pose :

\[q = \max\{ j \in \{0, \ldots, p\} \mid \sigma_j < c \}, \qquad
 r = \min\{ j \in \{1, \ldots, p\} \mid \sigma_j > c \}.\]

\textbf{B4a.} Justifier l'existence de $q$ et de $r$.

On définit alors les suites finies $\sigma'$ et $\sigma''$ par :

\[\sigma'_j = \sigma_j \text{ si } j \in \{0, \ldots, q\}, \quad
 \sigma'_{q+1} = c,\]

\[\sigma''_0 = c, \quad \sigma''_j = \sigma_{j+r-1} \text{ si } j \in \{1, \ldots, p-r+1\}.
\]

\textbf{B4b.} Montrer que $\sigma'$ est une subdivision de $[a, c]$ et que $\sigma''$
est une subdivision de $[c, b]$.

\medskip

\textbf{B4c.} Montrer que $\ell(\sigma, f) \leqslant \ell(\sigma', f) + \ell(\sigma'', f)$.

\medskip

\textbf{B4d.} Prouver que $f$ est de longueur bornée sur $[a, b]$ et que :

\[\Lb{a}{b}(f) \leqslant \Lb{a}{c}(f) + \Lb{c}{b}(f).\]

\medskip

\textbf{B5.} On suppose maintenant que $f$ est de longueur bornée sur $[a, b]$ et on
considère une subdivision quelconque $\sigma'$ de $[a, c]$ et une subdivision
quelconque $\sigma''$ de $[c, b]$.

\textbf{B5a.} Démontrer qu'il existe une subdivision de $[a, b]$, notée $\sigma$,
telle qu'on ait $\ell(\sigma, f) = \ell(\sigma', f) + \ell(\sigma'', f)$.

\medskip

\textbf{B5b.} Montrer que $f$ est de longueur bornée sur $[a, c]$ et sur $[c, b]$
et que :

\[\Lb{a}{b}(f) \geqslant \Lb{a}{c}(f) + \Lb{c}{b}(f).\]

\medskip
\textbf{B6.} On suppose maintenant que $f$ est de longueur bornée sur tout segment
de $I$. Soient $\alpha, \beta, \gamma$ dans $I$, établir l'égalité :

\[\Lb{\alpha}{\beta}(f) + \Lb{\beta}{\gamma}(f) = \Lb{\alpha}{\gamma}(f).\]

% ============================================================
\section*{C. Lien entre \og être de longueur bornée \fg\ et \og être à variations bornées \fg}

On considère $f \in \mathcal{F}(I, \mathbb{R})$.

\medskip

\textbf{C1.} Soient $a$ et $b$ dans $I$ avec $a < b$.

\textbf{C1a.} Soit $q \in \mathcal{F}(I, \mathbb{R})$ une fonction monotone. Prouver
que $q$ est de longueur bornée sur $[a, b]$ et qu'on a :

\[\Lb{a}{b}(q) = \abs{q(b) - q(a)}.\]

\medskip

\textbf{C1b.} On suppose que $f$ est une fonction à variations bornées. Montrer que
$f$ est de longueur bornée sur $[a, b]$.

\medskip

\textbf{C2.} On suppose que $f$ est de longueur bornée sur tout segment de $I$.
On choisit $\lambda$ dans $I$ et on définit alors les fonctions $g$ et $h$, pour
tout $t \in I$, par :

\[g(t) = \frac{1}{2}\bigl(f(t) + \Lb{\lambda}{t}(f)\bigr)
 \qquad \text{et} \qquad
 h(t) = \frac{1}{2}\bigl(f(t) - \Lb{\lambda}{t}(f)\bigr).\]
 
Prouver que $g$ est croissante sur $I$ et que $h$ est décroissante sur $I$.

\medskip

\textbf{C3.} En déduire que $f$ est à variations bornées si et seulement si $f$ est
de longueur bornée sur tout segment de $I$.

% ============================================================
\section*{D. Cas des fonctions de classe $C^1$}

On considère une fonction $f \in \mathcal{F}(I, \mathbb{R})$ de classe $C^1$ sur $I$.
Le but de cette partie est de montrer que $f$ est de longueur bornée sur tout segment
de $I$ et que pour tous $\alpha$ et $\beta$ dans $I$ on a

\[\Lb{\alpha}{\beta}(f) = \int_{\alpha}^{\beta} \abs{f'(t)}\, \text{d}t.\]

\textbf{D1.} Soient $u$ et $v$ dans $I$ avec $u < v$, établir que
$\displaystyle\abs{f(u) - f(v)} \leqslant \int_{u}^{v} \abs{f'(t)}\, \text{d}t$.

\medskip

\textbf{D2.} Soient $a$ et $b$ dans $I$ avec $a < b$.

\textbf{D2a.} Soit $\sigma$ une subdivision de $[a~;~b]$. Établir que
$\displaystyle\ell(\sigma, f) \leqslant \int_{a}^{b} \abs{f'(t)}\, \text{d}t$.

\medskip

\textbf{D2b.} Démontrer que $f$ est de longueur bornée sur $[a, b]$ et que
$\displaystyle\Lb{a}{b}(f) \leqslant \int_{a}^{b} \abs{f'(t)}\, \text{d}t$.

\medskip

\textbf{D3.} Soient $a$ et $b$ dans $I$ avec $a < b$, et soit un réel $\varepsilon > 0$.

\textbf{D3a.} Montrer qu'il existe $p \in \mathbb{N}^*$ et
$\sigma = (\sigma_k)_{0 \leqslant k \leqslant p}$ une subdivision de $[a~;~b]$, tels que pour
tout $i \in \{1, \ldots, p\}$ et pour tout $x$ et $y$ éléments de
$[\sigma_{i-1}, \sigma_i]$ on ait

\[\abs{f'(x) - f'(y)} < \frac{\varepsilon}{b - a}.\]

\textbf{D3b.} Prouver que pour tout $i \in \{1, \ldots, p\}$ il existe
$c_i \in [\sigma_{i-1}, \sigma_i]$ tel que

\[\abs{f'(c_i)}(\sigma_i - \sigma_{i-1}) = \abs{f(\sigma_i) - f(\sigma_{i-1})}.\]

\textbf{D3c.} En déduire que pour tout $i \in \{1, \ldots, p\}$, on a

\[\abs{f(\sigma_i) - f(\sigma_{i-1})} \geqslant
 \int_{\sigma_{i-1}}^{\sigma_i} \abs{f'(t)}\, \text{d}t
 - \frac{\varepsilon(\sigma_i - \sigma_{i-1})}{b - a}.\]

\textbf{D3d.} Établir que

\[\ell(\sigma, f) \geqslant \int_{a}^{b} \abs{f'(t)}\, \text{d}t - \varepsilon.\]

\medskip

\textbf{D4.} Conclure.

\medskip

\textbf{D5.} Établir que $f$ est à variations bornées.

% ============================================================
\section*{E. Cas des fonctions périodiques}

Dans cette partie on s'intéresse aux fonctions périodiques à variations bornées.
On y utilise certains résultats de la partie A. Par ailleurs, les résultats de cette
partie ne sont pas utilisés dans les autres parties.

\medskip

\noindent Pour $x \in \mathbb{R}$, on note $[x]$ la partie entière de $x$. On rappelle
que $[x]$ est l'unique élément de $\mathbb{Z}$ vérifiant $[x] \leqslant x < [x] + 1$.
On rappelle également que la fonction partie entière est croissante. On considère
$T \in \mathbb{R}^*_+$ et on définit la fonction $p$ sur $\mathbb{R}$ par
$p(x) = \left[\dfrac{x}{T}\right]$.

\medskip

\textbf{E1.} Pour tout $x \in \mathbb{R}$, montrer que $x - p(x)T \in [0, T[$.

\medskip
\textbf{E2.} Pour $a$ et $b$ deux réels tels que $a \leqslant b$, établir que :

\[p(a) = p(b) \quad \text{ou} \quad p(a) + 1 \leqslant p(b).\]

\medskip

\textbf{E3.} Soit $f \in \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ une fonction périodique
de période $T$. On suppose que $f|_{[0,T]}$ est à variations bornées. On peut donc
écrire $f|_{[0,T]} = k + l$ avec $k \in \mathcal{F}([0, T], \mathbb{R})$ croissante,
$l \in \mathcal{F}([0, T], \mathbb{R})$ décroissante et $k(0) = 0$ (d'après A3).
Pour $x \in \mathbb{R}$, on pose :

\[g(x) = p(x)\,k(T) + k\bigl(x - p(x)T\bigr), \qquad
 h(x) = f(x) - g(x).\]

\textbf{E3a.} Justifier que les fonctions $g$ et $h$ sont bien définies sur $\mathbb{R}$.

\medskip

\textbf{E3b.} Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a \leqslant b$. Montrer que
$g(a) \leqslant g(b)$.

\medskip

\textbf{E3c.} Montrer que pour tout réel $x$ on a :
$h(x) = -p(x)\,k(T) + l\bigl(x - p(x)T\bigr)$.

\medskip

\textbf{E3d.} Montrer que pour tout $u \in [0, T]$ on a
$l(0) \geqslant l(u) \geqslant l(0) - k(T)$.

\medskip

\textbf{E3e.} Prouver finalement que $f$ est à variations bornées.

\medskip

\textbf{E4.} On considère la fonction

\[\psi : x \longmapsto \frac{1}{x - [x] - 1}.\]

\textbf{E4a.} Montrer que $\psi$ est bien définie sur $\mathbb{R}$ et est périodique
de période $1$.

\medskip

\textbf{E4b.} Parmi les trois fonctions $\psi|_{[0,1[}$, $\psi|_{[0,1]}$ et $\psi$,
quelles sont celles qui sont à variations bornées ? On justifiera chacune des réponses.

\medskip

\noindent Dans la fin de cette partie, on considère la fonction $\varphi$ définie,
pour $x \in \mathbb{R}$, par :

\[\varphi(x) = |\sin x| + \sin x.\]

\medskip

\textbf{E5.} Donner, sans justification, la représentation graphique de
$\varphi|_{[-2\pi~;~2\pi]}$ dans un repère qu'on choisira.

\medskip

\textbf{E6.} Montrer que $\varphi$ est à variations bornées.

\medskip

\textbf{E7.} D'après A3 et E6, on peut écrire $\varphi = g + h$ avec
$g \in \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ croissante vérifiant $g(0) = 0$ et
$h \in \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ décroissante.

\textbf{E7a.} Établir que l'on a :

\[\forall n \in \mathbb{N},\quad g(2n\pi) + 2 \leqslant g\!\left(2n\pi + \frac{\pi}{2}\right).\]

\textit{(Indication : On pourra utiliser A4.)}

\medskip

\textbf{E7b.} En déduire que l'on a : $\forall n \in \mathbb{N},\ g(n\pi) \geqslant n$.

\medskip

\textbf{E7c.} Que vaut $\lim_{x \to +\infty} g(x)$ ?

\medskip

\textbf{E7d.} En déduire $\lim_{x \to +\infty} h(x)$.

% ============================================================
\section*{F. Un exemple de fonction dérivable et bornée mais non à variations bornées}

\noindent Les premières questions de cette partie peuvent se traiter indépendamment
des parties précédentes.

\medskip

\noindent On étudie dans cette partie certaines propriétés de la fonction $f$ définie
pour $x \in \mathbb{R}$ par :

\[f(x) =
\begin{cases}
 x^2 \sin\!\dfrac{1}{x^2} & \text{si } x \neq 0, \\[6pt]
 0 & \text{si } x = 0.
 \end{cases}
\]

\textbf{F1a.} Étudier la parité de $f$.

\medskip

\textbf{F1b.} Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et calculer $f'(x)$
pour tout $x$ réel.

\medskip

\textbf{F1c.} La fonction $f$ est-elle de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$ ?

\medskip

\textbf{F1d.} Que vaut $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$ ?

\medskip

\textbf{F1e.} En déduire que $f$ est bornée.

\medskip

\textbf{F2.} Montrer que la série de terme général
$\ln\!\left(\dfrac{4n+1}{4n-1}\right)$ ($n \geqslant 1$) est divergente.

\medskip

\textbf{F3.} On considère la suite $(u_n)_{n \geqslant 1}$ définie par
$u_n = \sqrt{\dfrac{2}{(2n-1)\pi}}$.

\textbf{F3a.} Vérifier que la suite $(u_n)_{n \geqslant 1}$ est décroissante et est de
limite nulle.

\medskip

\textbf{F3b.} Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Établir que

\[\int_{u_{n+1}}^{u_n} \frac{1}{t} \left|\cos\frac{1}{t^2}\right| \text{d}t
 \geqslant \frac{\sqrt{2}}{2}
 \int_{\sqrt{\frac{4}{(4n+1)\pi}}}^{\sqrt{\frac{4}{(4n-1)\pi}}} \frac{1}{t}\, \text{d}t.\]

\textbf{F3c.} Prouver alors que la série de terme général
$\displaystyle\int_{u_{n+1}}^{u_n} \frac{1}{t}\left|\cos\frac{1}{t^2}\right| \text{d}t$
($n \geqslant 1$) est divergente.

\medskip

\textbf{F3d.} En déduire que l'intégrale
$\displaystyle\int_{0}^{u_1} \frac{1}{t}\left|\cos\frac{1}{t^2}\right| \text{d}t$
est divergente.

\medskip

\textbf{F4a.} Montrer que l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^{1} f'(t)\, \text{d}t$ est
convergente mais qu'elle n'est pas absolument convergente.

\medskip

\textbf{F4b.} Que vaut $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \int_{x}^{1} \abs{f'(t)}\, \text{d}t$ ?

\medskip

\textbf{F5.} Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$ et $ab \leqslant 0$. Prouver
que $f$ n'est pas de longueur bornée sur $[a~;~b]$.

\medskip
\textbf{F6.} Soit $J$ un intervalle de $\mathbb{R}$ non vide et non réduit à un
point. Démontrer que l'application $f|_J$ est à variations bornées si et seulement
si $0 \notin J$.

% ============================================================
\section*{G. Généralisation au cas des fonctions à valeurs dans $\mathbb{R}^n$}

Dans cette partie, on considère un entier $n \geqslant 2$ et on munit $\mathbb{R}^n$ de
sa structure euclidienne canonique ; la norme euclidienne $\norm{\cdot}$ associée
est donc définie, pour $x = (x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n$, par

\[\norm{x} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}.\]

On peut prolonger la définition introduite au début de la partie B, de fonction de
longueur bornée aux fonctions à valeurs dans $\mathbb{R}^n$ de la manière suivante :

Étant données $a$ et $b$ dans $I$ avec $a < b$ et $f \in \mathcal{F}(I, \mathbb{R}^n)$,
pour $\sigma = (\sigma_k)_{0 \leqslant k \leqslant p}$ une subdivision de $[a~;~b]$ avec
$p \in \mathbb{N}^*$, on pose :

\[\ell(\sigma, f) = \sum_{i=1}^{p} \norm{f(\sigma_i) - f(\sigma_{i-1})}.\]

On dit que $f$ est de \textbf{longueur bornée} sur le segment $[a, b]$ lorsqu'il
existe $\Lambda \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $\sigma$ subdivision de $[a, b]$
on ait $\ell(\sigma, f) < \Lambda$. Si $f$ est de longueur bornée sur $[a, b]$,
on définit alors $\Lb{a}{b}(f)$, la longueur de $a$ à $b$ de $f$, par :

\[\Lb{a}{b}(f) = \sup_{\sigma} \bigl\{ \ell(\sigma, f) \mid \sigma
 \text{ est une subdivision de } [a~;~b] \bigr\}.\]

De plus, on pose également $\Lb{b}{a}(f) = -\Lb{a}{b}(f)$ et $\Lb{a}{a}(f) = 0$.

\medskip
\noindent Dans cette partie, on considère deux éléments $a$ et $b$ de $I$ tels que
$a < b$, et $f \in \mathcal{F}(I, \mathbb{R}^n)$. Pour $i \in \{1, \ldots, n\}$,
on note $f_i$ la $i$-ième composante de $f$. Ainsi, pour tout $t \in I$, on a
$f(t) = (f_1(t), \ldots, f_n(t))$ (on remarquera que $f_i \in \mathcal{F}(I, \mathbb{R})$).

\medskip

\textbf{G1.} Soit $R$ un automorphisme orthogonal de $\mathbb{R}^n$. Montrer que si
$f$ est de longueur bornée sur $[a, b]$ alors $R \circ f$ l'est aussi sur $[a, b]$
et que :

\[\Lb{a}{b}(R \circ f) = \Lb{a}{b}(f).\]

\medskip

\textbf{G2.} On suppose que $f$ est de longueur bornée sur $[a~;~b]$. Montrer que pour
tout $i \in \{1, \ldots, n\}$, la fonction $f_i$ est de longueur bornée sur $[a~;~b]$
et que :

\[\Lb{a}{b}(f_i) \leqslant \Lb{a}{b}(f).\]

\medskip

\textbf{G3.} On suppose que pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$, $f_i$ est de longueur
bornée sur $[a~;~b]$. Démontrer que $f$ est de longueur bornée sur $[a~;~b]$ et que :

\[\Lb{a}{b}(f) \leqslant \sum_{i=1}^{n} \Lb{a}{b}(f_i).\]

\medskip

\textbf{G4.} Démontrer que $f$ est de longueur bornée sur tout segment de $I$ si et
seulement si pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$, $f_i$ est à variations bornées.

\medskip

\textbf{G5.} On suppose maintenant que $f$ est de longueur bornée sur tout segment
de $I$. Soient $\alpha, \beta, \gamma$ dans $I$. Établir l'égalité :

\[\Lb{\alpha}{\beta}(f) + \Lb{\beta}{\gamma}(f) = \Lb{\alpha}{\gamma}(f).\]

\medskip

\noindent Dans toute la suite, on suppose que $f \in \mathcal{F}(I, \mathbb{R}^n)$
est de classe $C^1$ sur $I$ et on rappelle que :

\[\forall t \in I,\quad f'(t) = \bigl(f'_1(t), \ldots, f'_n(t)\bigr).\]

\medskip

\textbf{G6.} Prouver que $f$ est de longueur bornée sur tout segment de $I$.

\medskip

\textbf{G7.} Soit $T$ un endomorphisme de $\mathbb{R}^n$. Montrer que $T \circ f$
est de classe $C^1$ sur $I$ et que $(T \circ f)' = T \circ f'$.

\medskip

\textbf{G8.} On définit la fonction $w$, pour $x \in I$, par $w(x) = \Lb{a}{x}(f)$
et on considère $t \in I$.

\textbf{G8a.} Montrer qu'il existe $\vec{u} \in \mathbb{R}^n$ tel que
$\norm{\vec{u}} = 1$ et $f'(t) = \norm{f'(t)}\,\vec{u}$.

\medskip

\textbf{G8b.} Prouver qu'il existe $R$ un automorphisme orthogonal de $\mathbb{R}^n$
tel que $R(\vec{u}) = (1, 0, \ldots, 0)$.

On pose alors $g = R \circ f$ et $(g_1, \ldots, g_n) = g$.

\medskip

\textbf{G8c.} Montrer que $g$ est de classe $C^1$ sur $I$ et établir que :

\[g'_1(t) = \norm{f'(t)} \qquad \text{et} \qquad
 \forall i \in \{2, \ldots, n\},\quad g'_i(t) = 0.\]

\textbf{G8d.} Montrer que $g$ est de longueur bornée sur tout segment de $I$.

\medskip

\textbf{G8e.} Soit $v \in \mathbb{R}^*$ tel que $t + v \in I$, prouver que

\[\frac{1}{v}\,\Lb{t}{t+v}(g_1) \leqslant \frac{1}{v}\,\Lb{t}{t+v}(f)
 \leqslant \frac{1}{v}\sum_{i=1}^{n} \Lb{t}{t+v}(g_i).\]

\textbf{G8f.} En déduire que $w$ est dérivable en $t$ et que $w'(t) = \norm{f'(t)}$.

\medskip

\textbf{G9.} Établir que :

\[\Lb{a}{b}(f) = \int_{a}^{b} \norm{f'(t)}\, \text{d}t.\]

\medskip

\textbf{G10.} Soit $h \in \mathcal{F}([a, b], \mathbb{R}^n)$ une fonction de classe
$C^1$ sur $[a, b[$ telle que l'intégrale $\displaystyle\int_{a}^{b} h'(t)\, dt$
soit absolument convergente. On veut montrer que $h$ est de longueur bornée sur
$[a, b]$ et exprimer $\Lb{a}{b}(h)$. On considère $\varepsilon \in \mathbb{R}^*_+$.

\textbf{G10a.} Prouver que $h|_{[a,b[}$ admet une limite finie en $b$. On notera
$H$ cette limite.

\medskip

\textbf{G10b.} Soit $x \in [a~;~b]$. Montrer que :

\[\norm{h(x) - h(b)} \leqslant \norm{H - h(b)} + \int_{x}^{b} \norm{h'(t)}\, \text{d}t.\]

\textbf{G10c.} Soit $\sigma$ une subdivision de $[a~;~b]$. Établir que :

\[\ell(\sigma, h) \leqslant \norm{H - h(b)} + \int_{a}^{b} \norm{h'(t)}\, \text{d}t.\]

\textbf{G10d.} Montrer qu'il existe $d \in \,]a~;~b[$ tel que :

\[\norm{H - h(b)} - \frac{\varepsilon}{2}
 \leqslant \norm{h(d) - h(b)} - \int_{d}^{b} \norm{h'(t)}\, \text{d}t.\]

\textbf{G10e.} Montrer qu'il existe une subdivision $\sigma'$ de $[a~;~d]$ telle que :

\[\int_{a}^{d} \norm{h'(t)}\, dt - \frac{\varepsilon}{2} \leqslant \ell(\sigma', h).\]

\textbf{G10f.} Montrer qu'il existe une subdivision $\sigma''$ de $[a~;~b]$ telle que :

\[\norm{H - h(b)} + \int_{a}^{b} \norm{h'(t)}\, dt - \varepsilon \leqslant \ell(\sigma'', h).\]

\textbf{G10g.} Conclure.

\medskip

\textbf{G11.} Soit $h \in \mathcal{F}([a~;~b], \mathbb{R}^n)$ telle que $h$ soit de
classe $C^1$ sur $[a, b[$ et que l'intégrale
$\displaystyle\int_{a}^{b} h'(t)\, \text{d}t$ ne soit pas absolument convergente. Soit
$A \in \mathbb{R}$.

\textbf{G11a.} Démontrer qu'il existe $c \in [a~;~b[$ tel que
$\displaystyle\int_{a}^{c} \norm{h'(t)}\, \text{d}t > A + 1$.

\medskip

\textbf{G11b.} Montrer qu'il existe une subdivision $\sigma$ de $[a, b]$ telle que
$\ell(\sigma, h) > A$.

\medskip

\textbf{G11c.} Prouver que $h$ n'est pas de longueur bornée sur $[a, b]$.

\bigskip

\begin{center}
\rule{6cm}{0.4pt}\\[0.5em]
\textsc{fin de l'épreuve}\\
\rule{6cm}{0.4pt}
\end{center}

\end{document}
