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%%%%%%%%%%%%%%%%%       Enoncé de l'épreuve 2 (CAPES 2006)
%%%%%%%%%%%%%%%%%       C{\^o}ne, hyperbole et équation diophantienne
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\parskip 3pt
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\def\goth{\fam\gothfam\tengoth}

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\def\bb{\sym}
\def\A{{\sym A}}
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\def\F{{\sym F}}
\def\H{{\sym H}}
\def\K{{\sym K}}
\def\L{{\sym L}}
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\def\R{{\sym R}}
\def\U{{\sym U}}
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\def\d{\displaystyle}
\def\SG{{\goth S}}
\def\AG{{\goth A}}
\def\ZnZ#1{{\Z/#1\Z}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\binomial#1#2{\left(\,\matrix{#1 \cr #2}\,\right)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\idt{\hspace{\parindent}}
\def\vt{\vrule height 0mm depth 2mm width 0mm}
\def\vtt{\vrule height 0mm depth 3mm width 0mm}
\def\vttt{\vrule height 0mm depth 13mm width 0mm}
\def\vtr#1{\vrule height 0mm depth #1mm width 0mm}
\def\wtr#1#2{\vrule height #2mm depth #1mm width 0mm}
% ****************************************************************************
% ****************************************************************************
% Fonctions usuelles:
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\exp{\mathop{\rm exp}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\tanh{\mathop{\rm th}\nolimits}
\def\cotan{\mathop{\rm cotan}\nolimits}
\def\arctan{\mathop{\rm Arctan}\nolimits}
\def\argth{\mathop{\rm Argth}\nolimits}
\def\argsh{\mathop{\rm Argsh}\nolimits}
\def\argch{\mathop{\rm Argch}\nolimits}
\def\arcsin{\mathop{\rm Arcsin}\nolimits}
\def\arccos{\mathop{\rm Arccos}\nolimits}
\def\build#1_#2{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits_{#2}}}
% LMettres grecques
\def\al{\alpha}
\def\be{\beta}
\def\ga{\gamma}
\def\de{\delta}
\def\ep{\varepsilon}
\def\dz{\dzeta}
\def\et{\eta}
\def\th{\theta}
\def\la{\lambda}
\def\rh{\rho}
\def\si{\sigma}
\def\ta{\tau}
\def\ps{\psi}
\def\ph{\varphi}
\def\om{\omega}
\def\Ga{\Gamma}
\def\De{\Delta}
\def\Th{\Theta}
\def\La{\Lambda}
\def\Si{\Sigma}
\def\Ps{\Psi}
\def\Ph{\Phi}
\def\Om{\Omega}
% Convergence
\def\tend#1#2#3#4{\build\hbox to #1mm{\rightarrowfill}_{#3\rightarrow #4}#2}
% Norme
\def\norme#1{\left|\left|#1\right|\right|}
% Derivee partielle
\def\part#1#2{{\partial #1\over \partial #2}}
\def\partxx#1#2{{\partial^2 #1\over \partial #2^2}}
\def\partxy#1#2#3{{\partial^2 #1\over \partial #2\partial#3}}
\def\dif#1{{\rm d}#1}
\def\ligne{\hbox to 165mm}
% n-uplet
\def\uple#1#2#3{\left(#1_{#2},\ldots,#1_{#3}\right)}
% Mn(K), GLn(K), On(R), Un(C)
\def\M#1#2{{\cal M}_{#1}\left(#2\right)}
\def\G#1#2{{\rm GL}_{#1}\left(#2\right)}
\def\O#1{{\rm O}_{#1}\left(\R\right)}
\def\U#1{{\rm U}_{#1}\left(\C\right)}
% 3 petits points ascendants


\def\adots{\mathinner{\mkern2mu\raise1pt\hbox{.}
\mkern3mu\raise4pt\hbox{.}\mkern1mu\raise7pt\hbox{.}}}

% logique

\def\ssi{\Longleftrightarrow}
\def\imp{\Longrightarrow}
\def\impl{\Longleftarrow}

% produit scalaire \scal {x}{y}  donne <x , y>

\def\scal#1#2{\left\langle\, #1\, ,\, #2 \,\right\rangle}


%Fleches, applications et diagrammes

        %fleche horizontale vers la droite (#1 longueur de la fl{\^e}che, #2 au dessus et #3 au dessous)
\def\dfl#1#2#3{\smash{\mathop{\hbox to #1mm{\rightarrowfill}}
\limits^{\scriptstyle#2}_{\scriptstyle#3}}}

        %fleche horizontale vers la gauche (#1 longueur de la fl{\^e}che, #2 au dessus et #3 au dessous)
\def\gfl#1#2#3{\smash{\mathop{\hbox to #1mm{\leftarrowfill}}
\limits^{\scriptstyle#2}_{\scriptstyle#3}}}


        %fleche verticale vers le bas (#1 longueur de la fl{\^e}che, #2 à gauche et #3 à droite)
\def\bfl#1#2#3{\llap{$\scriptstyle #2$}\left\downarrow
\vbox to #1mm{}\right.\rlap{$\scriptstyle #3$}}

        %fleche verticale vers le haut (#1 longueur de la fl{\^e}che, #2 à gauche et #3 à droite)
\def\hfl#1#2#3{\llap{$\scriptstyle #2$}\left\uparrow
\vbox to #1mm{}\right.\rlap{$\scriptstyle #3$}}


        % application f A B a b donne f : A  -> B
        %                                a |-> b

\def\application#1#2#3#4#5{\begin{tabular}[t]{crcl}
                                              $\d #1\,:$&$\d #2$&$\d \longrightarrow$&$\d #3$\\
                                                        &$\d #4$&$\d \longmapsto$&$\d #5$\\
                           \end{tabular}}

        % application f A B a b donne f : A  -> B
        %                                a |-> b

\def\applicationbis#1#2#3#4{\begin{tabular}[t]{crcl}
                                                        $\d #1$&$\d \longrightarrow$&$\d #2$\\
                                                        $\d #3$&$\d \longmapsto$&$\d #4$\\
                           \end{tabular}}
\def\diagram#1{\def\normalbaselines{\baselineskip=0pt
\lineskip=10pt\lineskiplimit=1pt}   \matrix{#1}}

\def\up#1{\raise 1ex\hbox{sevenrm#1}}

\def\fonc#1#2#3{#1:\ #2\rightarrow #3}

\def\image#1#2{\epsfxsize=#1cm \epsffile{#2}}
\def\ca#1{{\cal #1}}


%%%%%%%%%%%%%%%%% Début de l'énoncé


\def\vect#1{\overrightarrow{#1\wtr1{2.2}}}
\def\vi{\vect{\i\wtr1{2.2}}}
\def\vj{\vect{\j\wtr1{2.2}}}
\def\vk{\vect{k}}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~CAPES Concours externe 2006 Option mathématiques ~\decofourright\\[7pt] épreuve 2}}
\end{center}
\section*{
%\begin{center}
{\bf Définitions et notations}
%\end{center}
}
On considère un espace affine euclidien orienté $\ca E$ de dimension 3, de direction $E$, muni d'un repère orthonormal direct $\ca R_0=(O,\vi,\vj,\vk)$.

\vskip .3cm
Le sous-espace affine de $\ca E$ d'équation $(z=0)$ sera noté $\ca P$, et sa direction $P$. Par abus d'écriture, à partir de la partie III, le repère
$(O,\vi,\vj)$ de $\ca P$ sera également noté $\ca R_0$.

\vskip .3cm
Si $\ca R$ est un repère d'un espace affine $\ca X$ de dimension quelconque $n$ et si $M$ est un point de $\ca X$, nous noterons $M\,(x_1,\dots ,x_n)_{\ca R}$
pour signifier que $x_1,\dots ,x_n$ sont les coordonnées de $M$ dans le repère $\ca R$.

\vskip .3cm
La partie de $\ca P$ formée des points à coordonnées entières est notée $\ca Z${\,}:
$$M(x,y)_{\ca R_0} \in \ca Z \ {\rm si\ et\ seulement\ si}\  (x,y) \in \Z^2.$$

\vskip .3cm
Si $A$ et $B$ sont deux points de $\ca E$, nous noterons $AB$ la distance de $A$ à $B$, $(AB)$ la droite passant par les points $A$ et
$B$ (quand $A\not= B$) et $[A,B]$ le segment d'extrémités $A$ et $B$.

\vskip .3cm
On note $\ca Q$ la quadrique de $\ca E$ d'équation{\,}:

\hskip 2cm $(\ca Q)$\hskip 3cm $\d x^2-3xy+y^2+x-y-{1\over 2}z^2+{\sqrt{10}\over 5}z=0$

et $\ca C$ la conique intersection de $\ca Q$ et du plan $\ca P${\,}:

\hskip 2cm $(\ca C)$\hskip 3cm $\d\cases{x^2-3xy+y^2+x-y=0&\cr \noalign{\vskip 3mm} z=0&\cr}$.

\vskip .3cm
On note $GA(\ca P)$ le groupe affine de $\ca P$, c'est-à-dire l'ensemble des bijections affines de $\ca P$ sur lui-m{\^e}me{\,}: $GA(\ca P)$ est un
groupe pour la composition.

\vskip .3cm
On note $\ca M_2(\R)$ l'algèbre des matrices réelles carrées d'ordre 2. Le sous-groupe multiplicatif des éléments inversibles de cette algèbre est
noté $GL_2(\R)$.


\vskip .3cm
Le but de ce problème est d'étudier l'équation diophantienne{\,}:

\hskip 2cm $(\Sigma)$\hskip 3cm $\d n^2- 3np +p^2+ n - p=0$,

c'est-à-dire de déterminer l'ensemble $\ca S$ des points de $\ca C$ à coordonnées entières{\,}: $\ca S=\ca C\cap \ca Z$.

\vskip .3cm
La partie I présente une étude géométrique de la quadrique $\ca Q$ et de la conique $\ca C${\,}; la partie II donne
quelques méthodes arithmétiques d'étude de $(\Sigma)${\,}; la partie III introduit une famille
de transformations affines qui permet, dans la partie IV, de décrire l'ensemble $\ca S$.

\vskip .3cm
{\bf Les parties I et II sont indépendantes et la partie III est très largement indépendante des deux parties précédentes.}

\section*{Partie I{\,}: étude de la quadrique $\ca Q$ et de la conique $\ca C$}

\subsection*{I.1. Intersections de $\ca Q$ avec une famille de plans}

On pose $\d\vect u={\sqrt 2\over 2}\left(\vi+\vj\right)$ et $\vect v=\vk$.

\vskip .3cm

\begin{enumerate}
\item Déterminer le vecteur $\vect w$ tel que $\left(\vect u,\vect v,\vect w\right)$ soit une base orthonormale directe de $E$.

\vskip .3cm
\item On pose $\ca R_1=(O,\vect u,\vect v,\vect w)$. Soit $M$ un point de $\ca E${\,}; on le représente dans les deux repères par $M(x,y,z)_{\ca
R_0}=M(x_1,y_1,z_1)_{\ca R_1}$. Exprimer $x$, $y$ et $z$ en fonction de $x_1$, $y_1$ et $z_1$, puis en déduire l'équation de $\ca Q$ dans le repère
$\ca R_1$.

\vskip .3cm
\item Pour $t\in\R$, soit $\ca P_t$ le plan d'équation $z_1=t$ relativement au repère $\ca R_1$. Préciser la position de $\ca P_t$ dans $\ca R_0$ et en
faire un croquis. Montrer que l'intersection de $\ca P_t$ et de $\ca Q$ est un cercle dont on précisera le centre $C_t$ et le rayon $R_t$.

\vskip .3cm
\item Préciser la valeur de $t$ pour laquelle le cercle précédent se réduit à un point. Soit $S$ ce point{\,}; vérifier que
$\d S\left(-{1\over 5},{1\over 5},{\sqrt{10}\over 5}\right)_{\ca R_0}$.
\end{enumerate}

\subsection*{I.2. Nature de $\ca Q$ et de $\ca C$}

Soit $\ca R$ le repère $(S,\vect u,\vect v,\vect w)${\,}; on note $(X,Y,Z)$ les coordonnées d'un point de $\ca E$ dans ce nouveau repère.

\vskip .2cm
On note $\ca P'$ le plan admettant $\ca R'=(S,\vect v,\vect w)$ pour repère orthonormal.

\vskip .3cm

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation de $\ca Q$ dans le repère $\ca R$ est $X^2+Y^2=5Z^2$.

\vskip .3cm
\item Quelle est la nature de $\ca Q${\,}? On remarquera en particulier que $\ca Q$ est une surface de révolution et on précisera son axe.

\vskip .3cm
\item Montrer qu'un point $M(X,Y,Z)_{\ca R}$ est élément de $\ca P$ si et seulement si $\d Y=-{\sqrt{10}\over 5}$.

\vskip .3cm
Faire une figure, sur une feuille de
papier millimétrée, représentant, dans le repère $\ca R'$, la droite d'intersection $\ca D=\ca P\cap \ca P'$, ainsi que les deux droites
$\ca D_1$ et $\ca D_2$ formant $\ca Q\cap\ca P'$. On prendra une unité égale à 8cm.

\vskip .3cm

{\sl Pour toute la fin de cette partie, cette figure sera un outil important. On y placera les éléments définis ci-dessous ou leurs projections sur $\ca P'$, au fur et à mesure qu'ils apparaîtront utiles.}

\vskip .3cm

Quelle est la nature de la conique $\ca C${\,}?

\vskip .3cm

\item Montrer qu'il existe deux cercles dans $\ca P'$, de m{\^e}me rayon et centrés sur l'axe $(S,\vect w)$, tangents aux trois droites $D$, $D_1$ et $D_2$.
On note $\Omega_1$ et $\Omega_2$ leurs centres respectifs, et on note $\rho$ la valeur commune de leurs rayons.

\vskip .3cm
e) On note $\ca S_1$ et $\ca S_2$ les sphères de centres respectifs $\Omega_1$ et $\Omega_2$, et de rayon $\rho$. Montrer que ces sphères sont tangentes au plan
$\ca P$ en deux points
notés $F_1$ et $F_2$, et tangentes à $\ca Q$ le long de deux cercles que l'on note $\ca C_1$ et $\ca C_2$. Représenter sur la figure précédente les
projections orthogonales sur $\ca P'$ de ces deux cercles, ainsi que les points $F_1$ et $F_2$.
\end{enumerate}

\subsection*{I.3. Deux caractérisations de $\ca C$}

\begin{enumerate}
\item Soit $M$ un point quelconque de l'intersection $\ca C=\ca Q\cap \ca P$. Montrer que la droite $(MS)$ est contenue dans $\ca Q$. On nomme $T_1$ et
$T_2$ les intersections respectives de $(MS)$ et des cercles $\ca C_1$ et $\ca C_2$. Montrer que $MT_1=MF_1$ et $MT_2=MF_2$. Montrer par ailleurs
que $|MT_1-MT_2|$ est constant lorsque $M$ décrit $\ca C$. Quelle propriété de $\ca C$ peut-on retrouver ainsi{\,}?

\vskip .3cm
\item Pour $i\in \{1,2\}$, on nomme $\Delta_i$ la droite d'intersection du plan $\ca P$ et du plan contenant le cercle $\ca C_i$, et
$U_i$ le centre de $\ca C_i$. Pour $M$ point quelconque de l'intersection $\ca C=\ca Q\cap \ca P$, soit $H_i$ la projection orthogonale de $M$ sur
$\Delta_i$. Vérifier que les points $M$, $S$, $H_i$, $T_i$ et $U_i$ sont coplanaires. En étudiant la figure formée par ces cinq points, prouver que
le rapport $\d {MH_i\over MT_i}$ reste constant quand $M$ décrit $\ca C$. Quelle propriété de $\ca C$ peut-on retrouver ainsi{\,}?
\end{enumerate}

\section*{Partie II{\,}: résolution de l'équation diophantienne pour de petites valeurs de $n$}

Pour $n$ et $p$ deux entiers tels que $0\leqslant p\leqslant n$, on note $\binomial np$ le coefficient binomial{\,}:

\[\binomial np ={n!\over p!(n-p)!}\]

avec la convention $0!=1$.

\vskip .3cm

Pour $n$ et $p$ entiers naturels supérieurs ou égaux à 1, on s'intéresse, lorsqu'elle a un sens, à l'équation{\,}:

\hskip 2cm $(\Sigma_1)$\hskip 3cm $\d \binomial n{p-1}=\binomial {n-1}p$.


\subsection*{II.1. Une étude élémentaire}


\begin{enumerate}
\item Montrer que cette équation est équivalente au système{\,}:

\[\cases{2\leqslant p+1\leqslant n,&\cr
 \noalign{\vskip 3mm}
 n^2+p^2-3np+n-p=0.&\cr}\]

\vskip .3cm
\item Pour $n$ entier supérieur ou égal à 1, montrer que le polyn{\^o}me de variable $X${\,}: $n^2-3nX+X^2+n-X$ possède deux racines réelles, que l'on écrira sous la forme
$\d X_1={a_n-\sqrt{b_n}\over 2}$ et $\d X_2={a_n+\sqrt{b_n}\over 2}$ où $a_n$ et $b_n$ sont deux entiers naturels. Pour quelles valeurs de $n$ a-t-on
$2\leqslant X_1+1\leqslant n${\,}? Et pour quelles valeurs de $n$ a-t-on $2\leqslant X_2+1\leqslant n${\,}?

\vskip .3cm
\item Montrer que si $b$ est un entier naturel, $\sqrt{b}$ est rationnel si et seulement si $b$ est un carré parfait.

\vskip .3cm

\item On suppose que $(n,p)$ est une solution de $(\Sigma_1)$. Montrer que $2\leqslant n$, que $5n^2+2n+1$ est un carré parfait et donner une expression de $p$ en
fonction de $n$.

\vskip .3cm

\item Réciproquement, soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2 tel que $5n^2+2n+1$ soit un carré parfait. Montrer qu'il existe un unique $p$ tel
que $(n,p)$ soit solution de $(\Sigma_1)$.

\vskip .3cm

\item Pour $n_0$ entier naturel non nul, comment peut-on calculer tous les couples $(n,p)$ solutions de $(\Sigma_1)$ avec $1\leqslant n\leqslant n_0${\,}? On pourra donner un algorithme de calcul de ces solutions, sans utiliser un langage de programmation précis.
\end{enumerate}

\subsection*{II.2 Une méthode plus arithmétique}

Soit $(n,p)$ une solution de $(\Sigma_1)$.

\vskip .2cm

\begin{enumerate}
\item On suppose que $n$ et $p$ sont premiers entre eux. Montrer que $np=(n-p)(n-p+1)$ et en déduire que $n$ divise $p-1$. Quelles sont
toutes les solutions de $(\Sigma_1)$ formées d'entiers premiers entre eux{\,}?

\vskip .3cm

\item On ne suppose plus maintenant que $n$ et $p$ sont premiers entre eux{\,}: on note $r=n\wedge p$ leur plus grand commun diviseur commun
et on pose $n=ru$ et $p=rv$. Montrer successivement{\,}:

\vskip .2cm

\ligne{\hfill\hbox to 4cm{$\bullet$ $r$ divise $u-v${\,};\hfill}\hfill\hbox to 4cm{$\bullet$ $r=u-v${\,};\hfill}\hbox to 4cm{$\bullet$ $\d v={\sqrt{5r^2+4}-r\over
2}${\,};\hfill}\hfill\hbox to 4cm{$\bullet$ $\d r^2< {2p\over \sqrt{5}-1}$.\hfill}}

\vskip .3cm

\item Faire la liste de tous les couples $(n,p)$ solutions de $(\Sigma_1)$ pour $n\leqslant 105$.
\end{enumerate}

\section*{Partie III{\,}: un groupe de transformations affines conservant $\ca S$.}

Dans cette partie et la suivante, nous travaillons exclusivement dans le plan $\ca P$, dont le repère $(0,\vi,\vj)$ est encore noté $\ca R_0$.

\vskip .3cm

{\sl Les vecteurs $\vect u$, $\vect v$ et le repère $\ca R_1$ définis ci-dessous n'ont pas de rapport avec les éléments de m{\^e}mes noms définis dans la
partie I.}

\subsection*{III.1. Définition d'un nouveau repère $\ca R_1$ associé à la conique $\ca C$}

\begin{enumerate}
\item Soit $I(-1/5,1/5)_{\ca R_0}$. On pose alors $x_1=x+\d{1\over 5}$ et $y_1=y-\d{1\over 5}$.
Quelle est l'équation de $\ca C$ dans le repère $(I,\vi,\vj)${\,}?

\vskip .3cm
\item Mettre la forme quadratique $a^2+b^2-3ab$ sous la forme d'un produit de formes linéaires. On pourra considérer $a^2+b^2-3ab$ comme un trin{\^o}me d'inconnue
$b$.

\vskip .3cm
\item En déduire qu'il existe une base $(\vect u,\vect v)$ de $P$ telle que{\,}:
\begin{itemize}
 \item les relations entre les coordonnées $(x,y)$ dans le repère $\ca R_0$ et les coordonnées $(X,Y)$ dans le repère
 $\ca R_1=(I,\vect u,\vect v)$ soient de la forme{\,}:
 $$\cases{\d X=\alpha \left(x+{1\over 5}\right)-\left(y-{1\over 5}\right)&\cr
 \noalign{\vskip 3mm}
 \d Y=\beta \left(x+{1\over 5}\right)+\left(y-{1\over 5}\right)&\cr}$$
 avec $\alpha+\beta>0${\,};
 \item l'équation de $\ca C$ dans le repère $(I,\vect u,\vect v)$ s'écrive{\,}: $5XY+1=0$.
\end{itemize}

Expliciter les valeurs de $\alpha$ et $\beta$, ainsi que les relations exprimant les anciennes coordonnées $(x,y)$ en fonction des
nouvelles coordonnées $(X,Y)$.

\vskip .3cm

\item Que sont les axes du nouveau repère $\ca R_1$ pour la conique $\ca C${\,}?
\end{enumerate}

\subsection*{III.2. Transformations affines conservant $\ca C$}

Nous étudions dans ce paragraphe l'ensemble $G_1$ des éléments de $GA(\ca P)$ qui conservent la conique $\ca C${\,}:
$$G_1=\{h\in GA(\ca P),\ h(\ca C)=\ca C\}.$$

\vskip .3cm

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'un élément $h$ de $GA(\ca P)$ est élément de $G_1$ si et seulement si $h(\ca C)\subset \ca C$.

\vskip .3cm
\item Montrer que $G_1$ est un sous-groupe de $GA(\ca P)$.

\vskip .3cm
\item Soit $h\in GA(\ca P)$. Montrer qu'il existe un et seul sextuplet $(a,b,c,d,e,f)$ de réels tel que, pour tout point $M(X,Y)_{\ca R_1}$,
l'image $M'=h(M)$ de $M$ par $h$ ait pour coordonnées, toujours dans le repère $\ca R_1$, $X'=aX+bY+c$ et $Y'=dX+eY+f$. Justifier que $ae-bd \not= 0$.

\vskip .3cm
\item Montrer que si $h$ est élément de $G_1$, le sextuplet $(a,b,c,d,e,f)$ qui lui est associé vérifie les relations{\,}:

\[\cases{ad=0&\cr
 \noalign{\vskip 3mm}
 af+cd=0&\cr
 \noalign{\vskip 3mm}
 5cf-ae-bd=-1&\cr
 \noalign{\vskip 3mm}
 bf+ce=0&\cr
 \noalign{\vskip 3mm}
 be=0&\cr
 \noalign{\vskip 3mm}
 ae-bd\not= 0&\cr}\]

\vskip .3cm
\item En déduire que $G_1$ est formé des transformations de la forme $M(X,Y)_{\ca R_1}\longmapsto M'(\mu X,Y/\mu)_{\ca R_1}$ et $M(X,Y)_{\ca R_1}\longmapsto
M'(\mu Y,X/\mu)_{\ca R_1}$ où $\mu$ décrit $\R\setminus\{0\}$. Parmi ces transformations, lesquelles sont des symétries{\,}?

\vskip .3cm

\item On note $G'_1$ la partie de $GL_2(\R)$ définie par{\,}:

\[A\in G'_1 \Longleftrightarrow \exists \mu\in \R^*,\ A=\pmatrix{\mu&0\cr 0&1/\mu\cr} \ {\rm ou}\ A=\pmatrix{0&\mu\cr 1/\mu&0\cr}.\]

Montrer que $G'_1$ est un sous-groupe de $GL_2(\R)$ pour le produit matriciel et que l'application qui à toute matrice
$\pmatrix{a&b\cr d&e\cr}$ de $G'_1$ associe la transformation affine $M(X,Y)_{\ca R_1}\longmapsto M'(aX+bY,dX+eY)_{\ca R_1}$ est un isomorphisme
de $G'_1$ sur $G_1$.
\end{enumerate}

\subsection*{III.3. Transformations affines conservant $\ca Z$}

Nous nous intéressons dans ce paragraphe à l'ensemble $G_2$ des éléments de $GA(\ca P)$ qui conservent les points à coordonnées entières{\,}:
$$G_2=\{h\in GA(\ca P),\ h(\ca Z)=\ca Z\}.$$

\vskip .3cm

a) Un élément quelconque $h \in GA(\ca P)$ vérifiant $h(\ca Z)\subset \ca Z$ est-il nécessairement élément de $G_2${\,}?

\vskip .3cm

b) Montrer que $G_2$ est un sous-groupe de $GA(\ca P)$.

\vskip .3cm

c) Montrer que les éléments de $G_2$ sont exactement les applications de la forme
$$M(x,y)_{\ca R_0}\longmapsto M'(ax+by+c,dx+ey+f)_{\ca R_0}$$
où $(a,b,c,d,e,f)\in \Z^6$ avec $|ae-bd|=1$.

\subsection*{III.4. Le groupe $\Gamma$}

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe deux points $P_1$ et $P_2$ tels que{\,}:
\begin{itemize}
\item $P_1\not= O$, $P_2\not= O$ et $P_1,P_2\in \ca S${\,};
\item $P_1$ est d'ordonnée nulle et $P_2$ est d'abscisse nulle.
\end{itemize}

Montrer qu'il existe deux transformations affines $f_1$ et $f_2$ telles que{\,}:
\begin{itemize}
\item $f_1(I)=I$, $f_1(O)=P_1$ et $f_1(P_1)=O${\,};
\item $f_2(I)=I$, $f_2(O)=P_2$ et $f_2(P_2)=O$.
\end{itemize}

Si $M$ est un point quelconque de $\ca P$, nous noterons respectivement $(x,y)$ et $(X,Y)$ les coordonnées de $M$ dans les repères $\ca R_0$ et $\ca R_1$. De m{\^e}me,
pour $i=1$ et $2$, nous noterons $(x_i,y_i)$ et $(X_i,Y_i)$ les coordonnées de $f_i(M)$ dans les repères $\ca R$ et $\ca R_1$.

Nous avons donc{\,}:

\begin{eqnarray*}
M(x,y)_{\ca R_0}&=&M(X,Y)_{\ca R_1}\\
f_1(M)(x_1,y_1)_{\ca R_0}&=&f_1(M)(X_1,Y_1)_{\ca R_1}\\
f_2(M)(x_2,y_2)_{\ca R_0}&=&f_2(M)(X_2,Y_2)_{\ca R_1}\\
\end{eqnarray*}

Exprimer $x_1$, $y_1$, $x_2$ et $y_2$ en fonction de $x$ et $y$ et démontrer les relations matricielles{\,}:

$$\pmatrix{X_1\cr Y_1 \cr}=\pmatrix{0&\lambda\cr
 \noalign{\vskip 3mm}
 \d{1\over \lambda}&0\cr}\pmatrix{X\cr Y \cr}\ {\rm et}\
\pmatrix{X_2\cr Y_2 \cr}=\pmatrix{0&1\cr
 \noalign{\vskip 3mm}
 1&0\cr}\pmatrix{X\cr Y \cr}.$$
où $\d \lambda ={7+3\sqrt{5}\over 2}$.

En déduire que $f_1$ et $f_2$ sont toutes deux des symétries appartenant à $G_1\cap G_2$.

\vskip .3cm

\item On s'intéresse maintenant au sous-groupe $\Gamma$ de $GA(\ca P)$ engendré par $f_1$ et $f_2$. Montrer que les éléments de $\Gamma$ sont les éléments $h$ de $GA(\ca P)$ qui s'écrivent sous l'une des formes suivantes{\,}:
\begin{itemize}
\item[(i)] $h=(f_1\circ f_2)^k$ avec $k\in \Z${\,};
\item[(ii)] $h=f_2\circ(f_1\circ f_2)^k$ avec $k\in \Z$.
\end{itemize}

\vskip .3cm
\item Montrer que $\Gamma$ est isomorphe au sous-groupe $\Gamma_1$ de $GL_2(\R)$ engendré par les matrices $A_1$ et $A_2${\,}:

\[A_1=\pmatrix{0&\lambda\cr
 \noalign{\vskip 3mm}
 \d {1\over \lambda}&0\cr}\qquad A_2=\pmatrix{0&1\cr
 \noalign{\vskip 3mm}
 1&0\cr}.\]
 
Calculer $A_1A_2$ et en déduire{\,}:
$$\Gamma_1=\left\{\pmatrix{\lambda^k&0\cr
                      \noalign{\vskip 3mm}
                      0&\lambda^{-k}\cr},\ k\in \Z\right\}\cup
            \left\{\pmatrix{0&\lambda^{-k}\cr
                      \noalign{\vskip 3mm}
                      \lambda^k&0\cr},\ k\in \Z\right\}.$$
En déduire que la décomposition obtenue au b) est unique, c'est-à-dire que chaque élément $h$ de $\Gamma$ correspond à un et un seul des deux cas
(i) ou (ii) et que l'entier relatif $k$ intervenant dans la décomposition de $h$ est unique.

\vskip .3cm

\item Soit $H$ un groupe dont la loi est notée mutiplicativement{\,}: l'élément neutre de $H$ sera donc noté $1$. On suppose qu'il existe
deux éléments $a_1$ et $a_2$ de $H$ tels que $a_1^2=a_2^2=1$. Montrer qu'il existe un unique morphisme de groupe $\phi{\,}: \Gamma \rightarrow H$ tel
que $\phi(f_1)=a_1$ et $\phi(f_2)=a_2$.
\end{enumerate}

\subsection*{III.5. Utilisation de $\Gamma$ pour engendrer une infinité de points de $\ca S$}

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\ca S$ est stable par $\Gamma$, c'est-à-dire que pour tout élément $h$ de $\Gamma$ et pour tout élément $M$ de $\ca S$, $h(M)$ est élément
de $\ca S$.

\vskip .3cm
Comme l'origine $O$ de $\ca R_0$ est élément de $\ca S$, on en déduit donc que les points $M_k$ et $N_k$ définis pour $k\in \Z$ par{\,}:
$$\cases{M_k=(f_1\circ f_2)^k(O)&\cr
         \noalign{\vskip 3mm}
         N_k=(f_2\circ(f_1\circ f_2)^k)(O)=f_2(M_k)&\cr}$$
sont tous éléments de $\ca S$. Calculer $M_1$, $M_2$ et $M_3$ et comparer avec les résultats obtenus à la partie II.

\vskip .3cm
\item Donner l'expression des coordonnées $(x_k,y_k)$ de $M_k$ dans le repère $\ca R_0$, en fonction de $k$ et $\lambda$. Quelle transformation
permet-elle d'obtenir $M_{-k}$ à partir de $M_k${\,}?

\vskip .3cm
\item Montrer que les applications{\,}:
$$\cases{\phi_1{\,}:\\ x\longmapsto \d{1\over 2}\left(1+3x-\sqrt{1+2x+5x^2}\right)&\cr
 \noalign{\vskip 3mm}
 \phi_2{\,}:\\ x\longmapsto \d{1\over 2}\left(1+3x+\sqrt{1+2x+5x^2}\right)&\cr}$$
sont des bijections de $\R$ sur lui-m{\^e}me. Quelles sont leurs applications réciproques{\,}?

\vskip .3cm
On note $\ca C_1$ et $\ca C_2$ les parties de $\ca P$ définies par{\,}:

\[\cases{M(x,y)_{\ca R_0} \in \ca C_1 \Longleftrightarrow \d y=\phi_1(x)&,\cr
 \noalign{\vskip 3mm}
 M(x,y)_{\ca R_0} \in \ca C_2 \Longleftrightarrow \d y=\phi_2(x)&.\cr}\]

Montrer que $\ca C_1$ et $\ca C_2$ forment une partition de $\ca C$. Représenter rapidement les parties $\ca C_1$ et $\ca C_2$ ainsi que les points
$M_{-1}$, $M_0$, $M_1$, $M_2$, $N_{-1}$, $N_0$ et $N_1$.

\vskip .3cm

\item Montrer que les applications $f_1$ et $f_2$ échangent les courbes
$\ca C_1$ et $\ca C_2$, et donc que $\ca C_1$ et $\ca C_2$ sont globalement
invariantes par $f_1\circ f_2$. Sur quelles parties de $\ca C$ les points $M_k$ et $N_k$ sont-ils situés{\,}?
\end{enumerate}

\section*{Partie IV{\,}: résolution de $(\Sigma)$.}

Soit $P(n,p)_{\ca R_0}$ un point de $\ca S$ distinct de $O$. Le but de cette partie partie est de démontrer que $P$ est image de $O$ par un élément $h$ de $\Gamma$,
c'est-à-dire qu'il existe $k\in \Z$ tel que $P=M_k$ ou $P=N_k$.

\subsection*{IV.1. Premier cas{\,}: $P$ est élément de $\ca C_1$ et $n>0$}

Soit la suite $(P_i)_{i\geqslant 0}$ définie par récurrence{\,}:

\[\cases{P_0=P&\cr
 \noalign{\vskip 3mm}
 P_{i+1}=(f_1\circ f_2)^{-1}(P_i)&pour tout $i\geqslant 0$\cr}.\]

Pour tout $i$, on notera $\alpha_i$ et $\beta_i$ les coordonnées de $P_i$ dans le repère $\ca R_0$.

\vskip .2cm

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'on a, pour tout $i$ de $\N$, $\d\alpha_{i+1}=\phi_2^{-1}\circ \phi_1(\alpha_i)\ {\rm et}\ \beta_i=\phi_1(\alpha_i)$.

\vskip .2cm
\item Montrer que la suite $(\alpha_i)_{i\geqslant 0}$ est strictement décroissante et non minorée. En déduire qu'il existe un entier $k\geqslant 1$ tel que
$\alpha_{k}\leqslant 0 < \alpha_{k-1}$.

\vskip .2cm
\item Montrer que $\alpha_{k}=0$ puis que $P=M_{k}$.

\vskip .2cm
\item Quel est l'ensemble des solutions de l'équation $(\Sigma_1)${\,}?
\end{enumerate}

\subsection*{IV.2. Deuxième cas{\,}: $P$ est élément de $\ca C_1$ et $n<0$}

\begin{enumerate}
\item Montrer que le point $P'(-p,-n)_{\ca R_0}$ est élément de $\ca C_1$.

\vskip 3mm
\item En déduire qu'il existe un entier relatif $k$ strictement négatif tel que $P=M_{k}$.

\subsection*{IV.3. Troisième cas{\,}: $P$ est élément de $\ca C_2$}
Montrer qu'il existe $k$ élément de $\Z$ tel que $P=N_k$.
\end{enumerate}
\end{document}
