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\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\def\R{\mathbb R}
\def\C{\mathbb C}
\def\CM{\mathcal C\mathcal M(I,\C)}
\def\CI{\mathcal C^\infty}
\def\KI{\mathcal K(I)}
\def\N{\mathbb N}
\def\Z{\mathbb Z}
\def\E{\mathcal E}
\def\M{\mathcal M}
\def\CP{{\mathcal C\mathcal M}_{2\pi}}
\def\Un{${(u_n)}_{n \in \N}$}
\def\n{\Vert\hspace{-.1em}\vert}
\def\egi{\underset{n\to +\infty}{=}}
\def\eqi{\underset{n\to +\infty}{\sim}}
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\begin{document}
\noindent
\section{Présentation du jeu.}
\subsection{Les règles du jeu.}

Le \og tournoi \fg{} est un jeu comportant une suite de
manches (appelées \og duels \fg) opposant deux joueurs, jamais plus. Les joueurs vont entrer en jeu successivement, tant qu'aucun d'entre eux n'aura été déclaré
vainqueur, et forment ainsi une suite ($J_0, J_1, \ldots$)
aussi longue qu'il faudra, ce qui nous conduit à considérer une suite infinie de joueurs notée ${(J_n)}_{n\in \N}$.

Le premier duel oppose $J_0$ et $J_1$, le vainqueur reste en jeu et se
voit opposer $J_2$ qui entre pour le deuxième duel. Plus
généralement, le $n$-ième duel ($n \geqslant 2$) oppose le joueur $J_n$, qui entre
alors en jeu, au vainqueur du duel précédent, le perdant quittant
le jeu.

On convient enfin
que le premier joueur qui remporte $N$ duels, nécessairement
consécutifs, est déclaré vainqueur et que le jeu prend fin. $N$ est un
entier fixé à l'avance, au moins égal à 2, et valable pour tout le
déroulement du tournoi.

Le but de ce problème est de rendre compte de ce type de jeu en
en proposant diverses modélisations probabilistes. On
s'intéressera ainsi plus particulièrement à la durée du jeu,
c'est-à-dire au nombre de duels ayant eu lieu avant la
proclamation du vainqueur.

\subsection{Les règles communes aux différentes modélisations aléatoires.}

La succession des duels en parfaitement décrite si on connait, pour chacun, les numéros des participants etle numéro du gagnant, cela tant que le jeu continue, c'est-à-dire tant qu'aucun des joueurs n'a été déclaré vainqueur. On supposera que chaque duel est un jeu de hasard, on considèrera ainsi le $n$-ième duel  comme un épreuve aléatoire $\mathcal E_n$, dont on observera les résultats possibles.

On présupposera, sans chercher à l'expliciter, l'existence d'un espace de probabilité $(\Omega, \mathcal A, P)$ permettant de modéliser le jeu et on s'attachera à décrire l'univers des possibles, c'est à dire les issues des différentes épreuves, ainsi que la manière dont on affecte des probabilités aux résultats observés. Les modèles proposés devront respecter les règles suivantes :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le premier duel : la probabilité que le résultat de $\E_1$ soit 1 ($J_1$ est le gagnant du premier duel) est $p$, où $p$ est un élément de $]0~;~1[$ fixé dans tout le problème, le résultat étant 0 avec la probabilité $(1-p)$.
\item Les duels successifs : \begin{enumerate}
\item Pour $n\geqslant 2$, l'épreuve $\mathcal E_n$, si elle a lieu, ne depend de celles qui l'on précédées que par le numéro du joueur opposé à $J_n$ (celui qui a remporté le duel précédent).
\item  La probabilité pour $J_n$ de remporter ce duel (le résultat est $n$) est égale à $p_n$, où ${(p_k)}_{k\geqslant 2}$ est une suite d'éléments de $]0~;~1[$, le joueur qui lui est opposé étant vainqueur avec une probabilité $1-p_n$.\end{enumerate}\end{enumerate}
On admettra par ailleurs que, pour toute suite ${(\mathcal A_n)}_{n\in\N}$ d'évènements disjoints et dont la réunion est de probabilité 1, il existe une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N$ vérifiant :

\[\forall n \in \N,\quad P[X=n]=P(\mathcal A_n)\]
\end{enumerate}

\section{Préliminaires.}

On se propose ici de démontrer divers résultats qui pourront être
utilisés dans la suite du problème.

\subsection{Résultat 1.}

${(x_n)}_{n\in \N}$ et ${(y_n)}_{n\in \N}$ sont deux suites à
termes positifs vérifiant :

\[x_n\eqi y_n\]

\begin{enumerate}
\item Justifier, pour tout $\varepsilon$ strictement positif,
l'existence d'un entier naturel non nul $n_0$ tel que pour tout $n$
supérieur ou égal à $n_0$ on ait :

\[\left\vert \sum_{k=0}^n x_k -\sum_{k=0}^n y_k\right\vert\leqslant 
\left\vert\sum_{k=0}^{n_0-1} (x_k -y_k)\right\vert +\varepsilon\sum_{k=n_0}^n x_k\]

\item En déduire que, si la série de terme général $x_n$ est
divergente, on a :

\[\sum_{k=0}^n x_k\eqi \sum_{k=0}^n y_k\]
\end{enumerate}

\subsection{Résultat 2.}

\begin{enumerate}
\item ${(u_n)}_{n\in \N}$  est une suite à termes positifs telle que la série de
terme général $u_n$ soit convergente.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer qu'on définit une suite de réels par la relation :
$$\forall n \in \N, v_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k$$
Quelle est la nature de cette suite ?\\
		\item Justifier pour tout entier naturel $n$ non nul :
$$\sum_{k=1}^n k u_k=\sum_{k=0}^{n-1} v_k - n v_n$$
		\item Montrer que si la série de terme général $v_n$ est
convergente, alors la série de terme général $n u_n$ est
convergente.
		\item Montrer que si la série de terme général $nu_n$ est
convergente alors la suite de terme général $nv_n$ converge vers
0.

\textit{Indication :} On pourra éventuellement, après l'avoir justifiée, utiliser
la relation :

\[\forall n \in \N^*, v_{n-1}=\sum_{k\geqslant n} (v_{k-1}-v_k)\]

pour majorer l'expression $nv_{n-1}$, lorsque $n$ est un entier naturel non nul.\\
		\item En déduire que les séries de termes généraux respectifs $n
u_n$ et $v_n$ sont simultanément convergentes et de même somme.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, $X$ désigne une variable aléatoire définie sur un espace de probabilité $(\Omega, \mathcal A, P)$ prenant ses valeurs dans $\N$. Déduire de ce qui précède qu'elle admet une espérance si et
seulement si la série de terme général $P[X>n]$ est convergente
et qu'on a alors l'égalité :

\[E[X]=\sum_{n=0}^{+\infty} P[X>n]\]

\end{enumerate}

\subsection{Résultat 3.}

${(a_n)}_{n\in \N}$ est une suite à termes positifs telle que la
série entière $\sum a_n x^n$ admette un rayon de convergence $R$
strictement positif. On note :

\[\forall x \in ]-R,R[,\quad  f(x)=\sum_{n\geqslant 0} a_n x^n\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f(x)$ admet une limite finie lorsque $x$ tend
vers $R$ sur $[0,R[$ si et seulement si $f$ est majorée sur $[0,R[$.
\end{enumerate}
On suppose dans la suite de cette partie que l'une de ces
conditions équivalentes est réalisée et on note $L$ la limite.

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $n$ entier naturel :
$$\sum_{k=0}^n a_k R^k\leqslant L$$
		\item En déduire que la série de terme général $a_n R^n$ est
convergente.\\
		\item Montrer que la série entière est normalement convergente sur
$[-R,R]$. En déduire que :

\[\sum_{n\geqslant 0} a_n R^n= \lim_{x \to R^-} f(x)\]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Première modélisation : le  cas particulier $N=2$.}

Dans cette section on observe la suite des numéros des différents vainqueurs successifs. L'univers des possibles est alors l'ensemble des listes (éventuellement infinies) représentant les numéros des joueurs vainqueurs aux différents combats. Ainsi : $(0,2,3,3)$ représentera un jeu de 4 combats remportés successivement par $J_0$, $J_2$, $J_3$ et
$J_3$ qui est alors déclaré gagnant du tournoi, ce qui met fin à celui-ci.

On note $D_n$, pour $n$ au moins égal à 2, l'évènement : $\og$
le jeu s'arrête à l'issue du $n$-ième duel$\fg$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Expliciter $D_2$ à l'aide de la modélisation proposée.\\
1.
		\item Plus généralement, expliciter $D_{n+1}$ lorsque $n$ est un entier
au moins égal à 2.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question on suppose que, pour tout $n \geqslant 2$, $p_n$
est égal à $p$.\\
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(D_n)$ pour $n$ supérieur ou égal à 2. Vérifier que
$\bigcup_{n\geqslant 2}D_n$ est un évènement de
probabilité 1. Interpréter ce résultat.
		\item On peut alors considérer une variable aléatoire
$T$ égale au nombre de duels qui ont effectivement eu lieu
lorsque le jeu s'arrête. Calculer, après avoir justifié leurs existences,
son espérance et sa variance.
	\end{enumerate}
\item On revient au cas général où, pour tout $i$ au moins égal à 2,
$p_i$ est un réel élément de $]0,1[$. On pose pour tout $n$ au
moins égal à 2 :

\[\beta_n=\prod_{i=2}^n p_i\]

Exprimer, pour $n$ au moins égal à 2, $\displaystyle\sum_{k=2}^n P(D_k)$ en fonction
de la suite ${(\beta_k)}_{k\geqslant 2}$. En déduire que $\bigcup_{n\geqslant 2}D_n$ est un évènement de
probabilité 1 si et seulement si $\beta_n$ tend vers 0 lorsque
$n$ tend vers l'infini.\\
Lorsque cette condition est vérifiée on définira $T$ comme à la question
2.b. et on posera, pour $n\geqslant 2$ :

\[u_n=\beta_n-\beta_{n+1}\]

Jusqu'à la fin de cette section 3. on suppose qu'il existe un réel $\alpha$ strictement
positif tel que, pour tout $i$ au moins égal à 2, l'égalité suivante soit vérifiée :

\[p_i=1-\dfrac{1}{i^\alpha}\]

\item Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\alpha$ pour que $\bigcup_{n\geqslant 2}D_n$ soit un évènement de probabilité 1.

\textit{Indication : } on pourra s'intéresser à la suite de terme
général $-\ln(\beta_n)$.
\item Dans cette question, $\alpha$ est égal à 1. Donner une loi de
$T$. $T$ admet-elle une espérance ?
\item Dans cette question on suppose  : $0< \alpha < 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier l'équivalence lorsque $n$ tend vers l'infini :
		
\[\sum_{k=2}^n(-\ln(p_k))\sim \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k^\alpha}\]

		\item Après avoir justifié pour tout entier $k$ au moins égal à 2
l'inégalité :

\[\dfrac{1}{k^\alpha}\leqslant \int_{k-1}^k\dfrac{1}{x^\alpha}dx\leqslant \dfrac{1}{{(k-1)}^\alpha}\]

démontrer l'équivalence lorsque $n$ tend vers l'infini :

\[\sum_{k=2}^n\dfrac{1}{k^\alpha}\sim\dfrac{n^{1-\alpha}}{1-\alpha}\]

		\item En déduire que, pour tout $c$ réel strictement positif, la
suite de terme général $\ln(n^c u_n)$ tend vers $-\infty$ puis
que la série de terme général $nu_n$ est convergente.

Que peut-on en conclure pour l'espérance de $T$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Deuxième modélisation : le cas où les probabilités sont constantes.}

Dans cette section et jusqu'à la fin du problème $N$ est un
entier supérieur ou égal à 3 et on suppose,
pour tout $n$ supérieur ou égal à 2 : $p_n=p$. On notera : $q=1-p$.

Pour tout $n$ entier naturel, on note
$A_n$ l'évènement $\ll$le joueur $J_n$ participe à au moins un
duel$\gg$ et $G_n$ l'évènement $\ll$ le joueur $J_n$ est
vainqueur du tournoi$\gg$.

\subsection{Cas particulier : $N=3$ et $p=1/2$.}


\begin{enumerate}
\item Montrer que :

\[\forall n \in \N, P(G_n)=\dfrac{1}{8}P(A_n)\]

\item Montrer que les évènements $A_0$, $A_1$, $A_2$ et $A_3$ sont
des évènements certains.\\
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dans cette question, $n$ est un entier supérieur ou égal à 4. On introduit les évènements $A_{n,k}$ \og le $n$-ième duel a
lieu et oppose $J_n$ et $J_{n-k}$ \fg.

Montrer que la probabilité de $A_{n,k}$ est nulle si $k$ est différent de 1 ou de 2.

En déduire alors pour $n\geqslant 4$ :

\[P(A_n)= \dfrac{1}{2}P(A_{n-1}) + \dfrac{1}{4}P(A_{n-2})\]

		\item On désigne par $r_1$ et $r_2$ ($r_1<r_2$) les deux racines de l'équation :

\[r^2-\dfrac{1}{2}r-\dfrac{1}{4}\]

Vérifier que, pour $n\geqslant 2$, on a :

\[P(A_n)=\dfrac{4}{\sqrt{5}}\left[r_2^n -r_1^n \right]\]

		\item En déduire que la probabilité que le jeu s'arrête est égale
à 1. On pourra alors considérer une variable aléatoire
$T$ égale au nombre de duels qui ont effectivement eu lieu lorsque le jeu s'arrête.

Calculer : $P[T=3]$.

Montrer que, pour $n\geqslant 4$ :

\[P[T=n]=P[G_{n-2}]\]

En déduire une expression de $P[T=n]$ pour $n\geqslant 4$ puis l'espérance de
$T$.

\textit{Indication :} Pour 4.1.3.b. et 4.1.3.c. il pourra être intéressant de mener
formellement dans un premier temps les calculs en fonction de
$r_1$ et de $r_2$ et d'utiliser ensuite leur somme et leur produit.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{Etude du cas général.}

On revient au cas général :

$N\geqslant 3$ et $p$ est élément de $]0, 1[$. On
posera de plus, pour tout $n$ entier naturel :

\[a_n=P(A_n)\text{ et } g_n = P(G_n)\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g_0$. Que vaut $a_k$ pour $0\leqslant k\leqslant N$ ?\\
		\item Montrer que la série de terme général $g_n$ est convergente.\\ 
		\item Justifier, pour tout $n$ non nul, la relation :

\[g_n=p{(1-p)}^{N-1} a_n\]

En déduire que la série de terme général $a_n$ est convergente.
On posera :

\[S=\sum_{n\geqslant 1}a_n\]
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En considérant à nouveau les évènements $A_{n,k}$ définis dans
la partie précédente, justifier, pour $n$ strictement supérieur à
$N$, la relation :

\[a_n=\sum_{k=1}^{N-1} p{(1-p)}^{k-1} a_{n-k}\]

Exprimer $a_{N+1}$ en fonction de $p$ et de $N$.\\
		\item En sommant les égalités précédentes, montrer l'égalité :

\[{(1-p)}^{N-1} S=\sum_{n=1}^N a_n-\sum_{k=1}^{N-1}\sum_{i=k}^{N-1} p{(1-p)}^{k-1} a_{N-i}\]

En utilisant une interversion d'indice dans la somme double, puis
la question 1.a. calculer $S$.

En déduire la somme de la série de terme général $g_n$, puis que
la probabilité que le jeu se termine est égale à 1.
	\end{enumerate}
\item On notera $T$ une variable aléatoire égale au nombre de duels ayant eu
lieu jusqu'à l'arrêt du jeu. 

	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $a_n$ et $g_n$ en fonction
de $T$.\\ 
		\item En utilisant le résultat 2 des préliminaires montrer que $T$
admet une espérance  et donner l'expression de $E[T]$ en fonction de $p$ et de $N$.
Retrouver le résultat relatif à $E[T]$ de la question  4.1.3.c.\\
La formule obtenue vaut aussi pour $N=2$ ; retrouver ainsi le résultat de la question 3.2.b.\\
Déterminer l'espérance de $T$ pour $N$ quelconque et $p=1/2$.\\
		\item Démontrer, pour $n\geqslant N+1$ :

\[\text{ ($\mathcal R$)   }a_n-a_{n+1}=p{(1-p)}^{N-1}a_{n-N+1}\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Comportement asymptotique de la loi de $T$.}

\subsection{Un lemme.}

Démontrer que, pour tout entier naturel $r$ non nul et toute famille
$(z_1,\ldots,z_r)$ de complexes non nuls, l'égalité :

\[\left \vert \sum_{k=1}^r z_k \right \vert= \sum_{k=1}^r \vert z_k
\vert\]

n'est réalisée que lorsque :

\[\forall k \in \N, (2\leqslant k \leqslant r)\Rightarrow (\exists
\lambda_k \in ]0,+\infty[, z_k=\lambda_k z_1)\]

\subsection{Etude d'une fonction associée à $T$.}

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'on peut définir une fonction $Q$ par :

\[\forall x \in [-1~;~1], Q(x)=\sum_{n\geqslant 0}P[T>n] x^n\]

Vérifier qu'elle est continue sur $[-1,1]$ et dérivable sur
$]-1,1[$.
\item En utilisant la relation $(\mathcal R)$ et en s'inspirant des
techniques de calcul mises en oeuvre à la question 2.b. de la
section 4.2, démontrer, pour tout $x$ de $[-1~;~1]$, la formule :

\[\left(1 - x+\dfrac{p}{1-p}{{(x(1 - p))}^N}\right) Q(x)=1-{(x(1-p))}^N\]

\item Vérifier que les deux polynômes :

\[1-X+\dfrac{p}{1-p}{(X(1 - p))}^N \text{ et } 1-{(X(1 - p))}^N\]

admettent dans $\C$ une seule racine commune et que celle-ci est simple et réelle. En déduire la relation :
\[Q(x)=1-\dfrac{1}{p} -\dfrac{1}{pB(x)}\text{ avec } B(x)=\sum_{k=1}^{N-1} p{(1-p)}^{k-1}x^{k}-1\]

\end{enumerate}

\subsection{Etude des racines de $B$.}

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $B$ sur $\R^+$. Calculer $B(1)$. En
déduire que $B$ admet une unique racine réelle positive $\rho_N$
élément de $]1,+\infty[$ et que cette racine est simple.\\
\item En utilisant le lemme, montrer que les racines
complexes de $B$ sont de module strictement supérieur à
$\rho_N$.
\item D'après ce qui précède, les pôles de $Q$ sont en particulier de module
strictement supérieur à 1. Aurait-on pu prévoir directement ce
résultat ?
\end{enumerate}

\subsection{Recherche d'équivalent.}

On note $\{z_1,\ldots, z_m\}$ les racines de $B$ dans $\C$ de
multiplicités respectives $\nu_k$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier l'existence d'une famille de complexes non nuls telle que, pour tout complexe $z$ de module inférieur
ou égal à 1 on ait :
$$\dfrac{1}{B(z)}=\sum_{k=1}^m \sum_{s=1}^{\nu_k}\dfrac{\lambda_{k,s}}{{(z-z_k)}^s}$$ 
\item Dans cette question $s$ et $k$ sont fixés et $z$ désigne un
complexe de module inférieur ou égal à 1.\\
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier l'égalité :
$$\dfrac{1}{{(z_k-z)}^s}=\sum_{n\geqslant 0} C_{n+s-1}^{s-1}
\dfrac{z^n}{z_k^{n+s}}$$
		\item En déduire, pour tout k, l'existence d'un polynôme $P_k$ de
degré inférieur ou égal à $\nu_k-1$ tel que :
$$\sum_{s=1}^{\nu_k}\dfrac{\lambda_{k, s}}{{(z-z_k)}^s}=\sum_{n\geqslant 
 0} \left(\dfrac{P_k(n)}{z_k^{n}}\right) z^n$$
		\item En déduire une expression de $a_{n+1}$ pour $n\geqslant 1$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer, à l'aide des questions précédentes, l'existence d'un
réel $K$ tel qu'on ait :

\[a_{n+1}\eqi \dfrac{K}{{\rho_N}^{n}}\]

		\item Donner une expression de $K$ en fonction de $p$, $B$ et
$\rho_N$. En déduire un équivalent à l'infini de $P[T = n]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
