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%Sujet aimablement fourni par Marc Incamps
%Tapuscrit : Denis Vergès
% Re lecture : François Hache
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{26 juin 2025}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Polynésie 26 juin 2025~\decofourright}}

\bigskip

\textbf{Durée : 2 heures} 

\medskip

\end{center}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\textbf{}}X|}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Indications portant sur l'ensemble du sujet}}\\
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.\\
Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche; elle sera prise en compte dans la notation.\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{\large{}Exercice 1 \hfill 20 points}

\medskip

L'association sportive d'un collège propose aux élèves une activité escalade.
La feuille de calcul ci-dessous obtenue à l'aide d'un tableur indique la répartition par âge des élèves inscrits à l'escalade.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\cellcolor{gray!20}}c|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rowcolor[gray]{0.9}&A&B&C&D&E&F&G&H\\ \hline
1&Âge&10&11&12&13&14&15& Total\\ \hline
2& Effectif& 1& 3& 8& 12& 4& 2& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le nombre d'élèves âgés de 12 ans inscrits à l'escalade?
\item Calculer le nombre total d'élèves inscrits à l'escalade.
\item Quelle formule peut-on saisir dans la cellule H2 pour obtenir le nombre total d'élèves inscrits à l'escalade ?
\item Le professeur affirme : \og $\dfrac 15$ des élèves inscrits à l'escalade ont 14 ans ou plus \fg.

A-t-il raison ?

\item L'année dernière, la moyenne des âges des élèves inscrits à l'escalade était de 13 ans.

La moyenne des âges des élèves inscrits à l'escalade cette année a-t-elle augmenté par rapport à l'année dernière ?
\item L'association prévoit une hausse de 10\,\% des inscriptions à l'escalade l'année prochaine.

Déterminer le nombre d'élèves qui seront inscrits à l'escalade l'année prochaine.
\end{enumerate}

%\bigskip
\newpage

\textbf{\large{}Exercice 2 \hfill 22 points}

\medskip

Le jardin botanique d'une ville peut être représenté par le quadrilatère ABCD ci-dessous.

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8.8,5.6)
%\psgrid
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linewidth=0pt](0.3,5)(2.9,5)(2.25,3.87)(0.3,5)%%ABE
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linewidth=0pt](8.4,0.3)(0.3,0.3)(2.25,3.87)(8.4,0.3)%%% CDE
\pspolygon(0.3,5)(2.9,5)(8.4,0.3)(0.3,0.3)%ABCD
\psline[linewidth=1.75pt,linestyle=dotted](0.3,0.3)(2.9,5)
\psline[linewidth=1.75pt,linestyle=dotted](0.3,5)(8.4,0.3)
\psframe(0.3,5)(0.5,4.8)\psframe(0.3,0.3)(0.5,0.5)
\rput{-28}(2.25,3.87){\psframe(0.2,0.2)}
\uput[ul](0.3,5){A} \uput[ur](2.9,5){B} \uput[dr](8.4,0.3){C} \uput[dl](0.3,0.3){D}
\uput{10pt}[190](2.25,3.87){E}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
On sait que :
\smallskip

$\bullet~$ AB $= 500$ m, BE $= 250$ m et DE $= 750$ m ;

\smallskip

$\bullet~$ les segments [AC] et [BD] se coupent au point E.

\smallskip

\emph{La figure ci-contre n'est pas à l'échelle.}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item Quelle est la longueur du segment [DB] ?
\item En raisonnant dans le triangle rectangle ABD, montrer que la longueur du segment [AD],
arrondie au mètre, est égale à environ $866$~m.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le sinus de l'angle $\widehat{\text{EAB}}$.
		\item En déduire la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{EAB}}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les droites (AB) et (DC) sont parallèles.
		\item Montrer que la longueur du segment [CD] est égale à \np{1500}~m.
	\end{enumerate}
\item Un piéton fait le tour du jardin botanique en marchant à la vitesse moyenne de 1,1~m/s.

Il lit sur son plan que la longueur du segment [BC] est environ égale à \np{1323}~m.

Le temps mis par le piéton pour faire le tour du jardin botanique est-il inférieur à une heure?

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\large{}Exercice 3 \hfill 20 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).

Pour chaque question, quatre réponses sont proposées. \textbf{Une seule réponse est exacte}.

Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Questions&Réponse A& Réponse B& Réponse C& Réponse D\\ \hline
\textbf{1.} $(- 3)^2$ est égal à&$-9$& $-6$ &6& 9\\ \hline
\textbf{2.} La décomposition en produit de facteurs premiers du nombre 360 est&$2^3 \times 9 \times 5$&$8 \times 3^2 \times 5$&$2^3 \times 3^2 \times 7$&$2^3 \times 3^2 \times 5$\\ \hline
\textbf{3.} Un rectangle d'aire $135$ cm$^2$ a pour largeur 3 cm. Combien mesure sa longueur ?&15 cm&45 cm&132 cm&405 cm\\ \hline
\textbf{4.} Quelle expression littérale correspond à la longueur du segment [BG] ?

\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(4.8,1.4)
%\psgrid
\psline(0,0.7)(4.7,0.7)\psline(0.1,0.6)(0.1,0.8)\psline(1.3,0.6)(1.3,0.8)
\psline(2.4,0.6)(2.4,0.8)\psline(4.6,0.6)(4.6,0.8)
\psline(0.5,0.6)(0.7,0.8)\psline(1.75,0.6)(1.95,0.8)
\psline{<->}(0.1,0.5)(1.3,0.5)\psline{<->}(2.4,0.5)(4.6,0.5)
\uput[u](0.1,0.7){B}\uput[u](1.3,0.7){D}\uput[u](2.4,0.7){E}\uput[u](4.6,0.7){G}
\uput[d](0.7,0.5){$x$}\uput[d](3.5,0.5){3}
\end{pspicture}&$3x^2$&$2x^2 + 3$&$5x$&$2x + 3$\\ \hline
\textbf{5.} Le rectangle ADCB est partagé en neuf rectangles identiques.

\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(4.7,2.9)
%\psgrid
\psframe(0.3,0.3)(4.5,2.4)\psline(0.3,1)(4.5,1)\psline(0.3,1.7)(4.5,1.7)
\psline(1.7,0.3)(1.7,2.4)\psline(3.1,0.3)(3.1,2.4)
\uput[ul](0.3,2.4){\footnotesize A}\uput[u](1.7,2.4){\footnotesize G}\uput[u](3.1,2.4){\footnotesize I}\uput[ur](4.5,2.4){\footnotesize D}
\uput[l](0.3,1.7){\footnotesize E}\uput[ur](1.7,1.7){\footnotesize F}\uput[ur](3.1,1.7){\footnotesize H}\uput[r](4.5,1.7){\footnotesize J}
\uput[l](0.3,1){\footnotesize K}\uput[ur](1.7,1){\footnotesize L}\uput[ur](3.1,1){\footnotesize M}\uput[r](4.5,1){\footnotesize N}
\uput[dl](0.3,0.3){\footnotesize B}\uput[d](1.7,0.3){\footnotesize O}\uput[d](3.1,0.3){\footnotesize P}\uput[dr](4.5,0.3){\footnotesize C}
\end{pspicture}

L'image du rectangle GFHI par la translation qui transforme D en M est le rectangle&EKLF&
HMNJ&KBOL&MPCN\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\newpage

\textbf{\large{}Exercice 4 \hfill 20 points}

\medskip

On considère le programme de calcul suivant.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-6.5,0)(6.5,6)
%\psgrid
\psframe(-2.4,5.3)(2.4,6)\rput(0,5.65){Nombre choisi au départ}
\psline{->}(0,5.3)(-2.1,4.5)\psline{->}(0,5.3)(2.1,4.5)
\psframe(-2.1,4.5)(-6.5,3.8)\rput(-4.3,4.15){Ajouter 4}
\psframe(2.1,4.5)(6.5,3.8)\rput(4.3,4.15){Soustraire 2}
\psline{->}(-2.1,3.8)(0,3.3)\psline{->}(2.1,3.8)(0,3.3)
\psframe(-3.6,2.6)(3.6,3.3)\rput(0,2.95){Multiplier les deux résultats}
\psline{->}(0,2.6)(0,2)
\psframe(-3.6,1.3)(3.6,2)\rput(0,1.65){Soustraire le carré du nombre de départ}
\psline{->}(0,1.3)(0,0.8)
\psframe(-3.6,0)(3.6,0.8)\rput(0,0.4){Résultat final}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Montrer que si on choisit 5 comme nombre de départ, le résultat du programme est 2. 
\item On choisit $x$ comme nombre de départ.
	\begin{enumerate}
		\item Parmi les expressions suivantes, quelle est celle qui permet d'exprimer le résultat de ce programme de calcul en fonction de $x$ ? Aucune justification n'est attendue.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Expression A &Expression B& Expression C& Expression D\\ \hline
$x + 4 \times x - 2- x^2$& $x + 4 \times x - 2 - 2x$ &$(x + 4) \times (x - 2) - x^2$& $(x + 4) \times (x - 2) - 2x$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item  Montrer que le résultat du programme de calcul peut s'écrire sous la forme $2x - 8$.
	\end{enumerate}
\item On appelle $f$ la fonction définie par $f(x) = 2x - 8$.

Voici trois représentations graphiques:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Représentation \no 1& Représentation \no 2& Représentation \no 3\\ \hline
\psset{unit=0.3cm,,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-4.2,-9)(7,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4.2,-9)(7,8)
\multido{\n=-4+2}{6}{\psline[linewidth=0.2pt]( \n,-9)(\n,8)}
\multido{\n=-8+2}{9}{\psline[linewidth=0.2pt](-4,\n)(6.4,\n)}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-4}{6}{x 0.5 sub dup mul 8 sub}
\end{pspicture*}
&\psset{unit=0.3cm,,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-8,-11)(3,4.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-8,-11)(3,4.5)
\multido{\n=-8+2}{7}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-10)(\n,4)}
\multido{\n=-10+2}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](-8,\n)(3,\n)}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-8}{2}{2 neg x mul 8 sub}
\end{pspicture*}
&\psset{unit=0.3cm,,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-3,-11)(8,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-3,-11)(8,5)
\multido{\n=-2+2}{5}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-10)(\n,8)}
\multido{\n=-10+2}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](-3,\n)(7,\n)}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-3}{6}{2 x mul 8 sub}
\end{pspicture*}
\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item La représentation graphique de la fonction $f$ est la représentation \no 3. Expliquer pourquoi les représentations \no 1 et \no 2 ne conviennent pas.
		\item Déterminer l'image de 4 par la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item Quel nombre de départ faut-il choisir pour que le résultat du programme de calcul soit égal à
100 ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large{Exercice 5 \hfill 18 points}}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{minipage}{0.75\linewidth}
Tom a acheté un dé équilibré à 12 faces numérotées de 1 à 12.

Il lance ce dé et s'intéresse au résultat qui apparaît sur la face du dessus.

Sur la photo ci-contre de ce dé, le résultat obtenu est 3.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.21\linewidth}
%\includegraphics[width=2cm]{de12}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,scale=0.1]
	\coordinate (1) at (10.075,11.133);
	\coordinate (2) at (5.822,13.625);
	\coordinate (3) at (8.447, 15.762);
	\coordinate (4) at (13.785, 14.843);
	\coordinate (5) at (15.125, 11.997);
	\coordinate (6) at (17.019, 6.958);
	\coordinate (7) at (13.275, 2.893);
	\coordinate (8) at (8.812, 5.385);
	\coordinate (9) at (2.55, 9.688);
	\coordinate (10) at (4.249, 4.614);
	\coordinate (11) at (6.027, 2.029);
	\coordinate (12) at (11.282, 1.09);
	\fill[gray!20]%face 3
	(1) -- (2) -- (3) -- (4) -- (5) -- cycle;
	\path[draw=black,line width=0.5mm]
	(9.178, 13.819).. controls (9.213, 14.428) and (10.238, 14.714) ..
	(10.6, 14.359).. controls (10.926, 14.038) and (10.529, 13.831) ..
	(10.308, 13.629).. controls (10.712, 13.801) and (11.738, 14.181) ..
	(11.748, 13.4).. controls (11.754, 12.984) and (10.864, 12.481) ..
		(10.159, 12.855);

	\fill[gray!40]%face 12
	(1) -- (5) -- (6) -- (7) -- (8) -- cycle;
	\draw[line width=0.6mm] %1 du 12
	(11.21, 9.516) -- (12.306, 10.007) -- (10.425, 6.59);
	\draw[line width=0.6mm] %2 du 12
	(12.776, 8.458).. controls (13.603, 10.034) and (15.596, 8.204) ..
	(13.939, 7.326) -- (11.384, 6.069) -- (12.847, 5.288);

	\fill[gray!60] %face 11
	(1) -- (2) -- (9) -- (10) -- (8) -- cycle;
	\draw[line width=0.6mm] %1
	(4.908, 8.172) -- (4.682, 9.064) -- (7.223, 8.138);
	\draw[line width=0.6mm] %1
	(5.331, 10.075) -- (5.105, 10.967) -- (7.647, 10.041);

	\fill[darkgray!80] %face 9
	(7)-- (8) -- (10) --(11) -- (12) -- cycle;
	\draw[line width=0.5mm]
	(8.464, 3.962).. controls (8.464, 3.962) and (8.501, 3.027) ..
	(8.06, 2.947).. controls (7.639, 2.871) and (7.081, 3.362) ..
	(7.233, 3.813).. controls (7.466, 4.51) and (9.499, 3.89) ..
	(9.725, 3.265).. controls (9.921,	2.723) and (9.457, 2.508) ..
	(9.438, 2.479);
\end{tikzpicture}
\end{minipage}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi la probabilité d'obtenir le nombre 4 est égale à $\dfrac{1}{12}$.
\item Quelle est la probabilité que le résultat obtenu soit un nombre pair ?
\item Tom pense que la probabilité d'obtenir un multiple de 3 est supérieure à 0,3. A-t-il raison ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Tom souhaite maintenant simuler le lancer de deux dés équilibrés à 12 faces numérotées de 1 à 12.

Le bloc \og lancer \fg{} simule le lancer des deux dés et calcule la somme obtenue.

Par exemple, si le résultat du dé \no 1 est égal à 3 et que le résultat du dé \no 2 est égal à 5 alors la somme sera égale à 8.

Voici le programme de Tom.

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}p{5.5cm}|>{\centering\arraybackslash}p{8cm}|}
\hline
&\\
\textbf{Programme} & \textbf{Bloc \og Lancer} \fg\\
&\\
\begin{scratch}[scale=0.85]
\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
\blockmoreblocks{Lancer}
\blockifelse{si\ovaloperator{\ovalvariable{Résultat} >\ovalvariable{6}}  alors}
{\blocklook{dire \ovalnum{Gagné !} pendant \ovalnum{2} secondes}}
{\blocklook{dire \ovalnum{Perdu !} pendant \ovalnum{2} secondes}}
\end{scratch}
&
\begin{scratch}[scale=0.85,num blocks]
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Lancer}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{Dé 1} à \ovaloperator{nombre aléatoire entre \ovalnum{1} et \ovalnum{...}}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{Dé 2} à \ovaloperator{nombre aléatoire entre \ovalnum{...} et \ovalnum{12}}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{\ovalnum{...} + \ovalnum{...}}} 
\end{scratch}
\newline

\emph{On rappelle que l'instruction}
\newline

\ovaloperator{nombre aléatoire entre \ovalnum{1} et \ovalnum{4}} \newline

%\begin{scratch}\blockvariable{\selectmenu{} \ovaloperator{nombre aléatoire entre \ovalnum{1} et \ovalnum{4}}}\end{scratch} \newline

\emph{renvoie au hasard un nombre}\newline
\emph{ parmi $1, 2, 3$ ou $4$.}\\ 
 &\\
 \hline
\end{tabular}

\end{center}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Recopier les lignes 2, 3 et 4} du bloc \og Lancer \fg en les complétant.
\item Si le résultat du dé \no 1 est égal à 8 et le résultat du dé \no 2 est égal à 3, qu'affichera le programme ?

Justifier.
\end{enumerate}

\end{document}