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%Merci pour le sujet à : Antonino Famularo
%Tapuscrit : François Kriegk
%Relecture :
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\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small L'année 2025}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Métropole}
\lfoot{\small 26 juin 2025}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Métropole Antilles Guyane 26 juin 2025 \decofourright}}
\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|} \hline
	\hfill~\textbf{Indications portant sur l'ensemble du sujet.}\hfill~\\
	\textbf{Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche; elle sera prise en compte dans la notation.}\\ \hline
\end{tabularx}

\section*{Exercice 1 \hfill 20 points}

On dispose d'une urne A contenant 6 boules numérotées : \quad 7~;~10~;~12~;~15~;~24~;~30

et d'une urne B contenant 9 boules numérotées :\quad  2~;~5~;~6~;~8~;~17~;~18~;~21~;~22~;~25.

Les boules sont indiscernables au toucher.

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item On tire une boule dans l'urne A, quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?
		\item On tire une boule dans l'urne B, justifier que la probabilité d'obtenir un nombre premier est de $\dfrac{1}{3}$.
		\item Quelle urne contient le plus grand nombre de boules dont le numéro est un multiple de 6?
		\item On tire une boule au hasard dans l'une des urnes. Démontrer que la probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou égal à 20 est la même quelle que soit l'urne choisie.
		\item En repartant avec la composition initiale des urnes A et B on décide d'ajouter une boule numérotée 50 dans chacune d'entre elles. Dans ces conditions, la probabilité d'obtenir un résultat supérieur ou égal à 20 est-t-elle toujours égale quelle que soit l'urne choisie?
	\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 2 \hfill 23 points}

Cette année, les professeurs d'EPS proposent aux élèves un aquathlon (course à pied et natation).

\subsection*{Partie A : La course à pied}

Le parcours de la course à pied est représenté par le dessin ci-dessous (le dessin n'est pas à l'échelle) :

\medskip

Le parcours est représenté par ACDEB avec le départ au point A et l'arrivée au point B.

\medskip

\begin{minipage}{0.4\linewidth}
Les points A, C, B sont alignés.

\medskip

Les points A, D, E sont alignés.

\medskip

ADC est un triangle rectangle en A.

\medskip

AC = 480 m \qquad CB = 120 m

\medskip

AE = 250 m \qquad DE = 50 m
	\end{minipage}

\hfill
	\begin{tikzpicture}[rotate=6,>=latex]
	\coordinate (A) at (0,0);
	\coordinate (B) at (7,0);
	\coordinate (C) at (4.5,0);
	\coordinate (D) at (0,-2);
	\coordinate (E) at (0,-3.5);
	\node[left] at (A) {A};
	\node[right] at (B) {B};
	\node[above] at (C) {C};
	\node[left] at (D) {D};
	\node[below] at (E) {E};
	\draw (A) --(C) -- (D)--(E)--(B);
	\draw[dashed] (A) -- (D)  (C)--(B);
	\draw[line width=1.2pt,<->] (0,0.5) -- (4.5,0.5)
	node[pos=0.5, above, rotate=6]{480 m} ;
	\draw[line width=1.2pt,<->] (4.5,0.5) -- (7,0.5)
	node[pos=0.5, above, rotate=6]{120 m} ;
	\draw[line width=1.2pt,<->] (-0.5,-2) -- (-0.5,-3.5)
	node[pos=0.5, left, rotate=6]{50 m} ;
	\draw[line width=1.2pt,<->] (-1.5,0) -- (-1.5,-3.5)
	node[pos=0.5, left, rotate=6]{250 m} ;
	\draw[red,line width=0.8pt] (0,-0.3) -- (0.3,-0.3) -- (0.3,0) ;
	\draw[red,line width=0.8pt] (3.7,0) arc (180: 204 : 0.8);
	\end{tikzpicture}
	\hfill~

	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $\mathrm{AD} = \np[m]{200}$.
		\item Calculer la longueur CD.
		\item Pour que le parcours soit validé il est nécessaire que les droites (CD) et (BE) soient parallèles et que la mesure de l'angle $\widehat{\mathrm{ACD}}$ soit supérieure à $20$\degres.
		\begin{enumerate}
			\item Les droites (CD) et (BE) sont-elles parallèles ?
			\item La mesure de l'angle $\widehat{\mathrm{ACD}}$ est-elle supérieure à $20$\degres ?
			\item Le parcours est-il validé ?
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}

\subsection*{Partie B : La natation}

Concernant l'épreuve de natation, il s'agit de nager une distance de \np[m]{200}.

Voici les temps de 9 élèves:\quad5~min~30~s~;~5~min~45~s~;~5~min~49~s~;~5~min~50~s~;~6~min~;~6~min~11~s~;

6~min~12~s~;~6~min~20~s~;~6~min~40.

\begin{enumerate}[resume*]
\item Quel est le temps médian de cette série ?

\item Un poisson rouge nage à la vitesse de \np[km/h]{5}.

Nage-t-il plus vite que l'élève le plus rapide ?
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 \hfill 18 points}

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n'est demandée.

Pour chaque question, quatre réponses (\textbf{A}, \textbf{B}, \textbf{C} ou \textbf{D}) sont proposées.

Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte.

\subsection*{Question 1}
Le prix de 3 melons est $8,40 $~\euro{}. Combien coûtent 5 melons?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Réponse A}&\textbf{Réponse B}&\textbf{Réponse C}&\textbf{Réponse D}\\ \hline
	$16,40 $~\euro{} & $42 $~\euro{} & $14 $~\euro{} & $10,40 $~\euro{}
\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}	\subsection*{Question 2}
Quelle transformation permet de passer de la figure 1 à la figure 2 ?
\end{minipage}
\hfill
\begin{tikzpicture}[baseline={(T.south)}]
\draw[gray,line width=0.4pt,step=0.5] (-0.7,-0.2) grid (5.2,5.2);
\draw[line width=1.5pt] (0,3) --(1,3) node[pos=0.5,below]{Figure 1} --(1.5,3.5) --(2,3) --(2,4) --(1.5,4.5) --(2,5) --(1,5)node[above left,white](T){.} --(1,4) -- cycle;

\draw[line width=1.5pt] (3,0) --(3,1) --(3.5,1.5) --(3,2) --(4,2) --(4.5,1.5) --(5,2) --(5,1) --(4,1)node[pos = 0.4,below] {Figure 2} -- cycle;
\end{tikzpicture}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Réponse A}&\textbf{Réponse B}&\textbf{Réponse C}&\textbf{Réponse D}\\ \hline
Une symétrie centrale & Une rotation & Une translation & Une symétrie axiale \\ \hline
\end{tabularx}

\subsection*{Question 3}

Un article coûte $350 $~\euro{}. Son prix augmente de $20 \%$. Quel est son nouveau prix?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Réponse A}&\textbf{Réponse B}&\textbf{Réponse C}&\textbf{Réponse D}\\ \hline
$420 $~\euro{} & $330 $~\euro{} & $370 $~\euro{} & $280 $~\euro{}\\	\hline
\end{tabularx}

\bigskip

\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
\subsection*{Question 4}
Quelle est l'aire du triangle rectangle ABC ?
\end{minipage}
\hfill
\begin{tikzpicture}[baseline={(B.base)}]
	\coordinate (A) at (210:4.8);
	\coordinate (B) at (0,0);
	\coordinate (C) at (-60:2.75);
	\node[left] at (A) {A};
	\node[above] at (B) {B};
	\node[right] at (C) {C};
	\draw (A) -- (B) node[pos=0.5,above left] {6 cm} -- (C) node[pos=0.5,right] {4,5 cm} -- cycle node[pos=0.5, below]{7,5 cm} ;
	\draw[red,line width = 0.8pt, rotate=30] (-0.4,0)--(-0.4,-0.4)--(0,-0.4) ;
	\end{tikzpicture}

	\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Réponse A}&\textbf{Réponse B}&\textbf{Réponse C}&\textbf{Réponse D}\\ \hline
$27 \mathrm{~cm}^{2}$ & $13,5 \mathrm{~cm}^{2}$ & $18 \mathrm{~cm}^{2}$ & $9 \mathrm{~cm}^{2}$ \\	\hline
\end{tabularx}

\subsection*{Question 5}

Quelle est la forme développée et réduite de l'expression $(2 x+3)(x-4)$ ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Réponse A}&\textbf{Réponse B}&\textbf{Réponse C}&\textbf{Réponse D}\\ \hline
$2 x^{2}-5 x-12$ & $2 x^{2}-11 x-12$ & $2 x^{2}-12$ & $3 x-1$ \\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\begin{minipage}[t]{0.61\linewidth}
\subsection*{Question 6}
Quel est le volume de cette pyramide à base rectangulaire ?
\end{minipage}
\hfill
\begin{tikzpicture}[x=(-5:18mm),y=(55:7mm),z=(90:43mm),baseline={(T.base)}]
	\draw (0,0,0)--(2,0,0) node[pos=0.5,below]{{\footnotesize 7 cm}} --(1,1,1)node[above,white](T){.} --cycle
	(2,0,0) --(2,2,0) node[pos=0.5,right]{{\footnotesize 4 cm}}--(1,1,1);
	\draw[dotted](1,1,0)--(1,1,1)node[pos=0.3,left] {{\footnotesize 12 cm}} (0,0,0)--(2,2,0) (0,2,0)--(2,0,0);
	\draw[dashed] (0,0,0)--(0,2,0)--(2,2,0) (0,2,0)--(1,1,1);
	\draw[red,shift={(1,1,0)},line width=1pt] (-0.12,-0.12,0)--(-0.12,-0.12,0.07)--(0,0,0.07);
\end{tikzpicture}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Réponse A}&\textbf{Réponse B}&\textbf{Réponse C}&\textbf{Réponse D}\\ \hline
\np[cm^3]{23} & \np[cm^3]{112} & \np[cm^3]{336} & \np[cm^3]{168} \\	\hline
\end{tabularx}

\bigskip

\section*{Exercice 4 \hfill 20 points}

Au club \og Mathsetmagie \fg{}, on s'amuse à créer des programmes de calcul plus ou moins magiques.

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\subsection*{Partie A : Le programme de Zoé}

Voici le programme de calcul de Zoé :
\end{minipage}
\hfill
\begin{tabularx}{0.3\linewidth}{|X|} \hline
\textbf{Programme de Zoé :}\\
\textbullet~~ Choisir un nombre\\
\textbullet~~ Soustraire 4\\
\textbullet~~ Multiplier par 2 \\
\textbullet~~ Ajouter 8.\\ \hline
\end{tabularx}
\hfill~

	\begin{enumerate}
	\item Vérifier que si on choisit 10 comme nombre de départ, on obtient 20 avec ce programme.
	\item Quel résultat obtient-t-on avec ce programme si on choisit $-7$ comme nombre de départ?
	\item Zoé prétend que son programme est \og magique \fg{} car, quel que soit le nombre choisi, le résultat est toujours le double du nombre de départ. A-t-elle raison?
	\end{enumerate}

	\subsection*{Partie  B : Le programme de Fred}

	\begin{minipage}[t]{0.55\linewidth}
		Fred décide de faire son programme de calcul sur Scratch :

	\begin{enumerate}[start=4]
		\item Démontrer que si le nombre de départ est $x$, le résultat obtenu avec le programme de Fred est $20 x+50$.

	\item Quel nombre faut-il choisir au départ pour obtenir 75 avec le programme de Fred?
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{scratch}[scale=0.8]
\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
\blocksensing{demander \ovalnum{Choisir un nombre} et attendre}
\blockvariable{mettre \selectmenu{résultat} à \ovaloperator{\ovalsensing{réponse} * \ovalnum{4}}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{résultat} à
\ovaloperator{\ovalvariable{résultat} + \ovalnum{10}}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{résultat} à
\ovaloperator{\ovalvariable{résultat} * \ovalnum{5}}}
\blocklook{dire \ovalvariable{résultat}}
	\end{scratch}

\begin{scratch}[scale=0.8,baseline=4]
	\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
	\blocksensing{demander \ovalnum{Choisir un nombre} et attendre}
	\blockvariable{mettre \selectmenu{résultat} à \ovaloperator{\ovalsensing{réponse} * \ovalnum{4}}}
	\blockvariable{mettre \selectmenu{résultat} à
	\ovaloperator{\ovalvariable{résultat} + \ovalnum{10}}}
	\blockvariable{mettre \selectmenu{résultat} à
	\ovaloperator{\ovalvariable{résultat} * \ovalnum{5}}}
	\blockvariable{mettre \selectmenu{résultat} à
	\ovaloperator{\ovalnum{~\quad~} - \ovalnum{~\quad~}}}
	\blocklook{dire \ovalvariable{résultat}}
\end{scratch}
	\hfill
	\begin{minipage}{0.6\linewidth}
		\begin{enumerate}[start=6]
		\item Constatant que son programme n'a rien de magique, Fred souhaite le modifier afin que le résultat soit toujours 20 fois plus grand que le nombre de départ. Recopier et compléter sur la copie la sixième ligne du programme pour que ce soit le cas.
	\end{enumerate}
	\end{minipage}

\bigskip

\section*{Exercice 5 \hfill 19 points}

Un garage propose 2 options au client :

\begin{itemize}[label=\textbullet]
\item Option \emph{Achat} : prix d'achat de la voiture \np{22400}~\euro{}. Assurance obligatoire $75 $~\euro{} par mois.
\item Option \emph{Location} : $425 $~\euro{} par mois, assurance comprise.
\end{itemize}

L'objectif de cet exercice est de comparer ces deux options.

\subsection*{Partie A}

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'avec l'option \emph{Achat} la dépense à la fin de la première année est de $\np{23300}$~\euro{}.
\item Après 36 mois, calculer l'économie réalisée par le client s'il choisit l'option \emph{Location}.
\item Afin de comparer les dépenses correspondant à ces options le client a réalisé le tableau suivant à l'aide d'un tableur :

\begin{center}
\begin{sffamily}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|} \hline
	 & A & B & C & D & E & F \\	\hline
	1 & Nombre de mois & 12 & 24 & 36 & 48 & 60 \\ \hline
	2 & Dépense en € Option \emph{Achat} & \np{23300} & \np{24200} & \np{25100} & \np{26000} & \np{26900} \\ \hline
	3 & Dépense en € Option \emph{Location} & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{sffamily}
\end{center}

Quelle formule doit être saisie dans la cellule \textsf{B3} qui, étendue jusqu'à la cellule \textsf{F3}, permet de compléter le tableau ?
	\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}

On souhaite maintenant modéliser les deux options précédentes par des fonctions.

On note $x$ la durée écoulée en mois depuis la livraison de la voiture.

La fonction $g$, permettant de calculer la dépense correspondant à l'option \emph{Location}, peut s'écrire sous la forme : \quad $g(x)=425 x$.

\begin{enumerate}[resume*]
\item Déterminer l'expression de $f(x)$ permettant de calculer la dépense correspondant à l'option \emph{Achat}.

\item Sur le graphique de la page suivante, on a tracé les courbes représentatives $C_{f}$ et $C_{g}$ des fonctions $f$ et $g$.

Par lecture graphique, déterminer à partir de combien de mois, l'option \emph{Achat} est la plus avantageuse.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{tikzpicture}[x=1.mm,y=0.03mm,>=latex]%sujet original : x=1.25mm
\draw [color = gray!75, line width = 0.25pt, xstep=2, ystep = 100] (0,0) grid (130,4500);
\draw [color = gray!75, line width = 0.75pt, xstep=10, ystep = 500] (0,0) grid (130,4500);
\draw[<->,line width=1.2pt]
(0,4500) -- (0,0) -- (130,0);
\node[left,fill=white] (x) at (126,150){Durée en mois};
\node[right,fill = white] (y) at (4,4250){Dépense en euros};
\foreach \x in {0,2,...,126}
\draw[shift={(\x,0)},color=black,line width=1pt] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt);
\foreach \x in {0,10,...,120}
\draw[shift={(\x,0)},color=black,line width=1.2pt] (0pt,3pt) -- (0pt,-3pt) node[below, fill = white] {\footnotesize $\np{\x}$};
\foreach \y in {0,100,...,4400}
\draw[color=black,line width=1pt] (2pt,\y) -- (-2pt,\y);
\foreach \y in {500,1000,...,4000}
\draw[shift={(0,\y)},color=black,line width=1pt] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left, fill = white] {\footnotesize $\np{\y0}$};
\draw[line width=1.2pt,color=red] (0,0)--(1800/17,4500) node[pos=0.93,above left,fill=white]{$C_g$};
\draw[line width=1.2pt,color=teal] (0,2240)--(130,3215) node[pos=0.98,above left,fill=white]{$C_f$};
\end{tikzpicture}
\end{document}