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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : 
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\renewcommand{\sfdefault}{phv}% police helvetica pour les blocs scratch.
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
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\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Sujet 0 2026}}
\rfoot{\small{}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Sujet A pour 2026
 ~\decofourright}}

\bigskip

\textbf{Durée : 2 heures}

\end{center}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
Partie 1 — automatismes &6 points\\ \hline
20 min (\textbf{calculatrice interdite})& \\ \hline
Partie 2 — raisonnement et résolution de problèmes& 14 points\\ \hline
1 h 40 (\textbf{calculatrice autorisée})&\\ \hline
\end{tabularx}


\bigskip

\textbf{Partie 1 - Automatismes - 6 points - 20 minutes}

\medskip

\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Pour chaque question, recopier sur la copie son numéro et la réponse
correspondante.}\\
\textbf{Pour cette partie, aucune justification n’est demandée.}\\
\textbf{Pour les questions a choix multiple, une seule réponse est exacte.}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 1}

Quel est le tiers de 18 ?

\medskip

\textbf{Question 2}

Un film dure $240$~min. Quelle est sa durée en heures ?

\medskip

\textbf{Question 3}

Les notes obtenues par un élève sont : 8~;~12~;~6~;~19~;~15

Que vaut la médiane de cette série de notes ?

\medskip

\textbf{Question 4}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(9.,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridwidth=0.25pt,subgridwidth=0.25pt]
\psline(9.2,0)
\qdisk(2,0){2pt}\qdisk(6,0){2pt}\qdisk(9,0){2pt}
\uput[d](2,0){0}\uput[d](6,0){1}\uput[u](9,0){E}
\end{pspicture}
\end{center}

Sur cette droite graduée, l’abscisse du point E est
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~} $\dfrac54$ &\textbf{B.~} $\dfrac32$ &\textbf{C.~} $\dfrac74$ &\textbf{D.~} $\dfrac52$\\ 
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 5}

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
Dans le triangle ABC, rectangle en B,
on sait que $\widehat{\text{A}} = 35\degres$.

Calculer $\widehat{\text{C}}$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,3)
\pspolygon(0.2,0)(4.6,0)(4.6,2.6)%ABC
\psframe(4.6,0)(4.4,0.2)
\uput[ul](0.2,0){A} \uput[ur](4.6,0){B} \uput[ur](4.6,2.6){C} \uput[ur](0.9,0.1){$35\degres$} \uput[dl](4.6,2.6){?}
\psarc(0.2,0){0.5}{0}{30.58}\psarc(4.6,2.6){0.5}{211.58}{270}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Question 6}

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
Dans le triangle ABC, rectangle en A, quel calcul doit-on effectuer pour déterminer le cosinus de l’angle 
$\widehat{\text{ABC}}$ ?
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.2,2.3)
\pspolygon(0.2,0)(5.2,0)(0.2,2.1)%ABC
\psframe(0.2,0)(0.4,0.2)
\uput[ul](0.2,0){A} \uput[ur](5.2,0){B} \uput[ul](0.2,2.1){C} 
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Question 7}

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
Sur la figure ci-contre, dans le triangle ADE les droites (DE) et (CB) sont parallèles.

Déterminer la longueur AD.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.52\linewidth}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(8,3.5)
\pspolygon(0.2,0.2)(7.7,0.2)(6.2,3.2)%AED
\psline(2.4,0.2)(2,1.1)%BC
\uput[ul](0.2,0.2){A} \uput[ur](7.7,0.2){E} \uput[ur](6.2,3.2){D} 
\uput[d](2.4,0.2){B}\uput[ul](2,1.1){C}
\uput[ur](2.2,0.6){2 cm} \uput[ul](1.2,0.7){4 cm} \uput[ur](6.95,1.7){7 cm}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Question 8}

Dans un collège, 25\,\% des 300 élèves participent à une olympiade de mathématiques.

Combien d’élèves ne participent pas a cette olympiade ?

\medskip


\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\textbf{Question 9}

Une élève souhaite réaliser un programme avec un logiciel de
programmation pour dessiner un carré.

Par quelles valeurs doit-on compléter les lignes 3 et 5 
pour obtenir un carré ?
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.34\linewidth}
\begin{scratch}[scale=0.8,num blocks, num start=1,baseline=2]]
\initmoreblocks{definir carré}
\blockpen{stylo en position d'écriture}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{\phantom{aa}} fois}
{
\blockmove{avancer de \ovalvariable{50} pas}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{\phantom{aa}} degrés}
}
\end{scratch}
\end{minipage}

\newpage

%%%%%% Partie avec calculatrice
\begin{center}
\textbf{Partie 2 — Raisonnement et résolution de problèmes — 14 points — 1 h 40}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{|p{14cm}|}\hline
\textbf{Dans cette partie, toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication
contraire est donnée.}\\
\textbf{La clarté et la précision des raisonnements ainsi que la rédaction sont évaluées sur
2 points.}\\
\textbf{Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la
recherche ; les essais et les démarches engagées, même non aboutis, seront pris en
compte dans la notation.}\\ \hline
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 : \hfill 3 points}

\medskip

Dans le cadre d’un projet de labellisation \og Éducation au développement durable \fg, un collège
réalise deux enquêtes sur une période donnée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La première enquête porte sur le gaspillage alimentaire à la cantine.

Pendant sept semaines, on relève la masse totale, en kilogramme, d'aliments jetés chaque
semaine :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Semaine &	1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline
Masse (kg) &62 &59 &74 &68 &55 &61 &71\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Ce collège s'est donné comme objectif que la moyenne, par semaine, de déchets
alimentaires sur les 7 semaines ne dépasse pas 65~kg.

Montrer que ce collège a atteint son objectif.
\item La seconde enquête porte sur les déplacements des élèves à vélo entre le domicile et le
collège.

Le diagramme ci-dessous représente, pour chaque distance, l'effectif des élèves qui
parcourent cette distance en vélo pour aller au collège. (Les élèves qui n’utilisent pas le vélo
pour se rendre au collège parcourent 0 km à vélo.)

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.15cm}
\begin{pspicture}(-1.6,-3)(9.3,50)
\rput(4,48){\textbf{Distance parcourue à vélo par les élèves du collège}}
\uput[d](4,-2){\small Distance parcourue en km}
\rput{90}(-1,23){\small Effectif}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(9.3,46)
\multido{\n=0+1,\na=1+1}{9}{\uput[d](\na,0){\footnotesize \n}}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=purple](0.7,0)(1.3,33)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=purple](1.7,0)(2.3,32)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=purple](2.7,0)(3.3,42)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=purple](3.7,0)(4.3,31)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=purple](4.7,0)(5.3,36)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=purple](5.7,0)(6.3,28)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=purple](6.7,0)(7.3,24)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=purple](7.7,0)(8.3,22)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=purple](8.7,0)(9.3,14)
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
	\item Déterminer l'effectif total d'élèves de ce collège.
	\item Pour ce collège, l'affirmation \og Plus de 30\,\% des élèves ont parcouru au moins 5~km à vélo
pour se rendre au collège \fg est-elle vraie ?

\textbf{Justifier la réponse en précisant la démarche.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 : \hfill3 points}

\medskip

On donne un programme de calcul :

\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,0)(3,4.2)
%\psgrid
\rput(0,4){\fbox{choisir un nombre}}\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,3.7)(0,3.2)
\rput(0,3){\fbox{le multiplier par 2}}\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,2.7)(0,2.2)
\rput(0,2){\fbox{élever le résultat au carré}}\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,1.7)(0,1.2)
\rput(0,1){\fbox{retrancher 9}}\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0.7)(0,0.2)
\rput(0,0){\fbox{afficher le résultat}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Lorsque le nombre choisi est 4, vérifier le programme affiche 55, en précisant chacune des
étapes de calcul.
\item On appelle $x$ le nombre choisi au départ.
	\begin{enumerate}
		\item Écrire, en fonction de $x$, le résultat obtenu par le programme.
		\item Parmi les quatre expressions suivantes, laquelle correspond au résultat obtenu par le
programme ?
	\end{enumerate}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$A = 55$ &$B= (2x +3)^2$ &$C= (2x - 3)(2x +3)$ &$D = (2x — 3)^2$\\
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 : \hfill 3 points}

\medskip

On considère les fonctions $f$ et $g$ suivantes :

\[\begin{array}{l l}
f \,: &x \longmapsto 4x + 3\\
g \,:&x \longmapsto 6x
\end{array}\]

Leurs représentations graphiques $(d_1)$ et $(d_2)$ sont tracées ci-dessous :

\begin{enumerate}
\item Parmi ces deux fonctions, laquelle représente une situation de proportionnalité ?
\item Calculer l'image de 0 par la fonction $g$.
\item Déterminer l’antécédent de $0$ par la fonction $f$.

\begin{center}
\psset{xunit=1.7cm,yunit=0.325cm,arrowsize=2pt 3,comma}
\begin{pspicture*}(-1.5,-1.9)(5.5,20)
\multido{\n=-1.5+0.5}{16}{\psline[linewidth=0.25pt](\n,-1.9)(\n,20)}
\multido{\n=-0+2}{11}{\psline[linewidth=0.25pt](-1.5,\n)(5.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-1.5,-1.9)(5.5,20)
\psplot[plotpoints=800,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1.5}{4.5}{x 4 mul 3 add}
\psplot[plotpoints=800,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.5}{4.5}{x 6 mul}
\uput[ul](3,18){\blue $(d_1)$}\uput[dr](3.75,18){\red $(d_2)$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item Associer à chaque droite la fonction qu'elle représente. Justifier la réponse.
\item Déterminer graphiquement les coordonnées du point d’intersection des droites $(d_1)$ et $(d_2)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 :\hfill 3 points}
\medskip

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
Sur la figure ci-contre :

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item ABCD est un carré de côté 9 cm; 
\item les segments de même longueur sont codés.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le polygone IJKLMNOP est-il régulier, c'est-à-dire a-t-il
tous ses côtés de même longueur ?

\textbf{Justifier la réponse.}
		\item Justifier que l’aire de la surface IJKLMNOP grisée sur
la figure ci-contre est égale à 63~cm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(5.8,5.8)
%\psgrid
\psframe(0.2,0.2)(5.6,5.6)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,5.6)(3.8,5.6)(5.6,3.8)(5.6,2)(3.8,0.2)(2,0.2)(0.2,2)(0.2,3.8)%IJKLMNOP
\def\dblv{\psline(-0.05,0.1)(-0.05,-0.1)\psline(0.05,0.1)(0.05,-0.1)}
\rput(2.9,5.6){\dblv}\rput(1,5.6){\dblv}\rput(4.7,5.6){\dblv}
\rput(2.9,0.2){\dblv}\rput(1,0.2){\dblv}\rput(4.7,0.2){\dblv}
\def\dblh{\psline(-0.1,0.05)(0.1,0.05)\psline(-0.1,-0.05)(0.1,-0.05)}
\rput(0.2,4.7){\dblh}\rput(0.2,2.9){\dblh}\rput(0.2,1.1){\dblh}
\rput(5.6,4.7){\dblh}\rput(5.6,2.9){\dblh}\rput(5.6,1.1){\dblh}
\uput[ul](0.2,5.6){A} \uput[ur](5.6,5.6){B} \uput[dr](5.6,0.2){C} \uput[dl](0.2,0.2){D}
\uput[u](2,5.6){I} \uput[u](3.8,5.6){J} \uput[r](5.6,3.8){K} \uput[r](5.6,2){L}
\uput[d](3.8,0.2){M} \uput[d](2,0.2){N} \uput[l](0.2,2){O} \uput[l](0.2,3.8){P}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
\begin{enumerate}[start=2]
\item Les diagonales du carré ABCD se coupent en S.

\smallskip

On a tracé le cercle de centre S et de diamètre 9 cm.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'aire du disque de centre S et de
diamètre 9 cm.
		\item Montrer que la différence entre l'aire du polygone
IJKLMNOP et l'aire du disque représente moins de
1\,\% de l’aire du disque.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(0,0)(5.8,5.8)
%\psgrid
\psframe(0.2,0.2)(5.6,5.6)
\pspolygon(2,5.6)(3.8,5.6)(5.6,3.8)(5.6,2)(3.8,0.2)(2,0.2)(0.2,2)(0.2,3.8)%IJKLMNOP
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.9,2.9){2.7}
\def\dblv{\psline(-0.05,0.1)(-0.05,-0.1)\psline(0.05,0.1)(0.05,-0.1)}
\rput(2.9,5.6){\dblv}\rput(1,5.6){\dblv}\rput(4.7,5.6){\dblv}
\rput(2.9,0.2){\dblv}\rput(1,0.2){\dblv}\rput(4.7,0.2){\dblv}
\def\dblh{\psline(-0.1,0.05)(0.1,0.05)\psline(-0.1,-0.05)(0.1,-0.05)}
\rput(0.2,4.7){\dblh}\rput(0.2,2.9){\dblh}\rput(0.2,1.1){\dblh}
\rput(5.6,4.7){\dblh}\rput(5.6,2.9){\dblh}\rput(5.6,1.1){\dblh}
\uput[ul](0.2,5.6){A} \uput[ur](5.6,5.6){B} \uput[dr](5.6,0.2){C} \uput[dl](0.2,0.2){D}
\uput[u](2,5.6){I} \uput[u](3.8,5.6){J} \uput[r](5.6,3.8){K} \uput[r](5.6,2){L}
\uput[d](3.8,0.2){M} \uput[d](2,0.2){N} \uput[l](0.2,2){O} \uput[l](0.2,3.8){P}\uput[l](2.9,2.9){S}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](0.2,5.6)(5.6,0.2)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](5.6,5.6)(0.2,0.2)
\pspolygon(2,5.6)(3.8,5.6)(5.6,3.8)(5.6,2)(3.8,0.2)(2,0.2)(0.2,2)(0.2,3.8)%IJKLMNOP
\end{pspicture}
\end{minipage}
\end{document}