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\begin{document}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Groupement D}}
\rfoot{\small{mai 2002}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}
\begin{Large}\textbf{\decofourleft~Sujet de mathématiques - BTS : Groupement D~\decofourright}

Analyses Biologiques - Biochimie - Biotechnologies - Hygiène, propreté, environnement - Métiers de l'eau - Peintures, encres et adhésifs - Plastiques et composites - Qualité dans les industries alimentaires et les bio-industries.

\textbf{Session 2002}
\end{Large}
\end{center}

\textbf{Exercice 1 } \hfill 11 points

\begin{center}\textbf{Les trois parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre}
\end{center}

Pour une étude cardio-vasculaire, on effectue une perfusion lente à débit constant d'une solution marquée par un indicateur radio-actif.\\

\medskip

\textbf{Partie A : Étude expérimentale}

\medskip

On relève l'évolution de la concentration au niveau du ventricule droit et on obtient les résultats suivants:\\
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}|}\hline
 $i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline
  $t_i$ : \small{temps en minutes} & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 \\ 
\hline 
$c_i$ : \small{concentration en } &  &  &  &  &  &  &  \\ 
  & 0 & 54 & 84 & 100 & 109 & 114 & 117 \\ 
 \small{microgrammes par cm}$^3$ &  &  &  &  &  &  &  \\  \hline 
\end{tabularx} 
\end{center}

\medskip

Dans cette partie, les résultats seront arrondis au centième le plus proche.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On pose $z_i = \text{ln}(120 - c_i)$ (ln désigne le logarithme népérien).

Donner les valeurs de $z_i$ pour $i$ variant de 1 à 7.
\item Déterminer par la méthode des moindres carrés une équations de la droite de régression de $z$ en $t$.
\item Donner une expression de la concentration $c$ en fonction de $t$ déduite de cet ajustement.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On admet que la fonction $c$ est solution de l'équation différentielle (E) : $y' + 0,3y = 36$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle : $y'+0,3y = 0$.
\item Déterminer une solution constante de l'équation différentielle (E).
\item En déduire les solutions de (E) et donner la fonction $c$ solution qui vérifie $c(0) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Étude d'une fonction}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(t) = 120\left(1 - \exp{- 0,3t}\right).\]

\begin{enumerate}
\item Chercher les variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$; que peut-on en déduire pour sa courbe représentative ?
\item Représenter graphiquement la fonction $f$ dans un repère orthogonal (unités : 1,5~cm pour une unité en abscisse et 1~mm  pour une unité en ordonnée).
\item Calculer la valeur moyenne   de $f$ sur l'intervalle $[2~;~12 ]$ et en donner une valeur approchée à une unité près.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 2 }\hfill 9 points

\medskip

Un atelier produit en grande série des disques de diamètre nominal 25 mm.\\

\textbf{Partie A }

\medskip

On désigne par $X$ la variable aléatoire  qui à chaque \d de la production, associe son diamètre en mm. On admet que $X$ suit une loi normale   de moyenne   $m$ et d'écart type $\sigma$. Un disque est considéré comme valable si son diamètre est compris entre 24,90 mm et 25,08 mm, sinon il est considéré comme défectueux.
\begin{enumerate}
\item On suppose que $\sigma=0,04$. Calculer la probabilité   qu'un \d pris au hasard dans la production soit défectueux, dans chacun des deux cas suivants:
	\begin{enumerate}
		\item $m=25$
		\item $m=24,99$
	\end{enumerate}
\item On note $\overline{X}$ la variable aléatoire  qui, à chaque échantillon de 100~disques   de la production, associe la moyenne   des diamètres de ces 100~disques. On admet que $\overline{X}$ suit la loi normale   de moyenne   $m$ et d'écart type 0,004.

On prélève au hasard et avec remise un échantillon de 100~disques   dans la production. On souhaite construire un test bilatéral de validité d'hypothèse, pour savoir si l'on peut considérer, au risque de 5\,\%, que la moyenne   $m$ des diamètres des disques   de la production est égale à 25.
	\begin{enumerate}
		\item Sous l'hypothèse nulle $H_0$ ($m=25$), calculer la valeur du réel $d$ tel que :
		
\[P(\left| \overline{X}- 25 \right| < d)=0,95.\]

		\item La moyenne   des diamètres des 100 disques   de l'échantillon  prélevé dans la production est $24,994$. Quelle est la conclusion du test ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B }

\medskip

On suppose que 3\,\% des disques   de la production sont défectueux. On prélève au hasard un lot de 60~disques   dans la production ; la production étant très importante, ce prélèvement peut être assimilé à un tirage avec remise.

On désigne par $Y$ la variable aléatoire  qui, à chaque lot de 60 disques, associe le nombre de disques   défectueux.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi suivie par $Y$? Donner ses paramètres.
		\item Calculer la probabilité   qu'un lot de 60~disques   contienne au moins deux disques   défectueux (arrondir au millième le plus proche).
	\end{enumerate}
\item On admet que la loi de $Y$ peut être approchée par une loi de Poisson .
	\begin{enumerate}
		\item Donner le paramètre de cette loi de Poisson .
		\item En utilisant cette loi de Poisson , calculer la probabilité   qu'un lot de 60~disques   contienne au moins  deux disques   défectueux (arrondir au millième le plus proche).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
