%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Groupement E\\Art céramique\\Expression visuelle et design d'espace}}
\rfoot{\small{mai 2009}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Groupement E et Design d'espace session 2009}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip
 
Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm.
 
On considère la courbe $\mathcal{C}$ dont un système d'équations paramétriques est:
 
\[\left\{\begin{array}{l c l c l}
x& =& f(t)& =& t^2 - 4t + 1\\ 
y&=&	g(t) &=&\dfrac{1}{t}
\end{array}\right. \quad 	\text{où}~ t~ \text{appartient à l'intervalle [0,2~;~5]}.\] 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(t)$ et $g'(t)$ où $f'$ et $g'$ sont les fonctions dérivées respectives des fonctions $f$ et $g$. 
\item Étudier les signes respectifs de $f'(t)$ et $g'(t)$ lorsque $t$ varie dans l'intervalle [0,2~;~5]. 
\item Rassembler les résultats dans un tableau de variations unique pour les fonctions $f$ et $g$. 
\item Déterminer un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en chacun des points A et B obtenus respectivement pour $t = 0,5$ et $t = 2$. 
\item Dans le repère défini ci-dessus, placer les points A et B, tracer avec précision la tangente en chacun de ces points, puis la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\medskip 

\emph{La courbe $\mathcal{C}$, définie à l'aide d'un paramètre dans cet exercice, peut aussi être obtenue comme courbe représentative de la fonction associant $x$ à $y$, ce qui n'est pas demandé ici.} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

Le solide représenté en annexe est un solide formé de deux pyramides de base carrée, dont les faces latérales sont des triangles équilatéraux de côté 9~cm.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  On rappelle que la projection orthogonale H de E sur le plan ABCD est le milieu du segment [AC].
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de EH. 
		\item Calculer le volume V de ce solide. Arrondir au mm$^3$.
	\end{enumerate} 

\hspace{-1.2cm}\fbox{Le volume $v$ d'une pyramide de hauteur $h$, dont l'aire de la base est $a$, est : $v = \dfrac{1}{3}ah.$}

\medskip
 
\item
\begin{enumerate}
\item  Sur la figure donnée en annexe, placer les quatre points suivants :

\begin{description}
\item[ ]  le point $M$ du segment [EA] tel que E$M = \dfrac{1}{3}$ EA, 
3 
\item[ ] le point $N$ du segment [EB] tel que E$N$ = E$M$,
\item[ ] le point $P$ du segment [EC] tel que E$P$ = E$M$,
\item[ ] le point $Q$ du segment [ED] tel que E$Q$ = E$M$. 
\end{description}
\item Donner sans justification la nature du quadrilatère $MNPQ$. 
\item Calculer le volume $V'$ de la pyramide E$MNPQ$. Arrondir au mm$^3$.
\end{enumerate}
 
\item On enlève du solide la pyramide E$MNPQ$ et on fait de même en chacun des cinq autres sommets A, B, C, D, F. 
	\begin{enumerate}
		\item  Représenter sur la figure donnée en annexe chacune des faces du solide ainsi obtenu. 
		\item Donner sans justification le nombre de faces et la nature des deux types de faces de ce solide. 
		\item Calculer le volume $V_{1}$ de ce solide. Arrondir au mm$^3$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{5cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,8)
%\psgrid
\psline(0.2,3.2)(5.3,2.5)(7.6,3.9)%ABC
\psline[linestyle=dashed](7.6,3.9)(2.95,4.6)(0.2,3.2)%CDA
\pspolygon(0.2,3.2)(4,0)(7.6,3.9)(4,7.3)%AFCE
\psline(4,0)(5.3,2.5)(4,7.3)%FBE
\psline[linestyle=dashed](4,0)(2.95,4.6)(4,7.3)%FDE
\psdots[dotstyle=*](1.9,2.96)(3.65,2.72)(6.1,3)(6.9,3.5)(6,4.15)(4.3,4.4)(2.1,4.15)(1.25,3.7)(1.6,4.7)(2.8,6)(5.15,6.2)(6.4,5)(6.3,2.52)(5.2,1.3)(2.9,0.94)(1.6,2.05)(3.65,1.6)(3.3,3)(3.27,5.4)(3.5,6)
\uput[l](0.2,3.2){A} \uput[dr](5.3,2.5){B} \uput[r](7.6,3.9){C} 
\uput[ul](2.95,4.6){D} \uput[u](4,7.3){E} \uput[d](4,0){F} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}