%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{multicol} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-eucl,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement C}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur session 2007~\decofourright\\[7pt] Groupement C}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill $10$ points}

\medskip

Le but du problème est l'étude de la demande et de l'offre pour un nouveau produit de grande consommation. Une étude statistique a donné les résultats suivants où :

$x$ désigne le prix unitaire en euros du produit ;

$y$ désigne la demande (la quantité de produit demandée par les consommateurs), en milliers d'unités ;

$z$ désigne l'offre (la quantité de produit offerte sur le marché par les producteurs), en milliers d'unités.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ en euros	&0,5&	1	&1,5	&2	&2,5&3	&3,5&4\\ \hline
$y$ en milliers	&7,8&6,1	&4,7	&3,7&3	&2,5&2,2&2\\ \hline
$z$ en milliers	&0,9&1,4	&1,7	&1,9&2,1&2,3&2,4&2,6\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Partie A. Étude de la demande}

\medskip

On considère l'équation différentielle

\[(\text{E}) ~~: \quad y'+ 0,4y = 0,4x - 1\]

où $y$ désigne une fonction de la variable $x$, définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels et $y'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre sur l'ensemble des nombres réels, l'équation différentielle :

\[y'+ 0,4y = 0.\]

\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que la fonction $g$, définie pour tout $x$ réel par $g(x) =  ax + b$, soit une solution particulière de l'équation (E).
		\item Résoudre l'équation différentielle (E).
	\end{enumerate}
\item Déterminer la fonction $f$, solution sur l'ensemble des nombres réels de l'équation différentielle (E), telle que $f(0) = 10$.
\item On appelle $d$ la fonction demande, en milliers d'unités pour un prix de $x$ euros, définie sur l'intervalle [0,5~;~4] par $y = d(x)$. On admet que, pour tout $x$ de l'intervalle [0,5~;~4],

\[d(x) =15\text{e}^{-0,4x}+x - 5.\]
		 
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $d'$ la fonction dérivée de la fonction $d$. Déterminer $d'(x)$ et en déduire les variations de la fonction $d$ sur l'intervalle [0,5~;~4].
		\item  Le plan est muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques 2~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées. On admet que le tableau de valeurs ci-dessus est le tableau de valeurs de la fonction $d$ définie par $y = d(x)$.
		
Construire la courbe $\mathcal{C}_{d}$ représentative de la fonction $d$ sur l'intervalle [0,5~;~4].
		\end{enumerate}
\end{enumerate} 
 
\textbf{Partie B : Étude de l'offre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à $10^{-2}$.
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$					&0,5	&1	&1,5&2	&2,5&3	&3,5&	4\\ \hline
$z$					&0,9	&1,4&1,7&1,9&2,1&2,3&2,4&2,6\\ \hline
$Z = \text{e}^z$	&2,46	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
		\item  Donner une équation de la droite de régression de $Z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés sous la forme $Z = ax + b$ où $a$ et $b$ seront arrondis au dixième.
		\item  En déduite une expression de $z$ en fonction de $x$.
	\end{enumerate}
\item On appelle $h$ la fonction offre, en milliers d'unités pour un prix de $x$ euros, définie sur l'intervalle [0,5~;~4] par $z = h(x)$. On admet que, pour tout $z$ de l'intervalle [0,5~;~4],~ $h(x) = \ln(3x + 0,9)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $h'$ la fonction dérivée de la fonction $h$. Déterminer $h'(x)$ et en déduire les variations de
la fonction $h$ sur l'intervalle [0,5~;~4].
		\item  Construire la courbe $\mathcal{C}_{h}$  représentative de la fonction $h$ dans le même repère que la courbe $\mathcal{C}_{d}$.
		
On pourra utiliser le tableau de valeurs ci-dessus.
		\item  Déterminer graphiquement, avec la précision permise par le graphique, une valeur approchée du prix de vente en euros, à $10$~centimes près, pour lequel la demande est égale à l'offre.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill $10$ points}

\medskip

\emph{Les parties A, B, et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.}

\medskip

Une entreprise produit en grande série trois modèles de stylos notés, M$_{1}$, M$_{2}$ et M$_{3}$.

Un stylo peut être conforme ou non conforme.

\bigskip

\textbf{Partie A. Dans cette partie, on s'intéresse aux stylos du modèle M$_{1}$}

\medskip

Un des stocks est constitué de stylos du modèle M$_{1}$, provenant de deux chaînes de production C$_{1}$ etC$_{2}$. Ces chaînes produisent respectivement 40\,\% et 60\,\% du stock. On constate que la chaîne C$_{1}$ produit 6\,\% de stylos non conformes.\\
On prélève au hasard un stylo dans ce stock.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité de prélever au hasard un stylo provenant de la chaîne C$_{1}$ et non conforme ?
\item On appelle $t$ le pourcentage de stylos non conformes produit par la chaîne C$_{2}$. Déterminer $t$ pour que la probabilité de prélever au hasard un stylo non conforme dans le stock de stylos du modèle M$_{1}$ soit égale à $0,09$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B. Dans cette partie, on s'intéresse aux stylos du modèle M$_{2}$}

\medskip

Un autre stock est constitué de stylos du modèle M$_{2}$. On admet que 3\:\% des stylos de ce stock sont non conformes. On prélève au hasard, dans ce stock, un lot de 50~stylos.

On admet que ce stock est suffisamment important pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de 50~stylos, associe le nombre de stylos non conformes.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la loi de probabilité de la variable $X$. Justifier la réponse et préciser les paramètres.
\item  Dans cette question les résultats seront arrondis à $10^{-3}$,
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la probabilité que ce lot contienne exactement 2~stylos non conformes 7
		\item Quelle est la probabilité que ce lot contienne au moins 2~stylos non conformes ?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On approche la variable aléatoire $X$ par une variable $Y$ qui suit une loi de Poisson. Donner le paramètre de cette loi.
		\item À l'aide de la variable aléatoire $Y$, donner une estimation de la probabilité qu'il y ait exactement 47~stylos conformes dans ce lot.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Partie C. Dans cette partie, on s'intéresse à la masse des stylos du modèle M$_{3}$}

\medskip

Un autre stock est constitué de stylos du modèle M$_{3}$. Ce stock est conforme quant à la masse si la moyenne des masses des stylos de ce stock est de 11~grammes. Pour vérifier cette affirmation on construit un test d'hypothèse bilatéral au risque de 10\,\%.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est l'hypothèse nulle H$_{0}$ ? Quelle est l'hypothèse alternative H$_{1}$ ?
		\item  On note $\overline{Z}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 100~stylos prélevés dans ce stock associe la moyenne des masses des stylos de ce stock. On considère ces prélèvements comme des tirages avec remise car ce stock est très important. On suppose que, sous l'hypothèse nulle H$_{0}$, la variable aléatoire $\overline{Z}$ suit la loi normale de moyenne $11$ et d'écart-type $0,4$.
		
Sous l'hypothèse nulle H$_{0}$, déterminer le nombre réel positif $h$ tel que :

\[P(11 - h \leqslant  \overline{Z} \leqslant 11 +h) = 0,9.\]

		\item  Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test.
	\end{enumerate}
\item On prélève un échantillon aléatoire de $100$~stylos et on constate que la moyenne des masses des stylos de cet échantillon est de $10,6$~grammes. Peut-on au risque de 10\,\% conclure que le stock de stylos du modèle M$_{3}$ est conforme quant à la masse ?
\end{enumerate}
\end{document}