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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Groupement F}}
\rfoot{\small{mai 2010}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center}\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur\\ Design de communication, d'espace, de produits session 2010}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 7 points}

\medskip

Le solide représenté sur la figure est un cube de côté 3~cm. 

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(7,6)
\psframe(4.5,4.5)%ABFE
\psline(4.5,0)(6,1.3)(6,5.8)(4.5,4.5)%BCGF
\psline(6,5.8)(1.5,5.8)(0,4.5)%GFE
\psline(0,0)(1.5,1.3)(1.5,5.8)%ADH
\psline(1.5,1.3)(6,1.3)%DC
\uput[l](0,0){A} \uput[r](4.5,0){B} \uput[r](6,1.3){C} \uput[ul](1.5,1.3){D} 
\uput[l](0,4.5){E} \uput[r](4.5,4.5){F} \uput[r](6,5.8){G} \uput[ul](1.5,5.8){H} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On désigne par I le milieu du segment [BC].
 
\textbf{Dans cet exercice, on admet que les droites (HD) et (DI) sont perpendiculaires.}

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que AH $= 3\sqrt{2}$, IA $= \dfrac{3\sqrt{5}}{2}$ et HI $= \dfrac{9}{2}$. 
		\item  Démontrer que $\cos \widehat{\text{HIA}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$.
		\item  En déduire la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{HIA}}$. Arrondir à $10^{- 1}$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item On désigne par $V$ le volume de la pyramide HAID. Montrer que $V = \dfrac{9}{2}$.
		 
\emph{On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par $\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\mathcal{B} \times   h$ où $\mathcal{B}$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur de la pyramide.} 
		\item  Dans cette question, on admet que $\sin \widehat{\text{HIA}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}}$.
		
\textbf{Ce résultat n'a pas à être démontré.}
 
En déduire la valeur exacte de l'aire du triangle HIA. 
		\item  Déduire de ce qui précède la valeur exacte de la distance du point D au plan défini par le triangle HIA. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 13 points}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm, on considère les points : P$_{0}(O~;~3)$; P$_{1}(0~;~7)$ et P$_{2}(5~;~3)$.
 
La courbe de Bézier $\mathcal{C}_{1}$ définie par ces points de contrôle est l'ensemble des points $M_{1}(t)$ tels que pour tout $t$ de l'intervalle [0~;~1] : 

\[\vect{\text{O}M_{1}}(t) = (1 - t)^2 \vect{\text{O}P_{0}} + 2t(1 - t)\vect{\text{O}P_{1}}~ + t^2 \vect{\text{O}P_{2}}.\]
 
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que les coordonnées $x_{1}$ et $y_{1}$ des points $M_{1}(t)$ de cette courbe ont pour  expression

\[ x_{1} = f_{1}(t) = 5t^2 \quad  \text{et} \quad  y_{1} = g_{1}(t) = - 8t^2 + 8t + 3.\]
 
\item  Étudier les variations des fonctions $f_{1}$ et $g_{1}$, définies sur [0~;~1] par 

$f_{1}(t) = 5t^2$ et $g_{1}(t) = - 8t^2 + 8t + 3$. 

Rassembler les résultats dans un tableau unique. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{1}$ en chacun des points $P_{0}$, (obtenu pour $t = 0$), $M_{1}(1/2)$ et $P_{2}$ (obtenu pour $t = 1$).
		
Sur une feuille de papier millimétré, placer ces points dans le repère défini ci-dessus et tracer les tangentes à la courbe $\mathcal{C}_{1}$ correspondantes. 
		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}_{1}$.
	\end{enumerate} 
\item On considère maintenant les points de contrôle :
 
\[P_{0}(0~;~3)~;~ P_{3}(0~ ;~-1)~;~ P_{4}(10~;~- 1)\quad  \text{et}~ P_{2}(5~;~3).\]
 
On admet que la courbe de Bézier $\mathcal{C}_{2}$ définie par ces quatre points est l'ensemble des points $M_{2}(t)$ de coordonnées 

\[x_{2} = f_{2}(t) = 30t^2 - 25t^3~~ \text{et}~~ y_{2} = g_{2}(t) = 12t^2 - 12t + 3,\]

où $t$ appartient à l'intervalle [0~;~1].
 
Le tableau des variations conjointes des fonctions $f_{2}$ et $g_{2}$, définies sur [0~;~1] par $f_{2}(t) = 30t^2 - 25t^3$ et $g_{2}(t) = 12t^2 - 12t + 3$ est le suivant :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(9,7)
\psframe(9,7)
\psline(0,2)(9,2) \psline(0,3)(9,3) \psline(0,5)(9,5) \psline(0,6)(9,6) 
\psline(1.5,0)(1.5,7)
\uput[u](0.75,6){$t$} \uput[u](1.65,6){$0$} \uput[u](4,6){$0,5$} \uput[u](6.5,6){$0,8$} \uput[u](8.8,6){$1$}
\uput[u](0.75,5){$f'_{2}(t)$} \uput[u](1.65,5){$0$} \uput[u](2.5,5){$+$} \uput[u](4,5){$11,25$} 
\uput[u](5.25,5){$+$} \uput[u](6.5,5){$0$} \uput[u](7.75,5){$-$} \uput[u](8.7,5){$- 15$} 
\rput(0.75,4){$f_{2}(t)$}\uput[u](1.65,3){$0$} \uput[d](6.5,5){$6,4$}\uput[u](8.8,3){5}
\uput[u](0.75,2){$g'_{2}(t)$} \uput[u](1.75,2){$-12$} \uput[u](2.75,2){$-$} \uput[u](4,2){$0$} \uput[u](6.5,2){$+$} \uput[u](8.8,2){$12$} 
\rput(0.75,1){$g_{2}(t)$} \uput[d](1.65,2){$3$} \uput[u](4,0){$0$}
\uput[d](8.8,2){$3$}
\psline{->}(1.8,3.3)(6.2,4.7)
\psline{->}(6.8,4.7)(8.6,3.2)
\psline{->}(1.8,1.7)(3.7,0.3)
\psline{->}(4.3,0.3)(8.6,1.8)
\end{pspicture}
\end{center} 

\medskip

Montrer que les courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ ont la même tangente aux points $P_{0}$ et $P_{2}$.
\item \emph{Dans cette question, tous les tracés sont à effectuer sur la figure du 3.} 
	\begin{enumerate}
		\item Donner un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{2}$ au point $M_{2}(1/2)$. Placer le point $M_{2}(1/2)$. 
		\item  Tracer la courbe $\mathcal{C}_{2}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}