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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Groupement E\\Concepteur en art céramique, Design de communication\\Design d'espace, Design de produit}}
\rfoot{\small{10 mai 2012}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Groupement E et Design d'espace session 2012}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Une municipalité étudie la proposition d'un cabinet d'architecture, afin de réaliser un centre d'observation du milieu naturel. L'un des projets propose, entre autres, le bâtiment que l'on représente sur la figure ci-dessous. destinée à l'élaboration d'une maquette. 

L'espace est muni du repère orthonormal \Oijk, d'axes (O$x$), (O$y$), (O$z$) et d'unité graphique 1~cm.
 
Les arêtes du tétraèdre OABD représentent la structure portante en bois et le triangle ABC une verrière plane en verre et métal.
 
On note P le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC) ; un mât métallique matérialisera le segment [OP]. 

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(10,10)
\pspolygon(3.4,3.7)(3.4,8.7)(8.7,2.9)(5.1,1)
\psline(3.4,8.7)(5.1,1)(4.5,6.4)(8.7,2.9)
\psline(0,4.25)(9.25,2.85)
\psline(1.5,1.4)(3.4,3.7)
\psline(3.4,8.7)(3.4,9.2)
\psline[linestyle=dashed](3.4,3.7)(5.6,6.3)
\psline[linestyle=dashed](3.4,3.7)(5.25,5.05)\uput[u](5.25,5.05){P}
\psline[linestyle=dashed](3.4,3.7)(4.5,6.4)\uput[u](4.5,6.4){D}
\uput[dl](3.4,3.8){O}\uput[d](5.1,1){A}\uput[dr](8.7,2.9){B}
\uput[l](3.4,8.7){C}\rput(1,1){$x$}\rput(9.7,2.7){$y$}\rput(3.4,9.4){$z$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](5.25,5.05)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip
 
Les points A, B, C, D ont pour coordonnées :
 
\[\text{A}(3~;~2~;~0) ;\quad  \text{B}(0~;~3~;~0) ;\quad  \text{C}(0~;~0~;~3)\:\: \text{et}\:\: \text{D}(0,6~;~0,8~;~2).\]

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}},\:\vect{\text{AC}}$  et $\vect{\text{AB}} \wedge \vect{\text{AC}}$. 
		\item Montrer que le plan (ABC) admet pour équation $x + 3y + 3z - 9 = 0$.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que l'aire du triangle ABC est égale à $\sqrt{42,75}$~cm$^2$.
 
(On rappelle que l'aire d'un triangle ABC est donnée par $\dfrac{1}{2}\left|\vect{\text{AB}} \wedge \vect{\text{AC}}\right\|$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item On admet que l'aire du triangle OAB est égale à 4,5 cm$^2$. En déduire la valeur exacte du volume de la pyramide OABC.
		 
(On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par $\dfrac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur.) 
		\item Calculer la valeur approchée, arrondie à $10^{-1}$, de la distance OP.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que le point D appartient au plan (ABC).  
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\vect{\text{OA}} \cdot  \vect{\text{OB}}$. 
		\item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous para\^{\i}t exacte. On ne demande aucune justification.\\ 
La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne 
	rapporte ni n'enlève de point.} 
	
La valeur approchée, arrondie à $10^{- 1}$ de la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
81~\degres&123,7~\degres&56,3~\degres\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip 
La figure étudiée précédemment correspond à une maquette à l'échelle $1/500$ de la future construction (1~cm sur la maquette représente 500~cm dans la réalité).
 
À l'aide des résultats précédents et sachant que le volume du tétraèdre OABD est de 3~cm$^3$, calculer, en valeurs approchées arrondies à l'unité :

\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item la longueur, en mètres, du mât métallique à installer ;
\item l'aire de la verrière (en m$^2$) ;
\item le volume qui sera disponible à l'intérieur du bâtiment en bois. 
\end{itemize}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip 
 
Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm, on considère 
les points : A(0~;~0) ; B(4~;~10) et C(6~;~0).
 
La courbe de Bézier $C_{1}$ définie par ces trois points de contrôle est l'ensemble des points $M(t)$ tels que, pour tout $t$ de l'intervalle [0~;~1] : 

\[\vect{\text{O}M(t)} = (1 - t)^2 \vect{\text{OA}} + 2t(1 - t ) \vect{\text{OB}} + t^2 \vect{\text{OC}}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que les coordonnées x et y des points M(t) de cette courbe ont pour expression : $x = f(t) = - 2t^2 + 8t$ et $y = g(t) = - 20t^2 + 20t$. 
\item Étudier les variations des fonctions $f$ et $g$ définies pour $t$ dans l'intervalle [0~;~1] par : 

\[f(t) = -2t^2 + 8t\quad  \text{et}\quad  g(t) = -20t^2 + 20t.\]
 
Rassembler les résultats dans un tableau unique. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner un vecteur directeur de la tangente à la courbe $C_{1}$ en chacun des points :
		 
A obtenu pour $t = 0$ ; M obtenu pour $t = 0,5$ et C obtenu pour $t = 1$. 
		\item Sur une feuille de papier millimétré, placer ces points dans le repère défini ci-dessus, et tracer les tangentes à la courbe $C_{1}$ correspondantes.
		 
Puis tracer $C_{1}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
  
On s'intéresse maintenant à la courbe de Bézier $C_{2}$ définie par les quatre points de contrôle A, D, E et C avec D(2~;~5) et E(5~;~5).
 
On admet que les coordonnées des points $N(t)$ de $C_{2}$ ont pour expression $x = u(t)$ et $y = v(t)$, où $u$ et $v$ sont des fonctions de la variable réelle $t$ définies sur [0~;~1] dont les variations sont données par le tableau suivant :

\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(9,5.5)
\psframe(9,5.5) \psline(0,2)(9,2)\psline(0,2.5)(9,2.5)\psline(0,4.5)(9,4.5)\psline(0,5)(9,5)
\psline(2,0)(2,5.5)
\uput[u](1,5){$t$}\uput[u](2.15,5){$0$}\uput[u](5.5,5){$0,5$}\uput[u](8.8,5){$1$}
\uput[u](1,4.5){$u^{\prime}(t)$}\uput[u](2.15,4.5){$6$}\uput[u](3.75,4.5){$+$}
\uput[u](5.5,4.5){$6,75$}\uput[u](7.25,4.5){$+$}\uput[u](8.8,4.5){$3$}
\uput[u](1,2){$v^{\prime}(t)$}\uput[u](2.15,2){$15$}\uput[u](3.75,2){$+$}\uput[u](5.5,2){$0$}\uput[u](7.25,2){$-$}\uput[u](8.6,2){$- 15$}
\rput(1,3.5){$u(t)$}\uput[u](2.15,2.5){0}\rput(5.5,3.5){3,375}
\uput[d](8.8,4.5){6}
\rput(1,1){$v(t)$}
\uput[u](2.15,0){$0$}
\uput[d](5.5,2){$3,75$}
\uput[u](8.8,0){$0$}
\psline{->}(2.5,2.8)(5.,3.4)\psline{->}(6,3.6)(8.5,4.2)
\psline{->}(2.5,0.5)(5.1,1.7)\psline{->}(6,1.7)(8.5,0.5)
\end{pspicture}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $C_{1}$ et $C_{2}$ admettent des tangentes communes en A et C. 
		\item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraÎt exacte. On ne demande aucune justification.\\
		 La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}
		  
Un vecteur directeur de la tangente à $C_{2}$ au point N obtenu pour $t = 0,5$ a pour coordonnées :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
(6,75~;~0)& (3,375~;~3,75)& (0~;~3,75)\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
	\end{enumerate} 
\item Placer les points D, E et N sur la figure commencée à la partie A, puis tracer l'allure de $C_{2}$. 
\end{enumerate}
\end{document}