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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement E\\Concepteur en art céramique\\Design de communication\\Désign d'espace\\Design de produit}}
\rfoot{\small{10 mai 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Groupement E et Design d'espace session 2011}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk{} d'unité graphique 1~cm.

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2.5,-3)(5,4.5)
%\psgrid
\psline(1.55,1.8)(-1.5,-1.7)%axe des x
\psline(-2.5,0.4)(4.2,-0.6)%axe des y
\psline(0,-3)(0,4)%axe des z
\psline(-1.2,-1.4)(2.2,-1.9)(3.4,-0.5)(3.4,2.75)(0,3.3)(-1.2,1.8)(2.2,1.3)(2.2,-1.9)%ABCGHEFB
\psline(3.4,2.75)(2.2,1.3)%GF
\psline(-1.2,1.8)(-1.2,-1.4)
\rput(-1.6,-1.7){$x$}\rput(4.3,-0.6){$y$}\rput(0,4.2){$z$}
\uput[ul](0,0){O} \uput[ul](-1.2,-1.4){A} \uput[d](2.2,-1.9){B} \uput[ur](3.4,-0.5){C} 
\uput[ur](3.4,2.75){G} \uput[ul](0,3.3){H} \uput[l](-1.2,1.8){E} \uput[dr](2.2,1.3){F} 
\uput[dl](0,-1.6){K} \uput[dr](2.65,-1.4){L}
\psdots(0,-1.6)(2.65,-1.4)(1.1,-0.15)(0,1.1)(-0.4,-0.467)
\uput[d](1.1,-0.15){1}\uput[ul](-0.4,-0.467){1}\uput[l](0,1.1){1}
\end{pspicture}
\end{center} 

\medskip

On a représenté ci-dessus un cube ABCOEFGH d'arête 3~cm.
 
On appelle K le point de [AB] tel que: AK $= \dfrac{1}{3}$AB, et L le point de [BC] tel que : 

BL $= \dfrac{1}{3}$BC. 

\medskip

\emph{A. Étude du triangle }KLF

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées des points B, F, K et L. 
\item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{FK}}$ et $\vect{\text{FL}}$ ont pour coordonnées : 

\[\vect{\text{FK}}(0~;~- 2~;~- 3) \quad \text{et} \quad \vect{\text{FL}}(- 1~;~0~;~- 3).  \]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les valeurs exactes de $\|\vect{\text{FK}}$\,;\, $\|\vect{\text{FL}}\|$ et $\vect{\text{FK}} \cdot  \vect{\text{FL}}$. 
		\item En déduire la valeur approchée arrondie à $10^{- 1}$ de la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{KFL}}$. 
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{FK}} \wedge  \vect{\text{FK}}$. 
		\item En déduire que l'aire du triangle KFL est égale à 3,5~cm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\emph{B. Étude du solide tronqué} AKLCOEFGH 

\medskip


On enlève au cube ABCOEFGH de départ, le tétraèdre KBLF. On obtient ainsi le solide tronqué AKLCOEFGH.
 
\begin{enumerate}
\item Donner sans justification la nature des faces du solide tronqué AKLCOEFGH. 
\item Montrer que l'aire totale de toutes les faces du solide AKLCOEFGH est égale à 52~cm$ ^2$. 
\item Calculer le volume du solide AKLCOEFGH. 

(On rappelle que le volume de la pyramide est donné par : $V = \dfrac{1}{3}B \times h$ où $B$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur de la pyramide.) 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

On utilise un modèle de Bézier pour créer un logo.

\medskip
  
Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 4~cm, on considère les points : 

\[\text{P}_{0}(0~;~0) \quad ;\quad \text{P}_{1}(1~;~0)\quad ; \quad \text{P}_{2}(1~;~1) \quad \text{et} \quad \text{P}_{3}(0~;~2).\]

La courbe de Bézier $\mathcal{C}$ définie par les quatre points de contrôle $\text{P}_{0},\, \text{P}_{1},\, \text{P}_{2},\, \text{P}_{3}$ est l'ensemble des points $M(t)$ tels que pour tout $t$ de l'intervalle [0~;~ 1] : 

\[\vect{\text{O}M}(t) = (1 - t)^3 \vect{\text{OP}_{0}} +3t(1 - t)^2\vect{\text{OP}_{1}}+3t^2(1 - t)\vect{\text{OP}_{2}} + t^3\vect{\text{OP}_{3}}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que les coordonnées $x$ et $y$ des points $M(t)$ de cette courbe ont pour expression: 

\[x = f(t) = - 3t^2 + 3t\quad  \text{et} \quad  y = g(t) = - t^3 + 3t^2.\]
 
\item Étudier les variations des fonctions $f$ et $g$, définies sur [0~;~ 1] par : 

\[f(t) =-3t^2 + 3t\quad  \text{et} \quad  g(t) = - t^3 + 3t^2.\]

Rassembler les résultats dans un tableau unique. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en chacun des points $\text{P}_{0}$, obtenu pour $t = 0$, $M\left(\dfrac{1}{2}\right)$, obtenu pour $t = \dfrac{1}{2}$ et $\text{P}_{3}$, obtenu pour $t = 1$.
		 
Sur une feuille de papier millimétré, placer ces points dans le repère défini ci-dessus et tracer les tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ correspondantes. 
		\item Placer le point $\text{P}_{2}$ sur la figure. 
 
Que représente le vecteur $\vect{\text{P}_{2}\text{P}_{3}}$ pour la courbe $\mathcal{C}$ ? 
		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}