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%Tapuscrit : Denis Vergès
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Groupement E\\Art céramique\\Expression visuelle}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Groupement E session 2007}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 7 points}

\medskip

%L'objectif de cet exercice est de déterminer le volume du pied d'une table de salon composée d'un plateau carré et d'un pied en forme de tétraèdre tronqué. Le pied de cette table est donc un tétraèdre auquel on a enlevé la partie supérieure (voir figure).
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(10,10)
%\psline(0,1.6)(5.3,0)(9.3,1.8)(5.6,6.3)(2.15,6.2)(4.1,5.8)(5.6,6.3)%BCAA'B'C'A'
%\psline(0,1.6)(2.15,6.2)%BB'
%\psline(5.3,0)(4.1,5.8)%CC'
%\psline[linestyle=dashed](5.6,6.3)(3.4,9.1)(4.1,5.8)%%A'SC'
%\psline[linestyle=dashed](2.15,6.2)(3.4,9.1)(3.6,1)%B'SH
%\psline[linestyle=dashed](0,1.6)(9.3,1.8)%BA
%\uput[r](9.3,1.8){A}  \uput[l](0,1.6){B}  \uput[d](5.3,0){C}  
%\uput[ur](5.6,6.3){A$'$}  \uput[ul](2.15,6.2){B$'$}  \uput[dr](4.1,5.8){C$'$} 
%\uput[u](3.4,9.1){S}  \uput[r](3.6,1){H}  \uput[r](3.4,6.2){H$'$} 
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\medskip
%
%On donne BC =  30~cm, AC  = 45~cm, AB =60~cm et la hauteur SH = 81~cm.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer l'angle $\widehat{\text{C}}$ du triangle ABC. Arrondir au degré.
On a $\text{AB}^2 = \text{BC}^2 + \text{AC}^2 - 2 \times \text{CB} \times \text{CA} \times \cos \widehat{\text{C}}$ soit :

$\np{3600} =  900 + \dfrac{\np{8100}}{4} - 2 \times 30 \times 45 \times \cos \widehat{\text{C}} \iff \np{2700}\cos \widehat{\text{C}} = \np{2925} - \np{3600} \iff \cos \widehat{\text{C}} = - \dfrac{675}{\np{2700}}$.

La calculatrice donne $\widehat{\text{C}} \approx 104$\,\degres.  
		\item  %Calculer l'aire du triangle ABC. Arrondir au cm$^2$.
L'aire est égale \`a $S = \dfrac{1}{2}\times \text{CB} \times \text{CA} \times \sin \widehat{\text{C}} \approx \dfrac{1}{2} \times 30 \times 45 \times 0,968$.

D'o\`u $S \approx 654$~cm$^2$ 
		\item  %Calculer le volume du tétraèdre SABC. Arrondir au cm$^3$.
		
%\emph{On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par :}

%\[V = \dfrac{1}{3}B \times h.\]
$V = \dfrac{1}{3} \times 654 \times 81 = \np{17658}$~cm$^3$.
%\emph{où $B$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur du tétraèdre.}
	\end{enumerate}
		
\item %Les plans (ABC) et (A$'$B$'$C$'$) sont parallèles et la hauteur du tétraèdre SA$'$B$'$C$'$ est SH$'= 27$~cm. On donne B$'$C$' = 10$~cm, A$'$C$'$ = 15~cm et A$'$B$' = 20$~cm.

%Calculer le volume $V'$ du tétraèdre SA$'$B$'$C$'$. Arrondir au cm$^3$.
Toutes les dimensions sont divisées par $3$, donc le volume est divisé par $3 \times 3 \times 3 = 27$.

On a donc $V' = \dfrac{V}{27} = \dfrac{\np{17658}}{27} = 654$~cm$^3$.
\item %Déduire des questions précédentes le volume du pied de cette table.
Le volume du pied de la table est égal \`a $V - V' = \np{17658} - 654 = \np{17004}$~cm$^3$
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 13 points}

\medskip

%Dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm, on considère la courbe $\mathcal{C}$ dont un système d'équations paramétriques est :
%
%\[\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
%\left\{\begin{array}{l c l c l}
%x&=&f(t)&=& \dfrac{5}{1+t^2}\\
%y&=&g(t)&=&t^2  - 3t\\
%\end{array}\right.~
%\text{où}~t~\text{appartient à l'intervalle}~ [-2~;~3].\] 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $f'(t)$ et $g'(t)$ ou $f'$ et $g'$ sont les fonctions dérivées respectives des fonctions $f$ et $g$.
Sur $[-2~;~3]$, on a :

$f'(t) = - \dfrac{5 \times 2t}{\left(1 + t^2 \right)^2} = - \dfrac{10t}{\left(1 + t^2 \right)^2}$ ;

$g'(t) = 2t - 3$.

\item %Étudier les signes respectifs de $f'(t)$ et $g'(t)$ lorsque $t$ varie dans l'intervalle $[-2~;~ 3]$.
Comme $\left(1 + t^2 \right)^2 \geqslant 1 > 0$, le signe de $f'(t)$ est celui de $- 10t$, donc positif pour $t < 0$ et négatif pour $t > 0$.

$g'(t) > 0 \iff 2t - 3 > 0 \iff t > \dfrac{3}{2}$ et 

$g'(t) < 0 \iff 2t - 3 < 0 \iff t < \dfrac{3}{2}$.
\item %Rassembler les résultats dans un tableau de variations unique.
D'o\`u le tableau de variations des deux fonctions :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(10,5.75)
\psframe(10,5.75)\psline(0,2)(10,2)\psline(0,4)(10,4)\psline(0,4.5)(10,4.5)\psline(0,5)(10,5)\psline(1,0)(1,5.75)
\uput[u](0.5,5){$t$} \uput[u](1.25,5){$- 2$} \uput[u](4,5){$0$} \uput[u](7,5){$\frac{3}{2}$} \uput[u](9.8,5){$3$}
\rput(0.5,4.75){$x'$} \rput(2.5,4.75){$+$}\rput(4,4.75){$0$}\rput(5.5,4.75){$-$}\rput(8.5,4.75){$-$}
\rput(0.5,4.25){$y'$} \rput(2.5,4.25){$-$}\rput(5.5,4.25){$-$}\rput(7,4.25){$0$}\rput(8.5,4.25){$0$}
\rput(0.5,3){$x$}\rput(0.5,1){$y$}
\uput[u](1.2,2){1}\uput[d](4,4){5}\rput(7,3){$\frac{20}{13}$}\uput[u](9.6,2){$\frac{1}{2}$}
\uput[d](1.25,2){10}\rput(4,1){0} \uput[u](7,0){$- \frac{9}{4}$}\uput[d](9.8,2){0}
\psline{->}(1.5,2.5)(3.5,3.5) \psline{->}(4.5,3.5)(9.5,2.5)
\psline{->}(1.5,1.5)(6.5,0.5)\psline{->}(7.5,0.5)(9.5,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\item %Déterminer un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en chacun des quatre points E, F, G et H obtenus respectivement pour $t = -2$, pour $t  = 0$, pour $t =  1,5$ et pour $t = 3$.
Tangente en E : $t = - 2$ ; vecteur dérivé $(x'(-2)~;~y'(- 2)) = \left(\frac{4}{5}~;~- 7\right)$ ; pente de la tangente : $\dfrac{y'(-2)}{x'(-2)} = - \dfrac{35}{4}$ ;

Tangente en F : $t = 0$ ; vecteur dérivé $(x'(-2)~;~y'(- 2)) = (0~;~- 3)$ ;pente de la tangente : infinie ; tangente verticale ;

Tangente en G : $t = 1,5$ ; vecteur dérivé $(x'(-2)~;~y'(- 2)) = \left(- \frac{240}{169}~;~0\right)$ ; pente de la tangente : nulle : tangente horizontale

Tangente en H : $t = 3$ ; vecteur dérivé $(x'(-2)~;~y'(- 2)) = \left(- \frac{3}{10}~;~3\right)$ ; pente de la tangente : $- \dfrac{35}{4}$.

\item %Placer les points E, F, G et H et tracer avec précision sur une feuille de papier millimétré la tangente en chacun de ces points, puis la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-3)(6,11)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,-3)(6,11)
\parametricplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{-2}{3}{5 1 t dup mul add div  t dup mul 3 t mul sub}
\psdots(1,10)(5,0)(1.538,-2.25)(0.5,0)
\uput[r](1,10){E}\uput[ur](5,0){F}\uput[d](1.538,-2.25){G}\uput[ul](0.5,0){H}
\psline[arrowsize=3pt 4]{<->}(0.538,-2.25)(2.538,-2.25)
\psline[arrowsize=3pt 4]{<->}(5,-1)(5,1)
\psline[arrowsize=3pt 4]{<->}(0.9,10.975)(1.1,9.125)
\psline[arrowsize=3pt 4]{<->}(0.4,1)(0.6,-1)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}