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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Groupement D}}
\rfoot{\small{10 mai 2011}}
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\thispagestyle{empty}
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\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Groupement D session 2011}  
\end{center}

\textbf{EXERCICE 1 }\hfill 11 points

\medskip

\textbf{\emph{Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}}

\bigskip

\textbf{A. Résolution d'une équation différentielle }

\medskip

On considère l'équation différentielle   

\[(E) : \quad 5y'+y = \text{e}^{-0,2t},\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, et $y'$ la fonction dérivée de la fonction $y$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ de l'équation différentielle 

 \[(E_0)\;:\quad 5y'+y=0.\]
 
\item Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : $h(t)=at\text{e}^{-0,2t}$,

où $a$ est une constante réelle.

Déterminer $a$ pour que la fonction $h$ soit une solution particulière de l'équation différentielle  $(E)$.

\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle  $(E)$.
\item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle  $(E)$ qui vérifie la condition initiale : 

\[f(0) = 0.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Étude d'une fonction.}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : 

\[f(t) = 0,2t \text{e}^{-0,2t}.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

Montrer que pour tout $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$ : $f'(t) = (-0,04t + 0,2)\text{e}^{-0,2t}$.
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et donner son tableau de variations. On précisera les valeurs remarquables de $t$ et $f(t)$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous. On arrondira les résultats à $10^{-2}$.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$x$ & 0 & 2,5 & 5 & 10 & 15 & 20 & 25 \\ \hline 
$f(x)$ &  &  &  &  &  &  &  \\  \hline 
\end{tabularx} 
\end{center}
		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ sur la feuille de papier millimétré fournie.

Sur l'axe des $x$, 2 cm représentent 5 unités. Sur l'axe des $y$, 2~cm représentent 0,05 unités.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Application}

\medskip

À l'aide d'une perfusion, on injecte pendant cinq minutes un médicament  antalgique à un patient. Après l'injection, l'organisme élimine peu à peu le médicament.

On s'intéresse à la quantité de médicament  présente dans l'organisme du patient au cours du temps. L'instant $t = 0$ correspond au début de l'injection.

On fait l'hypothèse qu'à l'instant $t$, exprimé en minute (min), la quantité de médicament  exprimée en millilitre (ml), est égale à $f(t) = 0,2t\text{ e}^{-0,2t}$, où $f$ est la fonction étudiée dans la partie \textbf{B}.

\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement, à une minute près, l'instant à partir duquel la quantité de médicament  \textbf{redevient} inférieure à 0,05 ml.

On fera apparaître les traits de construction utiles sur le graphique.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par 
		
\[F(t) = (- t - 5)\text{e}^{-0,2t}.\]
		
Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$.
		\item En déduire la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~23]. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée arrondie à $10^{-2}$.
		\item Que représente la valeur moyenne calculée au \textbf{b.} dans le contexte de l'exercice ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 2 } \hfill 9 points

\medskip

\begin{center}
\textbf{\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}}
\end{center}

Une usine fabrique des tubes  en polyéthylène pour le chauffage géothermique.

On s'intéresse à trois types de tubes  appelés tubes  de type 1, tubes  de type 2 et tubes  de type 3.
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{A. Loi normale}

\medskip

Un tube  de type 1 est accepté au contrôle si son épaisseur est comprise entre 1,35 millimètres et 1,65 millimètres.

\begin{enumerate}
\item On désigne par $X$ la variable aléatoire  qui, à chaque tube  de type 1 prélevé au hasard dans la production d'une journée associe son épaisseur exprimée en millimètre.

On suppose que la variable aléatoire  $X$ suit la loi normale de moyenne  1,5 et d'écart-type  0,07.

Calculer la probabilité qu'un tube  de type 1 prélevé au hasard dans la production de la journée soit accepté au contrôle. On donnera le résultat arrondi à $10^{-2}$.
\item L'entreprise désire améliorer la qualité de la production des tubes  de type 1 : Il est envisagé pour cela de  modifier le réglage des machines produisant ces tubes .

On note $X_1$ la variable aléatoire  qui, à chaque tube  de type 1, prélevé dans la production future, associera son épaisseur. On suppose que la variable aléatoire  $X_1$ suit une loi normale de moyenne  1,5 et d'écart-type  $\sigma_1$.

\medskip

Déterminer $\sigma_1$ pour que la probabilité qu'un tube  de type 1 prélevé au hasard dans la production future soit accepté au contrôle soit égale à 0,99.

On donnera le résultat arrondi à $10^{-2}$.
\end{enumerate}

\textbf{B. Loi binomiale}

\medskip

On considère un lot de tubes  de type 2.

On note $E$ l'évènement   : \og un tube  prélevé au hasard dans ce lot de tubes  de type 2 est défectueux \fg. On suppose que $P(E) = 0,02$.

On prélève au hasard 20 tubes  de type 2 dans ce lot pour vérification.

Le lot est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement  de 20 tubes  de type 2 à un tirage avec remise.

\medskip

On considère la variable aléatoire  $Y_1$ qui, à tout prélèvement de 20 tubes  de type 2, associe le nombre de tubes  défectueux de ce prélèvement.
\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire  $Y_1$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
\item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus un tube  soit défectueux.

On donnera le résultat arrondi à $10^{-2}$.
\end{enumerate}  

\textbf{C. Test d'hypothèse}

\medskip

Un client a passé une commande de tubes  de type 3. La longueur de ces tubes  doit être de 300 millimètres. On se propose de construire un test d'hypothèse bilatéral pour contrôler, au moment de la livraison, la moyenne  $\mu$ de l'ensemble des longueurs, en millimètres, des tubes  de type 3.

On note $Z$ la variable aléatoire  qui, à chaque tube  de type 3 prélevé au hasard dans la livraison, associe sa longueur en millimètres. La variable aléatoire  $Z$ suit la loi normale de moyenne  inconnue $\mu$ et d'écart-type  $\sigma = 1$.

On désigne par $\overline{Z}$ la variable aléatoire  qui, à chaque échantillon aléatoire de 100 tubes  de type 3 prélevés dans la livraison, associe la moyenne  des longueurs, en millimètres, des tubes  de cet échantillon. La livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise.

L'hypothèse nulle est $H_0$ : $\mu = 300$. L'hypothèse alternative est $H_1$ : $\mu \neq  300$.

Le seuil de signification du test est fixé à 0,05.

\begin{enumerate}
\item Sous l'hypothèse $H_0$, on admet que la variable aléatoire  $\overline{Z}$ suit la loi normale de moyenne  300 et d'écart-type  $\dfrac{1}{\sqrt{100}} = 0,10$.

Déterminer sous cette hypothèse le nombre réel positif $h$ tel que :

\[P(300-h\leqslant \overline{Z} \leqslant 300+h)=0,95.\]

On donnera le résultat arrondi à $10^{-2}$.

\item En déduire la règle de décision permettant d'utiliser ce test.
\item On prélève un échantillon de 100 tubes  de type 3 dans la livraison et on observe que, pour cet échantillon, la moyenne  des longueurs des tubes  est :

\[\overline{z}\approx 299,90\:\text{valeur arrondie à }10^{-2}.\]

Peut-on, au seuil de 5\,\%, conclure que la livraison est conforme pour la longueur ?
\end{enumerate} 
\end{document}