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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Groupement D}}
\rfoot{\small{15 mai 2012}}
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\thispagestyle{empty}
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\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Groupement D session 2012}  
\end{center}

\textbf{EXERCICE 1 }\hfill 11 points

\medskip

Cet exercice propose l'étude de la contamination accidentelle d'un cours d'eau par un polluant.
 
La partie B est consacrée à l'étude d'une fonction qui permet d'exprimer, dans la partie C, la concentration de polluant dans l'eau en fonction du temps.
 
\begin{center}Les deux premières parties de l'exercice peuvent être traitées de façon indépendante. \end{center}

\textbf{A. Résolution d'une équation différentielle} 

\medskip

On considère l'équation différentielle 

\[(\text{E})\: :\quad  y^{\prime} + 0,25 y = 3\text{e}^{-t},\]
 
où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, et $y^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $y$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ de l'équation différentielle 

\[\left(\text{E}_{0}\right)\: :\quad  y^{\prime} + 0,25y = 0\]
 
\item Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par : $h(t) = -4\text{e}^{-t}$. 

Démontrer que $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle (E). 
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E). 
\item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale : 

\[f(0) = 75.\]

\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{B. Étude d'une fonction et calcul intégral}

\medskip

 Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par : 
 
 \[f(t) = 79\text{e}^{-0,25t}  - 4\text{e}^{-t}.\]
  
On désigne par $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij. Sur l'axe des $x$ l'unité est : 0,5~cm. Sur l'axe des $y$ l'unité est : 0,25~cm. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. Que peut-on en déduire pour la courbe $C$ ? 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ : 
		
\[f^{\prime}(t) = \text{e}^{-0,25t} \left(-19,75 + 4\text{e}^{-0,75t}\right)\]
 
		\item Justifier que pour tout $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ : $-19,75 + 4\text{e}^{- 0,75 t} < 0$.
		\item En déduire Le signe de $f^{\prime}(t)$ et le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter, après l'avoir reproduit sur la copie, le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs de $f(t)$ \textbf{seront arrondies au dixième}. 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0	&5		&10		&15		&20 	&25 \\ \hline
$f(t)$	&	&22,6	&		&1,9	&0,5	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
		\item Construire la courbe $C$ sur une feuille de papier millimétré. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~20] est : 
		
\[V_{m}= \dfrac{1}{20}(-316\text{e}^{-5} + 4\text{e}^{-20} + 312)\] 

		\item Donner la valeur approchée de $V_{m}$ arrondie au dixième.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{C. Exploitation des résultats de la partie B}
 
On admet que, $t$ semaines après la contamination, la concentration de polluant dans l'eau, exprimée en milligramme par litre, est $\dfrac{1}{3}f(t)$, où $f$ est la fonction étudiée dans la partie B.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La baignade est sans danger lorsque la concentration de polluant dans l'eau est inférieure ou égale à 2,5~milligrammes par litre. En utilisant la courbe $C$ construite au 3. b. de la partie B, déterminer au bout de combien de semaines la baignade peut être autorisée.
 
Laisser apparents les traits utiles sur le graphique. 
\item Quelle est la valeur moyenne, au cours des 20 semaines suivant la contamination, de la concentration de polluant dans l'eau ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 2 }\hfill 9 points

\medskip 

\begin{center}\textbf{Toutes les parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}\end{center}
 
\textbf{A. Probabilités conditionnelles}

\medskip

\emph{On rappelle que la probabilité qu'un évènement $E$ se réalise sachant qu'un évènement $F$ (de probabilité non nulle) est réalisé se note $P_{F}(E)$ et vérifie : $P_{F}(E) = \dfrac{p(E \cap F)}{P(F)}$.}

\medskip

À la suite d'une campagne de vaccination lancée par l'Organisation Mondiale de la Santé (OMS) pour lutter contre une pandémie, on estime que, dans une population donnée, il ne reste plus que 1\,\% de personnes non vaccinées.
 
D'après une étude, on estime également que 95\,\% des personnes vaccinées sont immunisées contre le virus de la pandémie et que 20\,\% des personnes non vaccinées sont naturellement immunisées contre ce virus.
 
On choisit au hasard une personne dans la population concernée. 

On note A l'évènement : \og la personne choisie est vaccinée \fg, 

et B l'évènement : \og la personne choisie est immunisée contre le virus \fg.
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la probabilité que la personne choisie soit immunisée contre le virus est égale à \np{0,9425}. 
\item Calculer la probabilité que la personne choisie ait été vaccinée sachant qu'elle est immunisée contre le virus. Arrondir au millième. 
\end{enumerate}

\textbf{B. Loi binomiale et approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson} 

\medskip

On admet que 1\,\% des personnes d'une population donnée n'a pas été vacciné.
 
On prélève au hasard $400$ personnes de ce11e population. L'effectif de la population est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $400$ personnes. 
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de $400$ personnes, associe le nombre de personnes de ce prélèvement n'ayant pas été vaccinées.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi. 
\item Calculer la probabilité qu'un prélèvement de $400$ personnes contienne au plus une personne non vaccinée. Arrondir au millième. 
\item On admet que la loi de $X$ peut être approchée par une loi de Poisson. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le paramètre $\lambda$ de cette loi de Poisson. 
		\item On désigne par $X_{1}$  une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ a la valeur obtenue au a.
		 
Calculer une valeur approchée de $P\left(X_{1} > 5\right)$ arrondie au millième. Interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\textbf{C. Approximation d'une loi binomiale par une loi normale} 

\medskip

On estime que 20\,\% des personnes non vaccinées sont naturellement immunisées contre le virus.
 
Parmi les personnes non vaccinées, on prélève au hasard 200~personnes.
 
On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de 200~personnes parmi les personnes non vaccinées, associe le nombre de personnes de ce prélèvement qui ne sont pas immunisées contre le virus. 
On admet que $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $200$ et $0,8$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère que la loi suivie par $Y$ peut être approchée par une loi normale. Montrer que les paramètres de cette loi normale sont : 

\[m = 160\:\: \text{et}\:\: \sigma \approx   5,66 \:(\text{valeur de $\sigma$ arrondie au centième}).\]
 
\item On désigne par $Y_{1}$ une variable aléatoire suivant la loi normale de paramètres $m = 160$ et $\sigma = 5,66$.
 
On souhaite calculer la probabilité qu'il y ait, dans un prélèvement de 200~personnes, entre 155 et 165 personnes non immunisées contre le virus en utilisant la loi de $Y_{1}$  et en tenant compte de la correction de continuité.
 
Pour cela, calculer une valeur approchée de $P(154,5\leqslant Y_{1} \leqslant 165,5)$ arrondie au centième. 
\end{enumerate}
\end{document}