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%Tapuscrit : Olivier Reboux
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe C}}
\rfoot{\small{mai 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Métropole--Antilles--Guyane \\ session 2010 - groupement C}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip

{%
  \centering \hfill
  \textbf{Les deux parties A et B peuvent être traitées de façon
    indépendante.} \hfill ~
}%

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item Résoudre l'équation différentielle : $2y''+y'-y=0$ où $y$ est
    une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois
    dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels, $y'$ est la
    fonction dérivée de $y$ et $y''$ est la fonction dérivée seconde
    de $y$.
  \item Déterminer les nombres réels $a$ et $b$ pour que la fonction
    $g$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par $g(x) =
    ax+b$ soit une solution de l'équation différentielle :
    \begin{equation*}
      \tag{E}
      2y'' + y' - y = -x + 2.
    \end{equation*}
  \item En déduire les solutions de l'équation (E) sur
    l'ensemble $\R$ des nombres réels.
  \end{enumerate}
\item Déterminer la solution $f$ de l'équation (E) qui
  vérifie $f(0) = 0$ et $f'(0) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $f(x)
= \text{e}^{-x} + x - 1$.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans
un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm.
\begin{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item Calculer $f'(x)$ et étudier son signe.
  \item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
  \item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
  \end{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que la droite $\mathcal{}D$ d'équation $y = x- 1$ est
    asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de $+\infty$.
  \item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à
    la droite $\mathcal{D}$.
  \item Tracer l'asymptote $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{D}$.
  \item Calculer $\int_{0}^{2} \text{e}^{-x}\:\text{d}x$ et en déduire l'aire
    $\mathfrak{A}$, en cm$^2$, de la portion du
    plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, la droite
    $\mathcal{D}$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 2$. On donnera
    la valeur exacte puis la valeur décimale arrondie au centième de
    l'aire $\mathfrak{A}$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip
{%   
  \hfill \textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de
    façon indépendante. } \hfill~

 \hfill~ \textbf{Les résultats approchés sont à arrondir à} \boldmath $10^{-2}$.\unboldmath \hfill ~
}%

\medskip

Une entreprise fabrique en très grande série une pièce technique de
précision en matière plastique. Les questions posées se rapportent à
la mesure d'une des cotes de cette pièce.

\textbf{A Loi normale}

\medskip

Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque pièce prélevée au hasard
dans la production, associe sa cote en millimètres.

On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu = 60,3$ et
d'écart-type $\sigma$.

On qualifie de conforme toute pièce dont la cote est comprise entre
59,5~mm et 61,1~mm.
\begin{enumerate}
\item Dans cette question on pose $\sigma = 0,4$. Calculer la
  probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la production soit conforme.
\item Quelle valeur faut-il donner à l'écart-type $\sigma$ pour que la
  probabilité d'obtenir une pièce conforme soit égale à $0,99$.
\end{enumerate}

\textbf{B Loi binomiale et loi de Poisson}

\medskip

On admet que 95\:\% des pièces produites sont conformes.

On note $Y$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $80$
pièces prises au hasard dans la production, associe le nombre de
pièces non conformes.

La production est assez importante pour qu'on puisse assimiler tout
échantillon de $80$ pièces à un échantillon aléatoire prélevé avec
remise.

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale
  dont on déterminera les paramètres.
\item Calculer la probabilité que l'on ait exactement trois pièces non conformes.
\item On considère que la loi $Y$ peut-être approchée par une loi de Poisson.
	\begin{enumerate}
		\item Donner le paramètre de cette loi.
		\item Calculer la probabilité d'obtenir au plus trois pièces non conformes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  début Corrigé %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{Corrige}
  \Partie{}
  \begin{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item C'est une équation différentielle du deuxième ordre à
      coefficient constant sans second membre. Étudions les racines de
      l'équation caractéristique : $2r^2 + r -1 =0$.  $\Delta = 1 + 8
      = 9 > 0$. Il y a donc deux racines réelles : $r_1 =
      \frac{-1-3}{4} = -1$ et $r_2 = \frac{-1 + 3}{4}= \frac{1}{2}$.

      Les solutions de l'équation différentielle sont donc de la forme
      :
      \[
      y = A\e^{-x} + B\e^{0,5x}.
      \]
    \item $g$ est solution de l'équation différentielle
      (\ref{eq_GrpC_10A}), donc $g$ vérifie :
      \[
      2g''(x) + g'(x) - g(x) = x+2. 
      \]
      Or $g'(x) =a$ et $g''(x) = 0$, donc $-ax +a - b = -x + 2$.

      Par identification, on a :
      $a = 1$ et $a-b = 2$, donc $b = -1$.

      La solution particulière est donc donnée par : $g(x) =  x -1$.
    \item Les solutions de l'équation (\ref{eq_GrpC_10A}) sont donc de
      la forme :
      \[
      A\e^{-x} + B\e^{0,5x} +x -1.
      \]
    \end{enumerate}
  \item $f(0) = 0$, donc $A + B -1 = 0$. 

    $f'(x) = -A\e^{-x} +\frac{B}{2}\e^{0,5x} +1$, donc $f'(0) = -A +
    \frac{B}{2} +1 = 0$.

    En additionnant ces deux équations, on obtient : $\frac{3}{2}B
    =0$, soit $B = 0$. Et donc $A = 1$.

    La solution $f$ cherchée est donc : 
    \[
    f(x) =  \e^{-x} + x-1.
    \]
  \end{enumerate}
  \Partie{}
  \begin{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item $f'(x) = -\e^{-x} + 1$.

      $-\e^{-x} + 1 < 0$ revient à résoudre $1 < \e^{-x}$, soit en
      prenant le $\ln$ de chaque côté du signe $<$, $\ln(1) < \ln\left
        ( \e^{-x}\right) = -x$. Comme $\ln(1) = 0$, on en déduit que
      $0 < -x$, soit $x > 0$.

      Donc $f'(x) < 0$ pour $x < 0$.

      De la même manière on a $f'(x) > 0 $ pour $x < 0$.
    \item $\lim_{x \to +\infty} \e^{-x} = 0$, donc $\lim_{x \to
        +\infty} f(x) = +\infty$.
    \item On obtient le tableau \ref{tab_GrpC_10A_C}.
      \begin{table}[!h]
        \centering
        \begin{variations}
          x &\; 0 & & +\infty\; \\
          \filet
          f'(x) & 0 & + & \\
          \filet
          \m{f} & 0 & \c & \h{+\infty} \\
        \end{variations}
        \caption{ }
        \label{tab_GrpC_10A_C}
      \end{table}
    \end{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Calculons $\lim_{x \to +\infty} f(x) - ( x-1) = \lim_{x \to
        +\infty} \e^{-x} = 0$.

      Donc la droite $\mathcal{D}$ est asymptote à la courbe
      $\mathcal{C}$ en $+\infty$.
    \item Étudions le signe de $f(x) - (x-1) = \e^{-x} > 0$ car une
      exponentielle est toujours positive. Donc $f(x) > x -1$. On en
      déduit que la courbe $\mathcal{C}$ est toujours au dessus de
      l'asymptote $\mathcal{D}$.
    \item On obtient la figure \ref{fig_GrpC_10A}.
      \begin{figure}[!h]
        \centering
        \begin{pspicture}(-1,-1)(12,10) 
          \psset%
          {%
            xunit=2,%
            yunit=2,%
            PointSymbol=none,%
            PointName=none,%
            algebraic,%
          }%
          \psclip%
          {\psframe[linestyle=none](0,-0.1)(6,5)}%
          {%
            \pscustom 
            % Aire sous une courbe 
            [%
            fillstyle=solid,%
            fillcolor=SandyBrown,%
            ]%
            {%
              \psplot[plotpoints=250]{0}{2}{EXP(-x)+x-1}%
              \psline(2,1)(1,0)(0,0)
            }%
            \psplot[plotpoints=250]{0}{6}{EXP(-x)+x-1}%
            \psplot[plotpoints=2,linecolor=blue]{1}{6}{x-1}%
            \psplotTangent[arrows=<->,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{0}{1}{2.71828^(-x)+x-1}
          }%
          \endpsclip%
          \psaxes%
          [%
          Dx=1,%
          Dy=1,%
          ysubticks=4,%
          xsubticks=4,%
          labelsep=-0.5cm,%
          xlabelPos=axis,%
          ylabelPos=axis,%
          subticksize=1,%
          xticksize=0 5,%
          yticksize=0 6,%
          tickcolor=gray,%
          axesstyle=frame,%
          ]%
          {->}(0,0)(6,5)
        \end{pspicture}
        \caption{}\label{fig_GrpC_10A}
      \end{figure}
    \item $\int_{0}^{2} \e^{-x} \dd x = \left [ -\e^{-x}\right]_0^2
      =-\e^{-2} +1 \text{ u.a } = 4 - 4\e^{-2}
      \si{\centimetre\squared} \approx \SI{3.46}{\centimetre\squared}$.
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{Corrige}
%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "../electronique"
%%% End:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  corrigé exercice 2  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{Corrige}
  \Partie{}
  \begin{enumerate}
  \item $P\left (59,5 \leqslant X \leqslant 61,1 \right) = P(- 2 \leqslant T \leqslant 2 )
    = 1 - 2P(T \leqslant 2) \approx 0,95$. $T$ suivant la loi
    $\mathcal{N}(0\,;\,1)$.
  \item On cherche $\sigma$ tel que :
    \[
    P\left ( \frac{59,5-60,3}{\sigma} \leqslant T \leqslant
      \frac{61,1-60,3}{\sigma}\right) = 2P\left ( T \leqslant
      \frac{0,8}{\sigma}\right) - 1 = 0,99.
    \]
    Soit $P\left ( \frac{0,8}{\sigma}\right) = 0,995$. Par lecture de
    la table, on doit avoir $ \frac{0,8}{\sigma} = 2,575$. Donc
    $\sigma = \frac{0,8}{2,575} \approx 0,31$.
  \end{enumerate}
\Partie{}
\begin{enumerate}
\item On prélève sans remise (mais dans un échantillon suffisamment
  grand) $80$ fois, une pièce qui est conforme ou non avec une
  probabilité de $0,95$. Donc, $Y$ suit une loi binomiale
  $\mathcal{B}(80\,;\,0,95)$.
\item $P(Y = 77) = C_{80}^{77} 0,95^{79}(1-0,95)^{77} \approx 0,20$.
\item
  \begin{enumerate}
  \item $Y$ est approché par une loi de Poisson de même moyenne. La
    moyenne de $Y$ est : $80 \times 0,95 = 76$. Donc $Y$ est proche
    d'une loi de Poisson de paramètre $\lambda = 76$.
  \item Au lieu de s'intéresser à $Y$, on va s'intéresser à $\bar{Y}$,
    le nombre de pièces défectueuses.

    $\bar{Y}$ suit une loi de Poisson de paramètre $4$.

    $P( \bar{Y}\leqslant 4) = \frac{\e^{-4} \times 4^0}{0 !} +
    \frac{\e^{-4} \times 4^1}{1 !} +  \frac{\e^{-4} \times 4^2}{2 !} +
    \frac{\e^{-4} \times 4^3}{3 !} \approx 0,43$.
  \end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{Corrige}
%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "../electronique"
%%% End: 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin exercice 2  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%