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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe C}}
\rfoot{\small{10 mai 2011}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\session 10 mai 2011 - groupement C}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}

\medskip
 
\textbf{Partie A : Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle 

\[(E) :\quad  y'' + 2y' + y  = 2\]
 
dans laquelle $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R$,\, $y'$ désigne la fonction dérivée de $y$, et $y''$ désigne sa dérivée seconde.
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre sur $\R$ l'équation différentielle 

\[\left(E_{0}\right) :\quad  y'' + 2y' + y = 0.\]
 
\item Soit un réel $b$. On définit sur $\R$ la fonction constante $g$ par : $g(x) = b$.
 
Déterminer $b$ pour que la fonction $g$ soit une solution particulière de l'équation $(E)$. 
\item En déduire les solutions de l'équation $(E)$. 
\item Déterminer la fonction $f$, solution particulière de l'équation $(E)$ sur $\R$, qui vérifie les conditions : $f(0) =3$ et $f\left(- \dfrac{1}{2}\right) = 2$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude d'une fonction}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = (2x + 1)\text{e}^{-x} + 2.\] 
 
On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm.
 
La courbe $\mathcal{C}$ est représentée en annexe qui devra être rendue avec la copie.
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$  en $- \infty$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En écrivant $f(x) = 2x\text{e}^{-x} + \text{e}^{-x} + 2$, déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
		\item En déduire l'existence d'une asymptote $D$ à $\mathcal{C}$ dont on donnera une équation. 
		\item Tracer $D$ sur le graphique fourni en annexe.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On appelle $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $\R$.
		 
Montrer que pour tout réel $x,\, f'(x) = (1 - 2x)\text{e}^{-x}$. 
		\item Étudier les variations de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations sur $\R$. 
	\end{enumerate}
\item Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par : 

\[F(x) = (- 2x - 3)\text{e}^{-x} + 2x.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$. 
		\item Calculer la mesure $\mathcal{A}$, en cm$^2$, de l'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 2$. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième de $\mathcal{A}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip 

\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}

\medskip

\emph{Les valeurs approchées sont à arrondir à $10^{-3}$.}

\medskip
 
Une usine fabrique en grande série des disques de diamètre théorique 238 millimètres.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Un disque est considéré comme conforme pour son diamètre si ce diamètre, exprimé en mm, est dans l'intervalle [237,18~;~238,82]. Dans le cas contraire, le disque est non-conforme.

\medskip
 
On définit par $X$ la variable aléatoire qui à tout disque produit associe son diamètre en mm. On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne $238$ et d'écart type $0,4$. 

Calculer la probabilité qu'une pièce prise au hasard dans la production soit conforme pour son diamètre.

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère dans cette partie un stock important de disques. On suppose que 4\,\% des disques de ce stock n'ont pas un diamètre conforme.
 
On prélève au hasard dans ce stock des lots de $50$ disques pour vérification du diamètre.
 
Le nombre de disques de ce stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler chaque prélèvement à un tirage avec remise de $50$ disques.
 
On définit par $Y_{1}$ la variable aléatoire qui à chaque lot de $50$ disques associe le nombre de disques non-conformes pour leur diamètre.
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que $Y_{1}$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. 
\item On prélève un lot de 50 disques. Calculer la probabilité que tous les disques de ce lot aient un diamètre conforme. 
\item Dans cette question, on décide d'approcher $Y_{1}$ par une variable aléatoire $Y_{2}$ qui suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda$.
 	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $\lambda = 2$. 
		\item À l'aide de l'approximation de $Y_{1}$ par $Y_{2}$, calculer la probabilité que le lot prélevé ait au plus 3 disques non-conformes pour leur diamètre.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
Une grande quantité de disques est livrée à un client. Celui-ci se propose de construire un test bilatéral au risque de 5\,\%, afin de vérifier si la moyenne $\mu$ de l'ensemble des diamètres des disques de la livraison est égale à 238~mm.
 
On désigne par $\overline{Z}$ la variable aléatoire qui à tout échantillon de 45 disques prélevé dans la livraison associe la moyenne des diamètres de ces 45 disques (la livraison est suffisamment importante pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise).
 
L 'hypothèse nulle est $H_{0} : \og  \mu = 238 \fg$.
 
\begin{enumerate}
\item Quelle est l'hypothèse alternative $H_{1}$ ? 
\item Sous l'hypothèse $H_{0}$, on suppose que la variable aléatoire $\overline{Z}$ suit la loi normale de moyenne $238$ et d'écart type $0,06$.
 
Déterminer sous cette hypothèse le réel $h$ tel que : $P(238 - h \leqslant  \overline{Z} \leqslant 238 + h) = 0,95$. 
\item Énoncer la règle de décision du test. 
\item On prélève au hasard un échantillon 45 disques dans la livraison. La moyenne des diamètres des disques de cet échantillon est $\overline{z} = 237,91$~mm.
 
Peut-on, au seuil de 5\,\%, conclure que la moyenne des disques de la livraison est de $238$~mm ? 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe (à rendre avec la copie)}

\vspace{2,5cm}

\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-3,-4)(5.5,4.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-4)(5.5,4.5)
\uput[d](5.5,0){$x$}\uput[l](0,4.5){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](3.5,2.2){$\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.31}{5.5}{2 x  mul 1 add 2.71828 x exp div 2 add}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-3,-4)(5.5,4.5)
\end{pspicture} 
\end{center}

\end{document}