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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : Didier Mazot
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{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe C}}
\rfoot{\small{15 mai 2012}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole\decofourright\\ session 15 mai 2012 - groupement C}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

\medskip

\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment}

%\bigskip
% 
%\parbox{0.2\linewidth}{\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(1.5,4.5)
%%\psgrid
%\def\boule{\pscurve[fillstyle=solid,fillcolor=gray](-0.2,0.2)(-0.1,0.05)(0.1,0.05)(0.2,0.2)(0,0.2)(-0.2,0.2)\pscurve(-0.2,0.2)(-0.05,0.3)(0,0.35)(0.05,0.3)(0.2,0.2)}
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.15,3.5)(1.35,0)
%\psline(0.15,4)(0.15,0)(1.35,0)(1.35,4)
%\rput(0.8,3.2){\boule}\rput(0.6,2.8){\boule}\rput(0.8,1.2){\boule}\rput(0.5,0.9){\boule}
%\rput(0.75,1.8){\boule}
%\psarc(0.15,4.5){0.5}{-90}{0}
%\psarc(1.35,4.5){0.5}{180}{270}
%\psarc(0.75,3){1.5}{87}{93}
%\end{pspicture}
%\end{center}} \hfill
%\parbox{0.75\linewidth}{Le thermomètre de Galilée est composé d'un cylindre en verre clos rempli d'un liquide dans lequel on a placé des petites boules de même volume et de masses différentes. Lorsque la température du liquide varie, les boules vont monter ou descendre, indiquant ainsi la température ambiante.}
%
%\bigskip
 
\textbf{Partie 1}

\medskip

%Lors de la construction d'un tel thermomètre, l'étude de la chute d'une boule dans un fluide conduit à l'équation différentielle: 
%
%\[(\text{E})\:\::\qquad  y^{\prime} + \dfrac{1}{2} y = \dfrac{13}{2}\] 
%
%où $y$ est une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ et où $y^{\prime}$ est la fonction dérivée de $y$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Résoudre l'équation différentielle 

%\[y^{\prime} + \dfrac{1}{2} y = 0\]
L'équation à résoudre est équivalente à l'équation $y^{\prime} = - \dfrac{1}{2} y$, qui est de la forme $y^{\prime}= ay$.

Nous savons que les solutions de ces équations sont les fonctions $h$ de la forme $h(t) = k\text{e}^{at}$, avec $k \in \R$.

Les solutions de l'équation sont donc les fonctions $h$ telles que $h(t) = k\text{e}^{- \frac{1}{2}t}$, avec $k \in \R$. 
\item %Déterminer le réel $k$ tel que la fonction $g$, définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $g(t) = k$, soit une solution particulière de l'équation (E).
La fonction $g$ doit vérifier l'équation (E) donc : $g^{\prime}(t) + \dfrac{1}{2}g(t) = \dfrac{13}{2}$ soit  $0 + \dfrac{1}{2}k = \dfrac{13}{2}$, d'où $k = 13$.
Ainsi $g(t) = 13$. 
\item %En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E). 
On sait que les fonctions solutions de l'équation linéaire du premier ordre avec second membre (E) sont les fonctions somme des fonctions $h$ solutions de l'équation sans second membre  et d'une solution particulière de (E) (par exemple la fonction $g$ trouvée au 2.). 

L'ensemble des fonctions solutions de (E) sont donc les fonctions $f$ vérifiant $f = h + g$ soit : 

\[f(t) = k\text{e}^{- \frac{1}{2}t} + 13.\]

\item %Déterminer la fonction $f$, définie sur $[0~;~+ \infty[$, solution de l'équation différentielle (E) qui vérifie $f(0) = 0$.
$f(0) = 0$ équivaut à , soit $k + 13 = 0$, d'où $k = - 13$.

La solution de (E) vérifiant la condition initiale $f(0) = 0$ est donc la fonction vérifiant pour tout $t$ réel de $[0~;~+ \infty[$, \: $f(t) = - 13\text{e}^{- \frac{1}{2}t} + 13$, soit 

\[f(t) = 13\left(1 - \text{e}^{- \frac{1}{2}t} \right).\] 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 2}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 
%
%\[f(t) = 13 \left(1 - \text{e}^{- \frac{1}{2}t}\right).\]
%
%Le plan est muni d'un repère orthogonal. La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ est représentée sur le graphique joint en annexe 1,  à rendre avec la copie.
 
\begin{enumerate}
\item %Soit $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. Calculer $f^{\prime}(t)$.
On vérifie que la fonction $f$ proposée est celle trouvée à l'issue de la partie 1 (comme d'habitude...).

$f$ est de la forme $k \times u$, donc sa dérivée $f^{\prime}$ sera de la forme  $k \times u^{\prime}$.

$f^{\prime}(t) = 13 \left(0 - \left( - \dfrac{1}{2}\right)\text{e}^{- \frac{1}{2}t} \right)$, soit $f^{\prime}(t) = \dfrac{13}{2}\text{e}^{- \frac{1}{2}t}$. 
\item %Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
Pour étudier les variations de $f$, on étudie le signe de sa dérivée : puisque est $\text{e}^{- \frac{1}{2}t}$ toujours strictement positif,   $f^{\prime}$ est toujours strictement positive, donc $f$ est strictement croissante sur $[0~;~+ \infty[$ :

\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(6,3.5)
\psframe(6,3.5)\psline(0,2)(6,2)\psline(0,3)(6,3)\psline(1,0)(1,3.5)
\psline{->}(1.5,0.5)(5.5,1.5)
\uput[u](0.5,3){$x$} \uput[u](1.15,3){$0$} \uput[u](5.5,3){$+ \infty$}
\rput(0.5,2.5){$f^{\prime}(t)$}\rput(0.5,1){$f(t)$} \uput[u](1.15,0){0}\uput[d](5.5,2){13}
\rput(3.5,2.5){$+$}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\item %Démontrer que $\mathcal{C}$ admet une asymptote horizontale $\mathcal{D}$ dont on précisera une équation.
Pour montrer que $\mathcal{C}$ admet une asymptote horizontale $\mathcal{D}$, il suffit d'observer que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}13 \left(1 - \text{e}^{- \frac{1}{2}t}\right) = 13$. En effet, lorsque $t$ tend vers  $+ \infty$,\: $\text{e}^{- \frac{1}{2}t}$ tend vers $0$.

Ainsi $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 13$ : la droite $\mathcal{D}$  d'équation $y = 13$ est donc asymptote horizontale à $\mathcal{C}$  en  $+ \infty$. 
\item %Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. Tracer $T$ sur le graphique joint en annexe 1,  à rendre avec la copie.
On sait que l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe représentative d'une fonction $f$ au point d'abscisse $a$ est : $T$ \:\: $y - f(a) = f^{\prime}(a)(x - a)$, soit dans notre cas : $T$\:\: .
$y - f(0) = f^{\prime}(0)(x - 0)$.

Or $f(0) = 0$ et  $f^{\prime}(0) = \dfrac{13}{2}$, donc $T$ : \:\:$y = \dfrac{13}{2}x$ (voir graphique ci-dessous). 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 3}

\medskip

%On admet que la vitesse de chute de la boule à l'instant $t$ est égale à $f(t)$. La vitesse est exprimée en mm.s$^{-1}$ et le temps est donné en secondes.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer graphiquement à partir de quel instant la vitesse de chute de la boule dépasse 10 mm.s$^{-1}$.
Comme $f$ est strictement croissante, il suffit de déterminer graphiquement l'antécédent de $10$ : on trouve environ $2,9$ (cf. graphique). Ainsi, c'est au bout de $2,9$~secondes environ que la vitesse de la boule dépasse  10 mm.s$^{-1}$.
\item %Retrouver le résultat précédent par le calcul.
Il suffit de résoudre l'équation $f(t) = 10$ :
 
$f(t) = 10$ ou $13 \left(1 - \text{e}^{- \frac{1}{2}t}\right) = 10$ soit

$1 - \text{e}^{- \frac{1}{2}t} = \dfrac{10}{13}$ ou encore $\text{e}^{- \frac{1}{2}t} = \dfrac{3}{13}$

et en prenant le logarithme népérien :

$- \dfrac{1}{2}t = \ln \left(\dfrac{3}{13} \right)$

et finalement $t = - 2 \ln \left(\dfrac{3}{13} \right) \approx 2,93$. 
														
On retrouve bien la valeur trouvée graphiquement. 
\item %Calculer la vitesse moyenne $V_{m}$ de chute de la boule entre les instants $t = 2$ et $t = 4$. On donnera une valeur exacte puis une valeur approchée à $0,01$ près. 
Rappelons que cette formule est aimablement fournie par le formulaire :

$V_{m} = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^b f(t)\:\text{d}t$ ; on a donc ici effectivement : 

$V_{m} = \dfrac{1}{4 - 2}\displaystyle\int_{2}^4 f(t)\:\text{d}t = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{2}^4 f(t)\:\text{d}t$,  soit $V_{m} = \dfrac{1}{2}[F(t)]_{2}^4$, où $F$ est une primitive de $f$.

Or  $f(t) = 13 \left(1 - \text{e}^{- \frac{1}{2}t}\right)$, soit $- 13 \text{e}^{- \frac{1}{2}t} + 13$ d'où, $F(t) = - 13 \dfrac{\text{e}^{- \frac{1}{2}t}}{- \frac{1}{2}} + 13t$ soit  $F(t) = 13t + 26\text{e}^{- \frac{1}{2}t}$.

Ainsi $V_{m} = \dfrac{1}{2}[F(4) - F(2)] = \dfrac{1}{2}\left[\left(13 \times 4 + 26 \text{e}^{-0,5 \times 4} \right) -  \left(13 \times 2 + 26\text{e}^{-0,5 \times 2} \right)\right]$.

Soit $V_{m} = \dfrac{52+ 26\text{e}^{- 2} - 26 - 26 \text{e}^{- 1}}{2}$ et finalement : $V_{m} = 13\left( 1 + \text{e}^{- 2} - \text{e}^{- 1}\right)$.

$V_{m}\approx 9,97$~mm.s$^{- 1}$. 
%On rappelle que $V_{m} = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{2}^4  f(t)\:\text{d}t$.
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment}

%\medskip
% 
%Une usine fabrique des pièces en bois dont la cote principale C doit être égale à 15~mm.
%
%\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip 

%Pour un réglage donné de la machine-outil qu'il utilise pour la réalisation de ces pièces, un opérateur s'est aperçu que la cote, obtenue dans les conditions de mise en {\oe}uvre sur un chantier, varie en fonction du taux d'humidité du bois, lors du travail en atelier. Il réalise quelques mesures, dont les résultats sont donnés dans le tableau suivant :
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Rang $i$& 1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline 
%$t_{i}$ : taux d'humidité& 11,2 &11,6 &12 &12,4 &12,8 &13\\ \hline 
%$C_{i}$ : cote (en mm)& 15,25 &15,17 &15,07 &14,93 &14,82 &14,81\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
% 
%Le nuage de cette série statistique $\left(t_{i}~;~C_{i}\right)$ est donné en annexe 2, à rendre avec la copie.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Donner l'équation de la droite $\mathcal{D}$ d'ajustement de $C$ en $t$, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à $10^{-3}$ près.
En saisissant les données à la calculatrice, on obtient l'équation suivante :   

$C = - 0,262t + 18,2$. 
\item %Tracer la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique fourni en annexe 2,  à rendre avec la copie.
Voir \`a la fin. 
\item %Avec le réglage donné de la machine, si l'on se réfère à cet ajustement, donner, par la méthode de votre choix, le taux d'humidité du bois utilisé pour obtenir la cote attendue (c'est-à-dire 15~mm).
Pour déterminer, à l'aide de cet ajustement, le taux d'humidité à utiliser pour obtenir la cote de 15mm :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item on peut lire sur le graphique l'abscisse du point de $\mathcal{D}$ d'ordonnée 15 : on lit $t \approx 12,2$ ;
\item ou bien résoudre l'équation   $C = 15$, soit  $-  0,262 t + 18,2 = 15$, qui nous donne  $t = \dfrac{15 - 18,2}{- 0,262}$, soit $t \approx 12,2$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
  
%Dans cette usine, on maintient dorénavant le taux d'humidité du bois à une valeur constante. Les pièces en bois sont fabriquées en grande série dans deux ateliers SUD et NORD.
% 
%L'atelier SUD produit 100 pièces par jour et l'atelier NORD produit 400 pièces par jour. 
%
%Après fabrication, on constate que 2\,\% des pièces produites par l'atelier SUD et 3\,\% de celles de l'atelier NORD présentent un défaut de finition.
% 
%À la fin de la journée, on choisit au hasard une pièce dans la production totale de la journée. 
%
%Calculer la probabilité que cette pièce ne présente aucun défaut de finition. 
Notons les évènements suivants :

$N$ : \og  la pièce choisie au hasard provient de l'atelier NORD \fg

$S$ : \og  la pièce choisie au hasard provient de l'atelier SUD \fg

$D$ : \og  la pièce choisie au hasard est défectueuse \fg

Construisons un arbre pondéré traduisant les données de l'énoncé.

\begin{center}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
	\pstree{\TR{S}\taput{$\frac{1}{5}$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$D$}\taput{$0,02$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{D}$}\tbput{$0,98$}
 		}
	\pstree{\TR{N}\tbput{$\frac{4}{5}$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$D$}\taput{$0,03$}
 \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{D}$}\tbput{$0,97$}
 		}
}		
\end{center}

On remarque  que $p(S) = \dfrac{1}{5}$ : en effet l'atelier SUD produit 100 pièces sur un total de 500 pièces.
 
De même $p(N) = \dfrac{4}{5}$.

On cherche $p\left(\overline{D} \right)$. En vertu de la loi des probabilités totales, on a, $p\left(\overline{D} \right) = p\left(S \cap \overline{D} \right) + p\left(N \cap \overline{D} \right)$
soit, $p\left(\overline{D} \right) = p(S) \times p_{S}\left(\overline{D}  \right) + p(N) \times p_{N}\left(\overline{D}  \right)$ d'où $p\left(\overline{D} \right) = \dfrac{1}{5}\times 0,98 + \dfrac{4}{5}\times 0,97 = \dfrac{243}{250} = 0,972$.

La probabilité qu'une pièce prise au hasard ne soit  pas défectueuse est donc de 97,2\,\%.
\medskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip  

%On s'intéresse, dans cette partie, aux pièces fabriquées qui n'ont aucun défaut de finition. 
%
%On admet que la variable aléatoire qui donne la cote $C$ des pièces suit une loi normale de moyenne 15 et d'écart type $\sigma$.
% 
%Une pièce est acceptée si sa cote se situe dans l'intervalle [14,9~;~15,1]. 
% 
\begin{enumerate}
\item %Quelle est la probabilité qu'une pièce soit acceptée, lorsque $\sigma = 0,05$ ?
On passe de la variable $C(\mathcal{N}(15~;~0,05))$ à la variable $T(\mathcal{N}(0~;~1))$ par le changement de variable $T = \dfrac{C - \mu}{\sigma}$, soit $T = \dfrac{C - 15}{0,05}$. 

Une pièce est conforme lorsque  $14,9 \leqslant C \leqslant 15,1$.

On a alors : $p(14,9 \leqslant C \leqslant 15,1) = p(14,9 - 15 \leqslant C - 15 \leqslant 15,1 - 15)$

$p(14,9 \leqslant C \leqslant 15,1) = p(p \left(\dfrac{14,9 - 15}{0,05}  \leqslant \dfrac{C - 15 }{0,05} \leqslant \dfrac{15,1 - 15}{0,05}) \right)$
		
$p(14,9 \leqslant C \leqslant 15,1) = p(- 2 \leqslant 2)$ ou $p(14,9 \leqslant C \leqslant 15,1) = \Pi(2) - \Pi(- 2)$					
	
$p(14,9 \leqslant C \leqslant 15,1) = \Pi(2) - [1 - \Pi(2)] = 2\Pi(2) - 1 \approx 2 \times \np{0,9772} - 1$
	
$p(14,9 \leqslant C \leqslant 15,1) = \approx \np{0,9544}$	
				
La probabilité que la pièce soit acceptée est donc de 95,44\,\% environ. 
\item %Déterminer la valeur de $\sigma$ pour que la probabilité qu'une pièce soit refusée soit égale à $0,002$.
La probabilité que la pièce soit acceptée doit donc être égale à $0,998$. On résout donc l'équation : 

$p(14,9 \leqslant C \leqslant 15,1) = 98\,\%$.

$\sigma$ étant inconnu, on applique ici le changement de variable $T' = \dfrac{C - 15}{\sigma}$ :

$p(\dfrac{14,9 - 15}{\sigma} \leqslant \dfrac{C - 15}{\sigma} \leqslant \dfrac{15,1 - 15}{\sigma})$

$p\left(\dfrac{-0,1}{\sigma} \right) \leqslant T' \leqslant \dfrac{0,1}{\sigma} = 99,8\,\%$, donc

$\Pi\left(\dfrac{0,1}{\sigma}  \right) - \Pi\left(\dfrac{-0,1}{\sigma} \right) = 99,8\,\%$

$2\Pi\left(\dfrac{0,1}{\sigma}  \right) - 1 = 99,8\,\%$ ou $\Pi\left(\dfrac{0,1}{\sigma}  \right)  = 0,999$.

On lit dans la table de la loi normale centrée réduite que, 

$\dfrac{0,1}{\sigma}\approx 3,1$ soit $\sigma \approx \dfrac{0,1}{31}$, ainsi $\sigma \approx 0,03$. 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie D}

\medskip 

%Les responsables de l'usine souhaitent contrôler, à l'aide d'un test bilatéral au seuil de risque de 5 \,\%, que la cote moyenne de l'ensemble des pièces de la production de l'usine est bien égale à 15~mm. 
%
%Pour cela, ils projettent de réaliser un tirage d'un échantillon de 50~pièces de la production. 
%
%On admet pour la suite que les tirages d'un tel échantillon sont des tirages avec remise.
%
%\medskip 

\begin{enumerate}
\item %Donner l'hypothèse nulle H$_{0}$ et l'hypothèse alternative H$_{1}$ qui seront utilisées pour ce test. 
L'hypothèse H$_{0}$ est :  « $\mu = 15$ » , où $\mu$ est la cote moyenne en mm de l'ensemble des pièces de la production.

L'hypothèse alternative est H$_{1}$ : « $\mu \neq 15$ »

%On appelle $\overline{\text{C}}$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 50~pièces, associe la cote moyenne des pièces de l'échantillon.
 
%On admet que, sous l'hypothèse nulle, $\overline{\text{C}}$ suit la loi normale de moyenne $15$ et d'écart type $0,02$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le réel $h$ tel que $P\left(15 - h \leqslant  \overline{\text{C}} \leqslant 15 + h\right) = 0,95$. 
Appliquons le changement de variable $\overline{T} = \dfrac{\overline{C} - \mu}{\sigma}$, soit ici : $\overline{T} = \dfrac{\overline{C} - 15}{0,02}$.

$p(15 - h \leqslant \overline{C} \leqslant  15 + h) = 0,95$ soit, $p(- h \leqslant  \overline{C} - 15 \leqslant h) = 0,95$

puis $p\left(\dfrac{- h}{0,06} \leqslant \dfrac{\overline{C} - 238}{0,06} \leqslant \dfrac{h}{0,06} \right) = 0,95$ d'où : $p\left(\dfrac{- h}{0,02} \leqslant T \leqslant \dfrac{h}{0,02} \right) = 0,95$

$\Pi\left(\dfrac{h}{0,02}\right) - \Pi\left(\dfrac{- h}{0,02} \right) = 0,95$ soit $2\Pi\left(\dfrac{h}{0,02}\right) - 1 = 0,95$ donc : 

$\Pi\left(\dfrac{h}{0,02}\right) = 0,975$.

À l'aide du formulaire , on obtient : $\dfrac{h}{0,02} \approx 1,96$ soit $h \approx 0,04$. 

L'intervalle de confiance au risque de 5\,\% est donc $I_{95\,\%} = [15 - 0,04~;~15 + 0,04]$, soit $I_{95\,\%} = [14,96~;~15,04]$.
		\item %Énoncer la règle de décision du test.
Règle de décision du test : 

$\star$ si la cote moyenne de l'échantillon est dans l'intervalle $I_{95\,\%} = [14,96~;~15,04]$, l'hypothèse H$_{0}$ est validée

$\star$ sinon , l'hypothèse H$_{1}$ est validée.		 
	\end{enumerate}
\item %Les responsables disposent, pour ce test, d'un échantillon de 50~pièces. La cote moyenne des pièces de cet échantillon est $15,02$. 

%Au vu de cet échantillon, peuvent-ils considérer que la cote moyenne de l'ensemble des pièces de la production est égale à 15~mm ? 
On applique la règle énoncée au dessus : 

puisque la cote moyenne de l'échantillon est $15,02$, qui appartient à l'intervalle $I_{95\,\%} = [14,96~;~15,04]$, l'hypothèse H$_{0}$ est validée : on peut considérer, avec un risque de 5\,\%, que la cote moyenne de l'ensemble de la production est égale à 15~mm. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE 1, À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{2cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,14)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(12,14)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\uput[u](10.75,13){$\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{12}{1 2.71828 0.5 x mul neg exp sub 13 mul}
\psplot{0}{2.1}{6.5 x mul}\uput[l](2,13){$T$}
\psline(0,13)(12,13) \uput[u](8,13){$\mathcal{D}$}
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{->}(0,10)(2.92,10)(2.92,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE 2, À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{2cm}
\psset{xunit=5cm,yunit=12cm}
\begin{pspicture}(2.2,0.9)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=11,Oy=14.50,Dx=0.2,Dy=0.05,comma=true](0,0)(2.2,0.9)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=11,Oy=14.50,Dx=0.2,Dy=0.05,comma=true]{->}(0,0)(2.2,0.9)
\multido{\n=0.00+0.04}{56}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,0.9)}
\uput[u](10.75,13){$\mathcal{C}$}
\multido{\n=0.0+0.2}{12}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,0.9)}
\multido{\n=0.00+0.05}{19}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](0,\n,)(2.2,\n)}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](0.2,0.75)(0.6,0.67)(1,0.57)(1.4,0.43)(1.8,0.32)(2,0.31)
\uput[d](1.1,-0.05){Taux d'humidité}\rput{90}(-0.25,0.45){Cote en mm}
\psline(0,0.818)(2.2,0.2416)\uput[u](0.2,0.77){$\mathcal{D}$}\rput{-32}(0.6,0.7){$C = 18,2 - 0,262t$}
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{->}(0,0.5)(1.2,0.5)(1.2,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}