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%Merci à Clotilde Rouchon de nous avoir communiqué ce sujet 
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie Groupe B}}
\rfoot{\small{novembre 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ novembre 2010 - groupement B Nouvelle-Calédonie}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip

\begin{center} \textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}
\end{center}
 
\emph{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip
 
On considère l'équation différentielle 

\[(\text{E}) :\quad  y' - 3 y = - \text e^{3x}\]
 
où la fonction inconnue $y$, de la variable réelle $x$, est définie et dérivable sur $\R$ et $y'$ désigne sa fonction dérivée.
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions définies sur $\R$ de l'équation différentielle 

\[\left(\text{E}_{0}\right) :\quad  y'-3y  = 0.\]
 
\item  Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = - x\text e ^{3x}$.
 
Démontrer que la fonction $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle (E). 
\item  En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E). 
\item  Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale $f(0) = 1$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\emph{B. Étude d'une fonction}

\medskip 

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = (1 - x) \text{e}^{3x}$. Sa courbe représentative ~ est donnée dans un repère orthogonal ci-dessous. 

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm} 
\begin{pspicture}(-2,-4)(2,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-2,-4)(2,4)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](2,0){$x$} \uput[l](0,4){$y$}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{1.134}{1 x sub 2.71828 3 x mul exp mul}
\uput[dl](1,0){1}\uput[ul](0,1){1}\uput[u](0.5,2.2){$\mathcal{C}$}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=1pt,gridcolor=orange,griddots=15](-2,-4)(2,4)
\end{pspicture} 
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. 

		\item \emph{Pour cette question, une seule réponse A, B, C est exacte. Indiquer sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. On ne demande aucune justification.\\
La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip
 
La courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote en $- \infty$ dont une équation est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Réponse $A$& Réponse $B$&Réponse $C$\\ \hline
$y = 1 - x$&$x = 0$&$y = 0$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout réel $x,~f'(x) = (2 - 3x) \text e^{3x}$. 
		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $f'(x) \geqslant 0$. 
		\item Établir le tableau de variations de $f$.
		 
(La valeur de $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$ n'est pas demandée.) 
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide du développement limité au voisinage de $0$ de la fonction 
		
$t \longmapsto \text e^t$, donner le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction $x \longmapsto \text e^{3x}$. 
		\item  En déduire que le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction $f$ est :
		
		\[ f(x) = 1 + 2x + \dfrac{3}{2}x^2 + x^2 \epsilon(x)\quad  \text{avec} \quad  \displaystyle\lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0.\]
		 
\emph{Pour les questions 3. c. et 3. d., une seule réponse $A, B, C$ est exacte.\\
Indiquer sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. On ne demande aucune justification.\\
La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. }
 		\item  Une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0 est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 	Réponse $A$& Réponse $B$&Réponse $C$\\ \hline	 
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$y = \dfrac{3}{2}x^2$& $y = 1 + 2x$& $y = 1$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item  Au voisinage du point d'abscisse 0, la courbe $\mathcal{C}$ est:

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 	Réponse $A$& Réponse $B$&Réponse $C$\\ \hline		 
au-dessous de la tangente $T$ pour tout $x$.&au-dessus de la tangente $T$ pour tout $x$.&au-dessous de la tangente $T$ quand $x < 0$ et au-dessus quand $x > 0$.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\emph{C. Calcul intégral}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On note I $= \displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)\:\text{d}x$ où $f$ est la fonction définie dans la partie $B$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que I $= \dfrac{\text{e}^3 - 7\text{e}^{-3}}{9}$. 
		\item  Donner la valeur de I, arrondie à $10^{- 2}$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner, sans justification, le signe de $f(x)$ pour $x$ dans l'intervalle $[- 1~;~1]$. 
		\item  Interpréter graphiquement le nombre I.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip

\begin{center} \textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes}\end{center}
 
\emph{Une entreprise produit en grande série des plaques métalliques rectangulaires pour l'industrie automobile.}
 
\begin{center}
 \textbf{Dans ce qui suit, les résultats approchés sont à arrondir à}\boldmath $10^{-1}$\unboldmath
\end{center}
 
\emph{A. Loi binomiale}

\medskip
 
On note $E$ l'évènement : \og une plaque prélevée au hasard dans la production d'une journée est défectueuse \fg. 

On suppose que $P(E) = 0,02$.
 
On prélève au hasard $50$~plaques dans la production de la journée pour vérification. La production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $50$~plaques.
 
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de plaques de ce prélèvement qui sont défectueuses. 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 
\item Calculer les probabilités $P(X = 0)$ et $P(X = 1)$. 
\item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux plaques soient défectueuses.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\emph{B. Loi normale} 

\medskip

Une plaque de ce type est conforme pour la longueur lorsque sa longueur $L$, exprimée en millimètres, appartient à l'intervalle [548~;~552]. Une plaque de ce type est conforme pour la largeur lorsque sa largeur $\ell$, exprimée en millimètres, appartient à l'intervalle [108~;~112].
 
\begin{enumerate}
\item On note $L_{1}$ la variable aléatoire qui, à chaque plaque de ce type prélevée au hasard dans un stock important, associe sa longueur $L$. On suppose que la variable aléatoire $L_{1}$ suit la loi normale de moyenne 550 et d'écart type 1. 

Calculer $P(548 \leqslant  L_{1} \leqslant 552)$. 
\item  On note $L_{2}$ la variable aléatoire qui, à chaque plaque de ce type prélevée au hasard dans le stock, associe sa largeur 1. On admet que 

$P\leqslant (108 \leqslant L_{2} \leqslant 112) = 0,95$. 

On suppose que les variables aléatoires $L_{1}$ et $L_{2}$ sont indépendantes. 

On prélève une plaque au hasard dans le stock. Déterminer la probabilité qu'elle soit conforme pour la longueur et conforme pour la largeur. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\emph{C. Intervalle de confiance}

\medskip

Dans cette partie on considère une grande quantité de plaques devant être livrées à une chaîne de montage de véhicules électriques. On considère un échantillon de $100$~plaques prélevées au hasard dans cette livraison. La livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise.
 
On constate que $94$~plaques sont sans défaut. 
\begin{enumerate}
\item Donner une estimation ponctuelle de la fréquence inconnue $p$ des plaques de cette livraison qui sont sans défaut. 
\item Soit $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $100$~plaques prélevées au hasard et avec remise dans cette livraison, associe la fréquence des plaques de cet échantillon qui sont sans défaut. 

On suppose que $F$ suit la loi normale de moyenne $p$ et d'écart type $\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{100}}$,où $p$ est la fréquence inconnue des plaques de la livraison qui sont sans défaut.
 
Déterminer un intervalle de confiance de la fréquence $p$ avec le coefficient de confiance 95\:\%. 
\end{enumerate}


\end{document}