%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe B}}
\rfoot{\small{Nouvelle--Calédonie novembre 2009-}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Nouvelle--Calédonie~\decofourright \\session 2009 - groupement B}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip
\begin{center}
\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante} \end{center}

\medskip

\emph{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip 

On considère l'équation différentielle 

\[(\text{E})~~:\quad  y'' + 2y' - 3 y = - 4 \text{e}^x,\]
 
où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\R,~ y'$ la fonction dérivée de $y$ et $y''$ sa fonction dérivée seconde.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer les solutions définies sur $\R$ de l'équation différentielle 

\[\left(\text{E}_{0}\right) : y'' + 2y' - 3y = 0.\] 
\item  Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = -x\text{e}^x$.
 
Démontrer que la fonction $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle (E). 
\item  En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E). 
\item  Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle (E) qui vérifie les conditions initiales $f(0) = 2$ et $f'(0) = 1$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{B. Étude d'une fonction}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = (2 - x)\text{e}^x.\]
 
Sa courbe représentative $\mathcal{C}$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous. 

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-0.5)(2.5,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-2.5,-0.5)(2.5,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=8,linewidth=1pt](-3,-1)(2.5,3)
\uput[d](2.4,0){$x$}\uput[l](0,2.9){$y$}\uput[dr](0,0){O}\uput[dl](1,0){1}\uput[dl](0,1){1}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-2.5}{2.06}{2 x sub 2.71828 x exp mul}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout réel $x,~f'(x) = (1 - x)\text{e}^x$. 
		\item  Donner les valeurs exactes des coordonnées du point S où la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ est parallèle à l'axe des abscisses.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le développement limité à l'ordre 3, au voisinage de 0, de la  fonction $f$ est $f(x)=2 + x - \dfrac{x^3}{6} + x^3 \epsilon(x)$ avec $\displaystyle\lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0$.  
		\item Déduire du a. une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. 
		\item Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et $T$ au voisinage de ce point.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\emph{C. Calcul intégral}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On note $I = \displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que $I = 2\text{e} - 3$. 
		\item Donner la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ de $I$. 
	\end{enumerate} 
\item On note $J = \displaystyle\int_{0}^1 \left(2 + x - \dfrac{x^3}{6}\right)\:\text{d}x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $J = \dfrac{59}{24}$. 
		\item Donner la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ de $J$.
	\end{enumerate} 
\item On désigne par $S$ l'aire, en unités d'aires, de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$.
 
On désigne par $S_{1}$ l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan limitée par la courbe  représentative de la fonction $f_{1}$ définie sur $\R$ par $f_{1}(x) = 2 + x - \dfrac{x^3}{6}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$.
 
On admet que, pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~ 1],~$f_{1}(x) \geqslant  f(x)$. Donner la valeur exacte de $S_{1} - S$.
 
En déduire la valeur approchée arrondie à $10^{- 2}$ de $S_{1} - S$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip

\begin{center} \textbf{Les quatre parties de cet exercice sont indépendantes} \end{center}

\medskip
 
\emph{Une entreprise produit en grande série un accessoire d'un certain type pour l'industrie automobile.}

\medskip
 
\emph{A. Évènements indépendants}

\medskip
 
\begin{center} \textbf{Dans cette partie, donner les valeurs exactes des probabilités} \end{center}

\medskip
 
Chaque accessoire fabriqué peut présenter deux défauts, que l'on désigne par défaut $a$ et défaut $b$.
 
On prélève au hasard un accessoire dans la production d'une journée. On note $A$ l'évènement : \og l'accessoire présente le défaut $a$ \fg{} et $B$ l'évènement : \og l'accessoire présente le défaut $b$ \fg.

On suppose que $P(A) = 0,02$ et que $P(B) = 0,01$.
 
On suppose que les évènements $A$ et $B$ sont indépendants.
 
\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité qu'un accessoire prélevé au hasard dans la production de la journée présente le défaut $a$ et le défaut $b$. 
\item  Calculer la probabilité qu'un accessoire prélevé au hasard dans la production de la journée présente au moins un des deux défauts. 
\item  Calculer la probabilité qu'un accessoire prélevé au hasard dans la production de la journée ne présente aucun des deux défauts $a$ et $b$.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Dans ce qui suit, les résultats approchés sont à arrondir à}~ \boldmath$10^{-1}$ \unboldmath\end{center}

\medskip
 
\emph{B. Loi binomiale}

\medskip
 
On considère un stock important d'accessoires. 
On note $E$ l'évènement : \og un accessoire prélevé au hasard dans le stock d'accessoires est défectueux. \fg
 
On suppose que $P(E) = 0,03$.
 
On prélève au hasard 20~accessoires dans le stock d'accessoires pour vérification. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 20~accessoires.
 
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre d'accessoires de ce prélèvement qui sont défectueux.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 
\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, aucun accessoire ne soit défectueux. 
\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus un accessoire soit défectueux. 
\end{enumerate}

\medskip

\emph{C. Approximation d'une loi binomiale par une loi normale}

\medskip

Les accessoires sont livrés par lots de \np{1000}.
  
On prélève au hasard un lot de  \np{1000} dans le dépôt de l'entreprise. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de  \np{1000} accessoires.
 
On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de  \np{1000} accessoires, associe le nombre d'accessoires défectueux parmi ces  \np{1000} accessoires.
 
On admet que la variable aléatoire $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n =  \np{1000}$ et $p = 0,03$.

 On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire $Y$ par la loi normale de moyenne 30 et d'écart type 5,39.
  
On note $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne 30 et d'écart type 5,39.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Justifier les valeurs des deux paramètres de cette loi normale. 
\item  Calculer, à l'aide de la variable aléatoire $Z$, la probabilité qu'il y ait au plus 25~accessoires défectueux dans le lot de  \np{1000} accessoires, c'est-à-dire calculer $P(Z \leqslant  25,5)$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\emph{D. Intervalle de confiance}

\medskip
 
Dans cette partie, on s'intéresse à la masse des accessoires d'un lot important.
 
On prélève au hasard et avec remise un échantillon de 100 accessoires dans le lot.
 
Soit $\overline{M}$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100~accessoires prélevés au hasard et avec remise dans le lot associe la moyenne des masses, en grammes, des accessoires de cet échantillon.
 
On suppose que $\overline{M}$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart type $\dfrac{\sigma}{\sqrt{100}}$ avec $\sigma = 5$.
 
Pour l'échantillon prélevé, la moyenne obtenue est $\overline{x} = 501$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer un intervalle de confiance centré sur $\overline{x}$ de la moyenne inconnue $\mu$ des masses des accessoires du lot considéré, avec le coefficient de confiance 95\,\%. 
\item  On considère l'affirmation suivante: \og la moyenne $\mu$ est obligatoirement dans l'intervalle de confiance obtenu à la question 1 \fg.
 
Est-elle vraie ? (On ne demande pas de justification.) 
\end{enumerate}
\end{document}