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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe B}}
\rfoot{\small{mai 2009-}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Métropole--Antilles--Guyane--Polynésie \\ session 2009 - groupement B}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}
\end{center}
 
\emph{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip 

On considère l'équation différentielle
 
\[(E)  : \quad y'' - 2y' + y = 8 \text{e}^x.\] 

où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R,~ y'$ la fonction dérivée de $y$ et $y''$ sa fonction dérivée seconde.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer les solutions définies sur $\R$ de l'équation différentielle 

\[\left(E_{0}\right) :\quad   y'' - 2y'+y = 0.\] 
\item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = 4 x^2\text{e}^x$. 

Démontrer que la fonction $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$. 
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$. 
\item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie les conditions initiales $f(0) = -  4$ et $f'(0) = - 4$. 
\end{enumerate}

\medskip

\emph{B. Étude locale d'une fonction}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \left(4x^2 - 4\right)\text{e}^x\]

Sa courbe représentative $\mathcal{C}$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous. 

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\psset{xunit=1.4cm}
\begin{pspicture*}(-5,-5.5)(2.2,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-5,-5)(2,4.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt,gridcolor=orange](0,0)(-5,-5.5)(2,4)
\psplot[plotpoints=4000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-5}{1.148}{x dup mul 4 mul 4 sub 2.71828 x exp mul}
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](2,0){$x$} \uput[l](0,4.5){$f(x)$}\uput[dr](1,0){1} \uput[ul](0,1){1}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{figure}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que pour tout réel $x,~ f'(x) = 4\left(x^2 + 2 x - 1\right)\text{e}^x$. 
		\item  Donner sans justification la valeur exacte et la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ de l'abscisse de chacun des points de la courbe $\mathcal{C}$ où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction $f$ est :

		\[f(x) = -4 -4x + 2x^2+ x^2\epsilon(x) \quad  \text{avec}~ \lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0.\]
		  
		\item Déduire du a. une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. 
	\item  Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et $T$ au voisinage du point d'abscisse $0$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip	
	
\emph{C. Calcul intégral}

\medskip
 
\textbf{Dans cette partie, les questions 1. et 2. peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  La fonction $f$ définie au début de la partie B est une solution de l'équation différentielle $(E)$ de la partie A.
 
Donc, pour tout $x$ de $\R,~ f(x) = - f''(x) + 2f'(x) + 8\text{e}^x$.
 
En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Donner, sans justification, le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $[0~;~1]$
		\item Dans cette question, on admet que la fonction $F$ définie sur $\R$ par 
	
$F(x) = \left(4x^2 - 8x + 4\right)\text{e}^x$ est une primitive de la fonction $f$.
	 
Déduire de ce qui précède l'aire $\mathcal{A}$, en unités d'aire, de la partie du plan limitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\begin{center} \textbf{Les quatre parties de cet exercice sont indépendantes.}\end{center}

\medskip
 
On s'intéresse au chantier de construction d'un tronçon de TGV. 

Les travaux de terrassement nécessitent la mise à disposition d'une flotte importante de pelles sur chenilles et de camions-benne. 

La réalisation de l'ouvrage nécessite de grandes quantités de fers à béton. 

\begin{center} \textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à } \boldmath $10^{-3}$.\unboldmath \end{center}

\medskip
 
\emph{A. Loi normale}

\medskip
 
On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque pelle prélevée au hasard dans la flotte, associe le nombre de m$^3$ de matériaux extraits pendant la première heure du chantier. On suppose que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne 120 et d'écart type 10.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Calculer $P(110 \leqslant X \leqslant 130)$. 
\item  Calculer la probabilité que la pelle prélevée extraie moins de 100 m$^3$ pendant la première heure du chantier.
\end{enumerate}

\medskip
 
\emph{B. Loi de Poisson}

\medskip
 
On note $Y$ la variable aléatoire qui, à toute heure travaillée prise au hasard pendant la première semaine du chantier, associe le nombre de camions-benne entrant dans la zone 1 du chantier pour charger des matériaux. On suppose que la variable aléatoire $Y$ suit la loi de Poisson de paramètre 5.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité de l'évènement
 
$A$ : \og pendant une heure prise au hasard il n'entre aucun camion-benne sur la zone 1 du chantier. \fg 
\item Calculer la probabilité de l'évènement
 
$B$ : \og pendant une heure prise au hasard il entre au plus quatre camions-benne sur la zone 1 du chantier. \fg 
\end{enumerate}

\medskip
 
\emph{C. Loi binomiale}

\medskip
 
On note $E$ l'évènement: \og un camion-benne pris au hasard dans la flotte n'a pas de panne ou de sinistre pendant le premier mois du chantier. \fg 

On suppose que la probabilité de l'évènement $E$ est 0,9. 

On prélève au hasard 10 camions-benne dans la flotte pour les affecter à une zone du chantier. Le nombre de camions-benne de la flotte est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10 camions-benne.
 
On désigne par $Z$ la variable aléatoire qui à tout prélèvement de ce type associe le nombre de camions-benne n'ayant pas eu de panne ou de sinistre pendant le premier mois du chantier.
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $Z$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 
\item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, aucun des 10 camions-benne n'ait de panne ni de sinistre pendant le premier mois du chantier. 
\end{enumerate}

\medskip
 
\emph{D. Test d'hypothèse}

\medskip
 
De grandes quantités d'un certain type de fers cylindriques pour le béton armé, de diamètre 25~millimètres, doivent être réceptionnées sur le chantier.
 
On se propose de construire un test d'hypothèse bilatéral pour contrôler, au moment de la réception d'une livraison, la moyenne $\mu$ de l'ensemble des diamètres en millimètres des fers à béton.
 
On note $M$ la variable aléatoire qui, à chaque fer prélevé au hasard dans la livraison, associe son diamètre en millimètres. La variable aléatoire $M$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart type 0,2. 

On désigne par $\overline{M}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 100~fers prélevés dans la livraison, associe la moyenne des diamètres des fers de cet échantillon. La livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise.
 
L'hypothèse nulle est $H_{0}~:~\mu = 25$. Dans ce cas, la livraison est dite conforme pour le diamètre.
 
L'hypothèse alternative est $H_{1}~:~ \mu \neq 25$. 

Le seuil de signification du test est fixé à 0,05.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Sous l 'hypothèse $H_{0}$, on admet que la variable aléatoire $\overline{M}$ suit la loi normale de moyenne 25 et d'écart type 0,02.

On admet également que : $p(24,961 \leqslant  \overline{M} \leqslant  25,039) = 0,95$. Ce \textbf{résultat} où 0,95 est une valeur approchée, \textbf{n'a pas à être démontré}.
 
Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test. 
\item  On prélève un échantillon aléatoire de 100~fers à béton et on observe que, pour cet échantillon, la moyenne des diamètres est $\overline{x} = 24,978$. 

Peut-on, au seuil de 5\:\%, conclure que la livraison est conforme pour le diamètre? 
\end{enumerate}
\end{document}