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%Merci à Emmanuelle Pernot de nous avoir communiqué ce sujet 
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie Groupe B}}
\rfoot{\small{novembre 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ novembre 2011 - groupement B Nouvelle-Calédonie}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip

Une entreprise étudie en laboratoire les propriétés vibratoires d'un nouveau matériau. Une barre de ce matériau est tenue horizontalement à une extrémité ; à l'autre extrémité elle est soumise à une force dirigée vers le bas et d'intensité variable. 
On considère, dans le repère indiqué sur la figure ci-dessous, l'ordonnée $y(t)$ de l'extrémité libre, en fonction du temps $t$.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,2)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(1.5,2)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](1,0.8)(8,1.2)
\psline{->}(8,1)(10,1)\psline{->}(8,1)(8,2)
\uput[l](8,2){$y$}\uput[ur](8,1){O}
\end{pspicture}
\end{center} 

\begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}\end{center}
 
\emph{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip 

L'étude du système mécanique conduit à considérer l'équation différentielle $(E)$ : 

\[y'' + 4 y' + 104 y = - 10,1 \text{e}^{- t}\]
 
où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie et deux fois dérivable sur $[0~;~+ \infty[,\: y'$ sa fonction dérivée et $y''$ sa fonction dérivée seconde.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les solutions complexes de l'équation 	$r^2 + 4r + 104 = 0$ sont $r_{1} = - 2 + 10\text{i}$ et $r_{2} = - 2 - 10\text{i}$. 
		\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $\left(E_{0}\right)$ : 

\[y'' + 4 y' + 104 y = 0.\]

	\end{enumerate} 
\item Montrer que la fonction $h$, définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $h(t) = - 0,1 \text{e}^{- t}$, est une solution de l'équation différentielle $(E)$. 
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$. 
\item Montrer que la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : 

\[f(t) = - 0,1 \left[\text{e}^{-t} - \cos (10t) \text{e}^{-2t}\right]\]
 
vérifie les conditions initiales $f(0) = 0$ et $f'(0) = - 0,1$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\emph{B. Étude de fonctions}

\medskip
 
Soit $g_{1}$ et $g_{2}$ les fonctions définies sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[g_{1}(t)= \text{e}^{-t} + \text{e}^{-2t}\quad \text{et} \quad  g_{2}(t) = \text{e}^{-t} - \text{e}^{-2t}.\]
 
Les courbes représentatives des fonctions $g_{1}$ et $g_{2}$, dans un repère orthonormal, ainsi que celle de la fonction $g = - 10f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $g(t) = \text{e}^{- t} - \cos (10 t)\text{e}^{- 2 t}$, sont données sur la figure de la page suivante. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que, pour tout $t$ dans $[0~;~+ \infty[$, on a $g_{2}(t) \leqslant g(t) \leqslant g_{1}(t)$. 

\emph{Ce résultat, admis, n'a pas à être démontré.}
 
Attribuer à chaque courbe $\mathcal{C},\: \mathcal{C}',\: \mathcal{C}''$ de la figure, la fonction qui lui correspond. 

Aucune justification n'est demandée. 

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=3cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(3.2,2.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.2,-0.2)(3.2,2.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](0,0)(3,2)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.pt,linecolor=green]{0}{3.2}{2.71828 x neg exp 2.71828 x 2 neg mul exp add}%g_{1}
\psplot[plotpoints=12000,linewidth=1.pt,linecolor=red]{0}{3.2}{1 2.71828 x  exp div 1 2.71828 x 2  mul exp div sub}%g_{2}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.pt,linecolor=blue]{0}{3.2}{2.71828 x neg exp 2.71828 x 2 neg mul exp  1800 x mul 3.141 div cos mul sub}%g
\end{pspicture}
\end{center}
\item Déterminer les limites en $+ \infty$ des fonctions $g_{1}$ et $g_{2}$ et interpréter graphiquement les résultats obtenus. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée de $g_{1}$. 
		\item Justifier que $g_{1}$ est décroissante sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout $t$ de $[0~;~+ \infty[,\: g_{2}^{\prime}(t) = \text{e}^{-t} \left(2\text{e}^{-t} - 1\right)$. 
		\item Résoudre dans $[0~;~+ \infty[$ l'inéquation $2 \text{e}^{-t} - 1 \geqslant 0$. 
		\item Déduire de ce qui précède la valeur exacte de $t$ pour laquelle la fonction $g_{2}$ admet un maximum. 
	\end{enumerate}
\item \emph{Les questions $5$. a. et $5$. b. sont des questions à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune justification.} 

\emph{La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip 

On admet que le développement limité à l'ordre 2 au voisinage de $0$ de la fonction $g_{2}$ est :  

\[g_{2}(t) =  t - \dfrac{3}{2}t^2 + t^2 \epsilon(t)\quad \text{avec}\: \lim_{t \to 0} \epsilon(t) = 0.\]

Ce développement limité, admis, n'a pas à être démontré. 

	\begin{enumerate}
		\item On déduit de ce développement limité qu'une équation de la tangente $T$ à la courbe représentative de $g_{2}$ au point d'abscisse 0 est:
		
\medskip
\renewcommand\arraystretch{1.9}		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$y = 0$& $y = t$&$y = t - \dfrac{3t^2}{2}$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
		\item On veut justifier qu'au voisinage du point d'abscisse $0$, la courbe représentative de $g_{2}$ est en dessous de la tangente $T$. Recopier sur votre copie la justification exacte. 

\medskip
\renewcommand\arraystretch{1.9}		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$t^2 \epsilon(t)$ est négatif lorsque $t$ est positif.& $t - \dfrac{3t^2}{2}$ est négatif.&$- \dfrac{3t^2}{2}$ est négatif.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{C. Calcul d'intégrale}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la valeur exacte de l'intégrale $I = \displaystyle\int_{0}^3 \left[g_{1}(t) - g_{2}(t)\right]\:\text{d}t$ où $g_{1}$ et $g_{2}$ sont les fonctions définies au début de la partie B, est $I = 1 - \text{e}^{- 6}$. 
\item Interpréter géométriquement le résultat précédent. 
\end{enumerate}

\textbf{Les questions 1., 2., 3., 4. de cet exercice sont indépendantes}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip

On considère un stock de pièces de rechange pour les machines-outils d'une grande entreprise.
 
\begin{center}\textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à \boldmath $10^{- 2}$\unboldmath (sauf mention particulière)}\end{center} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le tableau suivant récapitule la consommation mensuelle d'un certain modèle de roulements à billes, pour les 11~mois travaillés de l'année dernière.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}} \hline
Mois&Janvier&Février&Mars&Avril&Mai&Juin\\ \hline
Quantité&20&30&25&15&25&10\\ \hline\hline
Mois&Juillet&Septembre&Octobre&Novembre&Décembre&\multicolumn{1}{|c}{~}\\ \cline{1-6}
Quantité&35&42&25&35&15&\multicolumn{1}{|c}{~}\\ \cline{1-6}
\end{tabularx}

\medskip


Déterminer la moyenne $x$ et l'écart type $\sigma$ de cette série statistique. 
\item On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à un mois travaillé pris au hasard dans l'année à venir, associe la consommation du type de roulements à billes considéré au 1. On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $25$ et d'écart type $9,5$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(14,5 \leqslant X \leqslant 35,5)$. 
		\item Déterminer le nombre réel $k$ tel que $P( X \leqslant k) = 0,95$.
		 
\emph{Le nombre entier $n$, obtenu en arrondissant $k$ par excès, est appelé \og stock d'alerte à $5$\,\% \fg{} pour la pièce considérée.}
	\end{enumerate} 
\item Le délai de livraison d'un certain type de transformateur est de 20~jours. On admet que la variable aléatoire $Y$ qui, à une période de 20~jours prise au hasard dans l'année à venir, associe le nombre de transformateurs de ce type, mis en service pendant cette période, suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda = 3$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(Y \leqslant 5)$ et $P(Y \leqslant 6)$. 
		\item En déduire le \og stock d'alerte à 5\,\% \fg{} pour ce type de transformateur, c'est -à-dire le plus petit entier $a$ tel que $P(y \leqslant a) > 0,95$. 
	\end{enumerate}
\item Pour réapprovisionner le stock d'un certain type de joints circulaires, on effectue une commande en grande quantité. Le fabriquant garantit des joints de 30~mm de diamètre, avec un écart type $\sigma = 1$~mm. 

Il est convenu de procéder, à la réception, à un contrôle de qualité à l'aide d'un test d'hypothèse bilatéral de la moyenne, sur un échantillon aléatoire de 64~joints.
 
On désigne par $\overline{Z}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 64joints prélevés dans le lot reçu, associe la moyenne des diamètres en millimètres des joints de cet échantillon (le lot est suffisamment important pour qu'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise).
 
L'hypothèse nulle est H$_{0}$ : \og $\mu = 30$ \fg. 

L'hypothèse alternative est H$_{1}$ : \og $\mu \neq 30$ \fg. Le seuil de signification du test est fixé à $0,05$. 
	\begin{enumerate}
		\item Sous l'hypothèse H$_{0}$, on considère que $\overline{Z}$ suit la loi normale de moyenne $30$ et d'écart type $\dfrac{\sigma}{\sqrt{64}}$.
		
Déterminer, sous cette hypothèse, le nombre réel $h$ positif tel que : 

\[P\left(30 - h \leqslant \overline{Z} \leqslant 30 + h\right) = 0,95.\]
 
Arrondir $h$ à $10^{- 3}$. 
		\item En déduire la règle de décision permettant d'utiliser ce test. 
		\item Sur l'échantillon de $64$~joints prélevés dans le lot reçu, on trouve une moyenne de $29,8$~mm pour les diamètres.
		 
Indiquer si le lot est accepté en utilisant la règle de décision de la question précédente. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}