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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe B2 : conception et industrialisation\\ en microtechniques}}
\rfoot{\small{14 mai 2012}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Métropole--Antilles--Guyane\\ session 2012 - groupement B2}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip

\emph{A. Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de
    manière indépendante.}

\medskip
  
\emph{Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle :

\begin{equation*}
(E)\quad :   y^{\prime} + 2y = - 5\text{e}^{-2x},
\end{equation*}

où $y$ est une fonction inconnue de la variable $x$, définie et
dérivable sur $\R$, et $y^{\prime}$ la fonction dérivée de $y$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions de l'équation différentielle :

\begin{equation*}
\left(E_{0}\right)\quad :    y^{\prime} + 2y = 0.
  \end{equation*}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par
  $g(x) = - 5x\text{e}^{-2x}$. Démontrer que la fonction $g$ est une solution
  de $(E)$.
\item En déduire les solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle
  $(E)$ vérifiant la condition initiale $f(0) = 1$.

\end{enumerate}

\bigskip

\emph{B. Étude locale d'une fonction}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = (1
  -5x)\text{e}^{-2x}$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans
  le plan muni d'un repère orthonormal.
	\begin{enumerate}
		\item On admet le résultat suivant : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}
    -5x\text{e}^{-2x}=0$. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
		\item \emph{Cette question est une question a choix multiples. Une
      seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui
      vous paraît exacte. On ne demande aucune justification.}

\emph{La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou
      une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}

La courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote en $+\infty$ dont une  équation est :
\begin{center}
\setlength{\tabcolsep}{5ex}
      \begin{tabular}{*{3}{|>{$}c<{$}}|}
        \hline
        y = 1-5x & y = 0 &  x=0 \\
        \hline
      \end{tabular}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide du développement limité, à l'ordre $2$, au voisinage
    de $0$, de la fonction $ t \mapsto \text{e}^t$, déterminer le
    développement limité à l'ordre $2$, au voisinage de $0$, de la
    fonction : $ x \mapsto \text{e}^{-2x}$.
		\item En déduire que le développement limité, à l'ordre $2$, au
    voisinage de $0$, de la fonction $f$ est :

\[ f(x) = 1 - 7x + 12x^2 + x^2 \varepsilon(x), \text{ avec } \lim_{x \to
      0}\varepsilon(x) = 0.\]
      
		\item En déduire une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la
courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
		\item \emph{Cette question est une question a choix multiples. Une
 seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui
vous paraît exacte. On ne demande aucune justification.}

    \emph{La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou
      une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}

On veut justifier qu'au voisinage du point d'abscisse $0$, la
courbe $\emph{C}$ est au dessus de la droite
$\mathcal{T}$. Recopier sur la copie la justification qui vous
paraît exacte.
    \begin{center}
      \begin{tabular}{*{3}{|p{0.3\linewidth}}|}\hline
$12x^2$ est positif au voisinage de $0$. & 
$x^2\varepsilon(x)$ est positif au voisinage de $0$. &
$1 - 7x$ est positif au voisinage de $0$. \\\hline
\end{tabular}
    \end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{C. Calcul intégral}

\medskip

\begin{enumerate}
\item on note $I = \int_{1}^{2} f(x) \:\text{d}x$ où $f$ est la fonction
  définie dans la partie B.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que $I =
    \dfrac{23\text{e}^{-4}-13\text{e}^{-2}}{4}$.
		\item Donner la valeur approchée de $I$, arrondie à $\text{e}^{-2}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner sans justification, le signe de $f(x)$, pour $x$ dans
    l'intervalle $[1~;~2]$.
		\item Interpréter graphiquement le nombre $I$.

\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou
    non aboutie, sera prise en compte.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip

\begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante} \end{center}

On considère le circuit représenté ci-dessous alimenté à tout instant $t$ par une tension $e(t)$. On note $i(t)$ l'intensité du courant.

\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(6,3.5)
%\psgrid
\pnode(0,3){A}\pnode(6,3){B}\pnode(6,0){C}\pnode(0,0){D}\resistor(A)(B){$R$}
\coil[dipolestyle=curved](C)(B){$L$}
\psline(0,3)(2.5,3)\psline(3.5,3)(6,3)(6,2.6)\psline(6,0.3)(6,0)(0,0)
\psline{->}(0,0.5)(0,2.5) \uput[l](0,1.5){$e(t)$}\uput[u](5.4,3){$i(t)$}\psline[arrowsize=3pt 3]{->}(3.5,3)(5.4,3)
\end{pspicture}
\end{center} 

L'équation différentielle régissant ce circuit s'écrit: 

\[L i^{\prime}(t) + R i(t) = e(t)\]
 
où la fonction inconnue $i$, de la variable $t$, est définie et dérivable sur $\R$ et $i^{\prime}$ est la fonction dérivée de $i$.
 
On se place dans le cas où $R = 5~\Omega$ et $L = 1$~H de sorte que l'équation différentielle précédente devient: 

\[(1)\::\quad  i^{\prime}(t) + 5 i(t) = e(t),\]
 
avec $i\left(0^{+}\right) = 0$.
 
On suppose que la tension $e$ est donnée par : 

\[e(t) = \left\{\begin{array}{c}
 10\quad \text{si}\quad 0 \leqslant t < 2\\ 
 0\:\: \text{si}\quad t < 0\:\: \text{ou}\:\: t \geqslant 2.
 \end{array}\right.\]
  
\textbf{A. Étude de la tension d'entrée}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Sur une feuille de papier millimétré, tracer, dans un repère orthogonal, la représentation graphique de e sur l'intervalle [0~;~5]. On prendra comme unité 2 cm pour l'axe des abscisses et 0,5cm pour l'axe des ordonnées. 
\item  On désigne par $\mathcal{U}$ la fonction échelon unité définie par $\mathcal{U}(t) = 0$ si $t < 0$ et $\mathcal{U}(t) = 1$ si $t \geqslant 0$. 

Montrer que pour tout nombre réel $t$, on a $e(t) = 10 [\mathcal{U}(t) - \mathcal{U}(t - 2)]$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Transformation de Laplace}

\medskip
 
En utilisant la transformée de Laplace, on se propose de déterminer l'intensité $i$ du courant. On admet que $i$, $i^{\prime}$ et $e$ admettent des transformées de Laplace.
 
On note $E(p) = \mathcal{L}(e(t))$ et $I(p) = \mathcal{L}(i(t))$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer $E(p)$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l'équation  différentielle (1), montrer, sachant que $i\left(0^{+}\right) =  0$, que $I(p) = 10\dfrac{1 - \text{e}^{- 2p}}{p(p + 5)}$. 
		\item Montrer que $I(p)$ peut s'écrire sous la forme : 

\[I(p) = 2\left[\dfrac{1}{p} -  \dfrac{1}{p + 5} - \dfrac{\text{e}^{- 2p}}{p} + \dfrac{\text{e}^{- 2p}}{p + 5}\right].\] 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les originaux $\mathcal{L}^{- 1}\left(\dfrac{1}{p}\right)$ ; $\mathcal{L}^{- 1}\left(\dfrac{1}{p + 5}\right)$ ; $\mathcal{L}^{- 1}\left(\dfrac{\text{e}^{- 2p}}{p}\right)$ et $\mathcal{L}^{- 1}\left(\dfrac{\text{e}^{- 2p}}{p + 5}\right)$ 
		\item En déduire l'intensité $i(t) = \mathcal{L}^{- 1}(I(p))$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{C. Étude de la tension de sortie}

\medskip
 
On note $u$ la tension de sortie aux bornes de la résistance. On admet que, pour tout réel $t,\: u(t) = R i(t)$. On a ainsi : 

\[u(t) = \left\{\begin{array}{c}
0 \:\:\text{si}\:\: t < 0\\
10\left( 1 - \text{e}^{-5t}\right)\:\:  \text{si}\:\: 0 \leqslant  t < 2.\\ 
10\text{e}^{-5t}\left(\text{e}^{10} - 1\right)\:\:\text{si}\:\: t \geqslant  2
\end{array}\right.\]
 
On fournit le tableau de valeurs suivant, où $u(t)$ est arrondi au centième. 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0&0,25&0,5&0,75	&1		&1,5	&2	&2,1	&2,25&2,5	&3		&5\\ \hline
$u(t)$	&0&7,13&9,18&9,76	&9,93	&9,99	&10	&6,06	&2,86&0,82	&0,07	&0\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur le graphique de la partie A, représenter $u$ sur l'intervalle [0~;~5]. 
\item Déterminer à l'aide du graphique, la plus petite valeur $t_{0}$ de $t$ telle que $t \geqslant 2$ et $u(t) \leqslant  5$. 

Laisser apparents sur la figure les tracés utilisés.
\end{enumerate}
\end{document}