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\begin{document}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\setlength\parindent{0mm}
\chead{Brevet de technicien supérieur}
\rhead{Session 2011}
\lfoot{Groupement B2 : conception et \\industrialisation en microtechniques}
%\cfoot{Page \thepage / \pageref{lastpage}}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\session 10 mai 2011 - groupement B2}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{EXERCICE 1 \hfill 12 points}

\begin{center}
\textbf{\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}}
\end{center}

\emph{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle $(E) :~~ y^{\prime\prime} - 3y^{\prime} +2y = -2\text{e}^x + 6$ où $y$ est une fonction inconnue de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur \R, $y^{\prime}$ la fonction dérivée de $y$ et $y^{\prime\prime} $ sa fonction dérivée seconde.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans \R~l'équation : $r^2 - 3r + 2 = 0$.
		\item En déduire les solutions définies sur \R~de l'équation différentielle:

\[(E_0):~~y^{\prime\prime} - 3y^{\prime} + 2y = 0.\]

	\end{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur \R~par $g(x) = 2x \text{e}^x + 3$.
	\begin{enumerate}
		\item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte.\\
Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune
justification.\\
La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne
rapporte ni n'enlève de point.}

La fonction dérivée $g^{\prime}$ de la fonction $g$ est définie sur \R{} par :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\foreach \i/\texte in {1/$g^{\prime}(x) = 2 \text{e}^x$,2/$g^{\prime}(x) = 2x \text{e}^x$, 3/$g^{\prime}(x) = (2x + 2) \text{e}^x$}{
\node[draw,minimum width=5cm]()at(5*\i,0){\texte};}
\end{tikzpicture}
\end{center}

		\item Démontrer que la fonction $g$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.
	\end{enumerate}
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item Déterminer la solution  $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie les conditions initiales $f(0)=2$ et $f^{\prime}(0)=1$.
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{B. Étude d'une fonction et calcul intégral}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur \R~par $f(x) = (2x - 1) \text{e}^x + 3$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On admet le résultat suivant :  $\lim_{x\to-\infty} xe^x=0$.

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)$.
		\item En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une droite asymptote dont on donnera une équation.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction $f$ est : $f(x) = 2 + x + \frac{3}{2} x^2 + x^2 \varepsilon(x)$ avec  $\lim_{x\to 0} \varepsilon(x) = 0$.
		\item En déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.
		\item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte.\\
Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte.  On ne demande aucune
justification.\\
La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne
rapporte ni n'enlève de point.}

On veut justifier qu'au voisinage du point d'abscisse 0, la courbe $\mathcal{C}$ est au-dessus de la droite $T$. Recopier sur votre copie la justification exacte.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\foreach \i/\texte in {1/\begin{minipage}{3.1cm}{$\frac{3}{2}x^2$ est positif au voisinage de 0.}\end{minipage},2/\begin{minipage}{3.1cm}{$x^2 \varepsilon(x)$ est positif au voisinage de 0.}\end{minipage},3/\begin{minipage}{3.1cm}{$2 + x$ est positif au voisinage de 0.}\end{minipage}}{
\node[draw,minimum width=5cm,minimum height=1.6cm]()at(5*\i,0){\texte};}
\end{tikzpicture}
\end{center}

	\end{enumerate}
\item On admet que la fonction dérivée de $f$ est donnée, pour tout $x$ réel, par: $f'(x) = (2x+1)e^x$.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier sur \R~le signe de $f'(x)$ puis en déduire le sens de variation de $f$ sur \R.
		\item Donner la valeur approchée arrondie à 0,01 du minimum de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note $I=\int_0^{0,5}\left(2+x+\frac{3}{2}x^2\right)\text{d}x$.

Démontrer que $I= 1,1875$.
		\item On note $K=\int_0^{0,5} (2x- 1)\text{e}^x\text{d}x$.

Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que $K = 3 - 2\text{e}^{0,5}$.
		\item On note $J= \int_0^{0,5} f(x) \text{d}x$.

En utilisant la question précédente, déterminer la valeur exacte de $J$.
		\item Vérifier que $J - I$ est inférieur à $2 \times 10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 2}\hfill  8 points

\medskip

On considère un signal périodique correspondant à la fonction $f$ définie sur $\R$ et représentée sur le graphique fourni en annexe, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[- 2\pi~;~2\pi]$. 

\medskip

\emph{Les questions $1.$ et $2.$ sont des questions à choix multiples. Pour chaque question, une seule ~ réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande {} 
aucune justification.\\
La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponsse ne rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est :  

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
paire de période $\pi$& paire de période $2\pi$&impaire de p\'eriode $\pi$\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip


 
\item Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[0~;~\pi],  f(x) = \pi  - x$. 

Si $x$ appartient à l'intervalle $[- \pi~;~ 0],  f(x)$ s'écrit :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$f(x) =- x$& $f(x) = \pi + x$& $\rule[-3mm]{0mm}{9mm}f(x) = \dfrac{\pi}{2} + x$\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
  
\item On note $a_{0}$, et, pour tout entier naturel non nul $n, a_{n}$ et $b_{n}$ les coefficients de Fourier de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout $n$ non nul, $b_{n} = 0$. 
		\item Calculer l'intégrale $I  =  \displaystyle\int_{0}^{\pi} (\pi - x)\:\text{d}x$. 
		\item Montrer que $a_{0} = \dfrac{\pi}{2}$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant : 

$a_{n} = \dfrac{2}{\pi n^2} \left[1 - (- 1)^n\right]$ pour tout $n \geqslant  1$. 

\textbf{Le résultat précédent n'est pas à démontrer.} 

Déterminer les valeurs exactes de $a_{1}, a_{2}$ et $a_{3}$. 
		\item On note $s_{3}$ la fonction correspondant au développement en série de Fourier de la fonction $f$, dans lequel on ne conserve que les termes d'indice $n$ inférieur ou égal à 3. 
		
Écrire  l'expression de $s_{3}(x)$. 
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par : $g(x) = \dfrac{\pi}{2}+ \dfrac{4}{\pi}\left(\cos x + \dfrac{1}{9}\cos (3x)\right)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter, à l'aide de la calculatrice, le tableau figurant sur la feuille annexe, avec les valeurs approchées de $f(x)$ et $g(x)$ arrondies à $0,01$. 
		\item On admet que la fonction $g$ est décroissante sur $[0~;~\pi]$. Tracer, dans le repère donné en 	annexe, l'allure de la courbe représentative de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~\pi]$. 
		\item Compléter le graphique sur l'intervalle $[- \pi~;~0]$ sachant que la fonction $g$ est paire. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE À COMPLÉTER PUIS À RENDRE AVEC LA COPIE }

\vspace{0,5cm}
\begin{flushleft}
\textbf{EXERCICE 2}

Questions 1., 2. et 5. 

\vspace{0,5cm}

Repr\'esentation graphique de $f$. Graphique \`a compl\'eter aux questions 5. b. et 5. c.
\end{flushleft}

\bigskip

\psset{xunit=1cm,yunit=1.75cm}
\begin{pspicture}(-7,-1)(7,4)
\multido{\n=-7.0+0.5}{29}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-1)(\n,4)}
\multido{\n=-1.0+0.1}{51}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-7,\n)(7,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-7,-1)(7,4)
\uput[l](0,3.14159){$\pi$}
\psline[linewidth=1.5pt](-6.283,3.14159)(-3.14159,0)(0,3.14159)(3.14159,0)(6.283,3.14159)
\psline[linestyle=dashed](-6.283,0)(-6.283,3.14159)
\psline[linestyle=dashed](6.283,0)(6.283,3.14159)
\uput[d](-6.283,0){$- 2\pi$}\uput[d](6.283,0){$2\pi$}
\uput[d](-3.14159,0){$- \pi$}\uput[d](3.14159,0){$\pi$}
\end{pspicture}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}
Tableaux de valeurs à compléter à la question 5. a. : 
\end{flushleft}

\bigskip

\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rule[-3mm]{0mm}{10mm}$x$		&0	&0,5	& 1 	&1,5 	&$\frac{\pi}{2}$	& 2 &2,5 	&3	&$\pi$\\ \hline 
$f(x)$	&	&		&2,14	&		&				&	&		&	&\\ \hline
$g(x)$	&	&		&2,12	&		&				&	&		&	&\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}
\end{document}