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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe B2 : conception et industrialisation en microtechniques}}
\rfoot{\small{mai 2010}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Métropole--Antilles--Guyane \\ session 2010 - groupement B2}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip

\begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \end{center}

 
A. Résolution d'une équation différentielle

\medskip
 
On considère l'équation différentielle 

\[(\text{E})~:\quad  y' - y = \text{e}^x - 2x\]
 
où la fonction inconnue $y$, de la variable réelle $x$, est définie et dérivable sur $\R$ et $y'$ désigne  sa fonction dérivée.
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions définies sur $\R$ de l'équation différentielle $\left(\text{E}_{} \right)$: $y'-y = 0$. 
\item  Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[g(x) = x \text{e}^x + 2x + 2.\]
 
Démontrer que la fonction $g$ est une solution particulière de l'équation différentielle (E). 
\item  En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E). 
\item  Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale $f(0) = 3$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{B. Étude d'une fonction}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = (x + 1)\text{e}^x + 2x + 2.\]

Sa courbe représentative $\mathcal{C}$ est donnée dans un repère orthogonal ci-dessous. 

\begin{figure}[!h]
\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-5,-10)(5,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-5,-10)(5,10)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.8pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,griddots=8](-5,-10)(5,10)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=10000]{-5}{1.05}{x 1 add 2.71828 x exp mul x 2 mul add 2 add}
\uput[r](1,9){$\mathcal{C}$}\uput[d](5,0){$x$}\uput[l](0,10){$y$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{figure}

\begin{enumerate}
\item  Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. 
\item  \emph{Pour cette question, une seule réponse A, B, C est exacte. Indiquer sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. On ne demande aucune justification.\\ 
La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}
 
La courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote en $- \infty$ dont une équation est : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Réponse A& Réponse B&Réponse C\\ \hline 
$y = x + 1$& $y = 2x + 2$&$y = 2$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction $f$ est : 	
\[f(x) = 3 + 4x + \dfrac{3}{2}x^2 + x^2 \varepsilon(x)~~ \text{avec}~~ \lim_{x \to 0} \varepsilon(x) = 0.\] 

\emph{Pour les question 3. \text{b} et 3. \text{c}, une seule réponse A, B, C est exacte. Indiquer sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. On ne demande aucune justification.\\ 
La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}
 
		\item  Une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ est: 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Réponse A& Réponse B&Réponse C\\ \hline 
$y=3 $& $y= 3 + 4x$&$y= \dfrac{3}{2}x^2 $\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item  Au voisinage du point d'abscisse $0$, la courbe $\mathcal{C}$ est :
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Réponse A& Réponse B&Réponse C\\ \hline 
au-dessus de la tangente T pour tout $x$.& au-dessous de la tangente T pour tout $x$.&au-dessous de la tangente T quand $x < 0$ et au-dessus quand $x > 0$.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip		 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Calcul intégral}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On note $I = \displaystyle\int_{-1}^1  (2x + 2)\:\text{d}x$.

Montrer que $I = 4$. 
\item  On note $J = \displaystyle\int_{-1}^1 (x + 1)\text{e}^x\:\text{d}x$.
 
Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que $J = \text{e} + \text{e}^{- 1}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note $K = \displaystyle\int_{-1}^1 f(x)\:\text{d}x$, où $f$ est la fonction définie dans la partie B.
		 
Déduire de ce qui précède la valeur exacte de $K$. 
		\item Donner la valeur de $K$, arrondie à $10^{- 2}$. 
		\item On admet que pour tout $x$ de l'intervalle $[-1~;~1],~ f(x) \geqslant 0$.
		
Donner une interprétation graphique de K.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip

\begin{center}\textbf{Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}\end{center}

\medskip
 
On considère un système, électrique ou mécanique. On note $e(t)$ le signal d'entrée et $s(t)$ le signal de sortie.

\medskip
\begin{center}\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9,1.2)
\psline{->}(0,0.6)(3,0.6)\psframe(3,0)(6,1.2)\psline{->}(6,0.6)(9,0.6)
\rput(4.5,0.6){Système} \uput[u](1.5,0.6){$e(t)$}\uput[u](7.5,0.6){$s(t)$}
\end{pspicture}
\end{center} 

On note $E(P) = \mathcal{L}(e(t))$ et $S(P) = \mathcal{L}(s(t))$ où $\mathcal{L}$ est la transformation de Laplace.
 
La fonction de transfert $H$ du système est définie par la relation : $S(P) = H(P) \times E(P)$.

On suppose que pour ce système la fonction de transfert est égale à : 

\[H(P) = 	\dfrac{2p}{(p + 1)^2 + 1}.\] 

\emph{A. Réponse du système à un échelon}

\medskip
 
On suppose dans cette partie que $e(t) = \mathcal{U}(t)$ où $\mathcal{U}$ est la fonction échelon unité définie sur $\R$ par : 	$\mathcal{U}(t) = 0$ si $t < 0$ ; $\mathcal{U}(t) = 1$ si $t \geqslant 0$.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $E(P)$. 
		\item En déduire que $S(P) = 	\dfrac{2}{(p + 1)^2 + 1}$.  
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, à l'aide du formulaire, $\mathcal{L}^{-1}\left(\dfrac{1}{p^2 +1}\right)$.
		\item En déduire $s(t) = \mathcal{L}^{-1}[S(P)]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\emph{B. Recherche d'une pulsation particulière}

\medskip
 
\parbox{0.45\linewidth}{On appelle \og lieu de transfert \fg{} l'ensemble des points $M$ du plan complexe d'affixe $H(\text{j}\omega)$ lorsque $\omega$ décrit $]0~;~+\infty[$, où j est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

On admet que $H(\text{j}\omega) = \dfrac{1}{1 + \text{j}\left(\frac{\omega}{2} - \frac{1}{\omega}\right)}$.
 
On propose deux méthodes pour déterminer la 
pulsation $\omega$ pour laquelle le module $\left|H(\text{j}\omega)\right|$ est 	
maximal.}\hfill
\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-0.5,-3)(6,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-0.5,-3)(6,3)
\pscircle(2,0){2}\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](0,0){0.15}
\psdots(2,0)(4,0)(3.2,-1.6)
\uput[d](6,0){$x$}\uput[l](0,3){$y$}\uput[dl](0,0){O}\uput[dl](2,0){I(0,5)}
\uput[dr](4,0){A(1)}\uput[ur](3.6,1.4){$\Gamma$}\uput[dr](3.2,-1.6){$M(H(\text{j}\omega))$}
\end{pspicture}}
 
\begin{center}\textbf{Les deux méthodes peuvent être traitées de façon 
indépendante.}\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item \emph{Méthode graphique}

\medskip
 
On admet que le lieu de transfert $\Gamma$ est le cercle de centre 1 d'affixe 0,5 et de rayon 0,5, privé du point O et représenté sur la figure ci-dessus. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la position du point $M$ sur $\Gamma$ pour laquelle la distance O$M$ est maximale. 
		\item En déduire la valeur de $H(\text{j}\omega)$ pour laquelle le module $\left|H(\text{j}\omega)\right|$ est maximal. 
		\item Déterminer la valeur $\omega_{0}$ de $\omega$ telle que $H(\text{j}\omega) = 1$.
	\end{enumerate}

\item \emph{Méthode analytique}

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item On considère la fonction $r$, définie sur $]0~;~+ \infty[$, par $r(\omega) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{\omega}{2} - \frac{1}{\omega}\right)^2}}$.

Montrer que, pour tout $\omega$ dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, le module $\left|H(\text{j}\omega)\right|$ vaut $r(\omega)$. 
		\item Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant pour la dérivée $r'$ de la fonction $r$ :

\[r'(\omega) = \dfrac{-2\left(\omega + \sqrt{2}\right)\left(\omega - \sqrt{2}\right)\left(\omega^2 + 2\right)}{\left(\omega^4 + 4\right)^{3/2}}.\] 

\textbf{Ce résultat est admis et ne doit pas être démontré.}
 
Par ailleurs, on admet que la fonction $r$ possède un maximum unique $\omega_{0}$ sur $]0~;~+ \infty[$. Déterminer la valeur de $\omega_{0}$ en utilisant l'expression $r'(\omega)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

$\omega_{0}$\emph{ est la pulsation de résonance du système.}

\newpage 
\textbf{Formulaire}

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,3)
\rput(4,1.5){\rnode{A}{$f(t)\mathcal{U}(t)$}}
\rput(8,1.5){\rnode{B}{$F(p)$}}
\ncarc[arcangleA=50,arcangleB=50]{->}{A}{B}
\ncarc[arcangleA=50,arcangleB=50]{->}{B}{A}
\rput(6,2.7){$\mathcal{L}$}
\rput(6,0.4){$\mathcal{L}^{-1}$}
\psframe(0,3)(12,-6.5)
\end{pspicture}
 
On rappelle les formules suivantes sur la transformation de Laplace.

\begin{center} 
$\mathcal{L}[\lambda f  + \mu g] =  \lambda \mathcal{L}[f] + \mu \mathcal{L}[g] ;$

$\mathcal{L}[\mathcal{U}(t)] = \dfrac{1}{p} ; $
 
$\mathcal{L}[\text{e}^{-at}\mathcal{U}(t)] = \dfrac{1}{p + a}$ ; 

$\mathcal{L}[ \sin (\omega t)\mathcal{U}(t)] = \dfrac{\omega}{p^2 + \omega^2}$.

\end{center} 

Plus généralement, si on note $\mathcal{L}[f(t)\mathcal{U}(t)] = F(p)$ alors,

\begin{center} 
 
$\mathcal{L}[f(t - \tau)\mathcal{U}(t - \tau)] = F(p)\text{e}^{-\tau p}$ ;

$\mathcal{L}[f(t) \text{e}^{-at} \mathcal{U}(t)] = F(p + a)$ ;

$\mathcal{L}[f'(t)\mathcal{U}(t)] = pF(p) - f\left(0^+\right)$.
\end{center} 
\end{document}