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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe B2 microtechniques}}
\rfoot{\small{mai 2009-}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Métropole--Antilles--Guyane--Polynésie \\ session 2009 - groupement B2 Microtechniques}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}
\end{center}
 
\emph{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip 

On considère l'équation différentielle
 
\[(E)  : \quad y'' - 2y' + y = 8 \text{e}^x.\] 

où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R,~ y'$ la fonction dérivée de $y$ et $y''$ sa fonction dérivée seconde.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer les solutions définies sur $\R$ de l'équation différentielle 

\[\left(E_{0}\right) :\quad   y'' - 2y'+y = 0.\] 
\item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = 4 x^2\text{e}^x$. 

Démontrer que la fonction $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$. 
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$. 
\item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie les conditions initiales $f(0) = -  4$ et $f'(0) = - 4$. 
\end{enumerate}

\medskip

\emph{B. Étude locale d'une fonction}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \left(4x^2 - 4\right)\text{e}^x\]

Sa courbe représentative $\mathcal{C}$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous. 

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\psset{xunit=1.4cm}
\begin{pspicture*}(-5,-5.5)(2.2,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-5,-5)(2,4.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt,gridcolor=orange](0,0)(-5,-5.5)(2,4)
\psplot[plotpoints=4000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-5}{1.148}{x dup mul 4 mul 4 sub 2.71828 x exp mul}
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](2,0){$x$} \uput[l](0,4.5){$f(x)$}\uput[dr](1,0){1} \uput[ul](0,1){1}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{figure}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que pour tout réel $x,~ f'(x) = 4\left(x^2 + 2 x - 1\right)\text{e}^x$. 
		\item  Donner sans justification la valeur exacte et la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ de l'abscisse de chacun des points de la courbe $\mathcal{C}$ où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction $f$ est :
		\[ 	f(x) = -4 -4x + 2x^2+ x^2\epsilon(x) \quad  \text{avec}~ \lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0.\]  
		\item Déduire du a. une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. 
		\item  Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et $T$ au voisinage du point d'abscisse $0$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip	
	
\emph{C. Calcul intégral}

\medskip
 
\textbf{Dans cette partie, les questions 1. et 2. peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  La fonction $f$ définie au début de la partie B est une solution de l'équation différentielle $(E)$ de la partie A.
 
Donc, pour tout $x$ de $\R,~ f(x) = - f''(x) + 2f'(x) + 8\text{e}^x$.
 
En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Donner, sans justification, le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $[0~;~1]$
		\item Dans cette question, on admet que la fonction $F$ définie sur $\R$ par 
	
$F(x) = \left(4x^2 - 8x + 4\right)\text{e}^x$ est une primitive de la fonction $f$.
	 
Déduire de ce qui précède l'aire $\mathcal{A}$, en unités d'aire, de la partie du plan limitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip

On considère un signal correspondant à la fonction $f$, définie sur $\R$, périodique de période $T = 2\pi$ et telle que:
 
\[f(t) = \pi - t~ pour 0 \leqslant t < \pi~ \text{et}~ f(t) = 0~ \text{pour}~ \pi \leqslant t < 2\pi.\]
 
Soit $S(t) = a_{0} + \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos(n\omega t\right) + b_{n} \sin \left(n\omega t\right)$ le développement en série de Fourier associé à la fonction $f$ 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer, dans un repère orthogonal, une représentation graphique de la fonction $f$, pour $t$ appartenant à l'intervalle $[- 2\pi~;~6\pi[$. 
\item  Montrer que $a_{0} = \dfrac{\pi}{4}$.
\item  Un logiciel de calcul formel a permis d'obtenir les intégrales suivantes, pour $n$ entier non nul : 
 
\[\int_{0}^{\pi}  (\pi - t)\cos (nt)\:\text{d}t = \dfrac{1 - (-1)^n}{n^2}\quad \text{et} \quad  \int_{0}^{\pi}  (\pi - t)\sin (nt)\:\text{d}t = \dfrac{\pi}{n}.\]
  
\textbf{Ces résultats sont admis et n'ont donc pas à être démontrés.}
 
En déduire les expressions de $a_{n}$ et de $b_{n}$ en fonction de l'entier non nul $n$. 
\item  \emph{Calcul d'une valeur approchée de la valeur efficace de} $f$

\medskip
 
Pour tout entier $n$, on pose $c_{n} = \sqrt{a_{n}^2 + b_{n}^2}$ pour $n \geqslant 1$ et $c_{0} = \left| a_{0}\right|$, où $a_{n}$ et $b_{n}$ sont les coefficients de Fourier de la fonction $f$.
 
Le tableau suivant donne les valeurs de $c_{n}$, arrondies à $10^{- 4}$, pour $n$ variant de $0$ à $5$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$n$		&0		&1		&2		&3		&4		&5\\ \hline
$c_{n}$	&\np{0,7854}	&\np{1,1854}	&0,5	&\np{0,3408}	&0,25	&\np{0,2016}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

On note $E_{f}$ la valeur efficace de la fonction $f$.
 
La formule de Parseval permet d'écrire : 

$\left(E_{f}\right)^2 = a_{0}^2 + \dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(a_{n}^2 + b_{n}^2\right) = c_{0}^2  + \dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} c_{n}^2$. 
 
On obtient une valeur approchée de $E_{f}$ en ne prenant pas en compte les harmoniques d'ordre supérieur ou égal à 6. On obtient alors une valeur approchée $P$ du carré de la valeur efficace  de $f$ par la formule : $P = c_{0}^2  + \dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{n=5} c_{n}^2$.
 
Donner, en utilisant le tableau ci-dessus, une approximation décimale à $10^{- 4}$ près de $P$.

\item \emph{Comparaison avec la valeur exacte de la valeur efficace de} $f$ 
	\begin{enumerate}
		\item On rappelle que $\left(E_{f}\right)^2 = \dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi} f^2(t)\:\text{d}t$. 

Montrer que $\left(E_{f}\right)^2 =  \dfrac{\pi^2}{6}$. 
		\item Déduire des questions précédentes une valeur approchée arrondie à $10^{- 3}$ du rapport $\dfrac{P}{\left(E_{f}\right)^2}$. 
	\end{enumerate}
\medskip
 
\emph{On peut observer ici que 	$\dfrac{P}{\left(E_{f}\right)^2}$ est inférieur à $0,95$. On constate ainsi que l'abandon des harmoniques d'ordre supérieur à 5 ne fournit pas une excellente approximation de $\left(E_{f}\right)^2$ dans le cas où, comme ici, les valeurs de $c_{n}$ ne décroissent pas rapidement.}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
 
\textbf{Formulaire pour les séries de Fourier}

\medskip
 
$f$ : fonction périodique de période $T$.

Développement en série de Fourier :

\medskip
 
$s(t) = a_{0} + \displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty} \left(a_{n} \cos (n\omega t) + b_{n} \sin (n\omega t)\right) = \displaystyle\sum_{- \infty}^{+ \infty} c_{k}\text{e}^{\text{i}k \omega t},~ (n \in \N^{*},~k \in \Z)$. 

$a_{0} = \dfrac{1}{T} \displaystyle\int_{a}^{a + T} f(t)\:\text{d}t \quad ;\quad  a_{n} = \dfrac{2}{T} \displaystyle\int_{a}^{a + T}	f(t) \cos(n \omega t)\:\text{d}t ;$ 

$b_{n} = \dfrac{2}{T}\displaystyle\int_{a}^{a + T}	f(t) \sin (n \omega t)\:\text{d}t$. 

$c_{k} = \dfrac{1}{T} \displaystyle\int_{a}^{a + T} f(t) \text{e}^{- \text{i}k \omega t}\:\text{d}t~(k \in \Z)~ ;~ c_{0} = a_{0}$. 

$\dfrac{a_{n} - \text{i}b_{n}}{2} = c_{n} ~;~ \dfrac{a_{n} + \text{i}b_{n}}{2} = c_{-n}~ (n \in \N^{*})$. 
\end{document}