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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe B}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ session 2008 - groupement B}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{Exercice 1 \hfill 12points}

\begin{center}
\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon
indépendante.}
\end{center}

\emph{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle $(E)\,:\, y'-2y=x\text{e}^x$ où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\R$, et $y'$ la fonction dérivée de $y$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions définies sur $\R$ de l'équation différentielle
$(E_0)$ :

\[y'-2y=0.\]

\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par 
\[g(x)=(- x - 1)\text{e}^x.\]
Démontrer que la fonction $g$ est une solution particulière de l'équation
différentielle $(E)$.
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie
la condition initiale $f(0)=0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{B. Étude locale d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x)=\text{e}^{2x}- (x + 1)\text{e}^x.\]

Sa courbe représentative $\mathcal{C}$ est donnée dans un repère orthogonal ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-2)(3,5.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-2)(3,5.5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,gridwidth=0.4pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-5,-2)(3,5)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.5pt]{-5}{1.3}{2.71828^(2*x)-(x+1)*2.71828^x}
\rput(1.2,2.5){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
 \item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout réel $x,\,f'(x)=\text{e}^x(2\text{e}^x-2-x)$.
		\item En déduire le coefficient directeur $f'(0)$ de la tangente  $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
		
Interpréter graphiquement ce résultat.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction $x\longmapsto\text{e}^{2x}$.
		\item Démontrer que le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction $f$ est :

\[f(x)=\frac{x^2}{2}+x^2\varepsilon (x)\quad\text{avec}\quad \lim_{x\to 0}\varepsilon(x)=0.\]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{C. Calcul intégral}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $I= \displaystyle\int_{-0,3}^{0,3}\frac{x^2}{2}\text{d} x$.

Démontrer que $I=0,009$.
\item On note $J = \displaystyle\int_{-0,3}^{0,3}\text{e}^{2x}\text{d}x$.

Démontrer que $J = 0,5\left(\text{e}^{0,6}-\text{e}^{-0,6}\right)$.
\item On note $K = \displaystyle\int_{-0,3}^{0,3}(x+1)\text{e}^x\text{d}x$.

Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que
$K=0,3\left(\text{e}^{0,3}+\text{e}^{-0,3}\right)$.
\item On note $L=\displaystyle\int_{-0,3}^{0,3}f(x)\text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item Déduire des questions précédentes la valeur exacte de $L$.
		\item Donner la valeur approchée de $L$ arrondie à $10^{-5}$.
		\item Vérifier que la valeur exacte de $I$ et la valeur approchée de $L$
obtenue à la question précédente différent de $4,5\times 10^{-4}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\begin{center}
\textbf{La question 5. de cet exercice peut-être traitée de façon indépendante}
\end{center}

\medskip

On considère le circuit représenté ci-dessous alimenté à tout instant $t$ par une tension $e(t)$ et on note $s(t)$ la tension aux bornes du condensateur.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,3.5)
\pnode(1.5,3){C}\pnode(3,3){D}
\pnode(4,0){A}\pnode(4,3){B}
\resistor(C)(D){$R$}
\psline(0,3)(1.5,3)\psline(3,3)(6,3)
\psline{->}(0,0.5)(0,2.5) \uput[r](0,1.5){$e(t)$}
\psline{->}(6,0.5)(6,2.5) \uput[r](6,1.5){$s(t)$}
\psline(0,0)(6,0)
\capacitor(A)(B){$C$}
\end{pspicture}
\end{center} 

\medskip
 
L'équation différentielle régissant ce circuit est
 
\[(1) :\quad RC s'(t) + s(t) = e(t)\]
 
avec $s(t) = 0$ pour $t \leqslant 0$ et où $s'$ est la dérivée de la fonction $s$.
 
En utilisant la transformation de Laplace, on se propose de rechercher la tension $s(t)$ aux bornes du condensateur dans le cas suivant : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $e(t) = \mathcal{U}(t) - \mathcal{U}(t - O,1)$  où la fonction $\mathcal{U}$ est la fonction échelon unité définie par
 
$\mathcal{U}(t) = 0~ \text{si}~ t < 0~ \text{et}~ \mathcal{U}(t) = 1~\text{si}~ t \geqslant  0$ ;
\item[$\bullet~$]  $R = 10~\Omega$ et $C = O,004$F.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Pour cela on admet que les fonctions $s, s'$ et $e$ admettent des transformées de Laplace.
 
On note $E(p) = \mathcal{L}[e(t)]$ et $S(p) = \mathcal{L}[s(t)]$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Sur une feuille de papier millimétré, tracer, dans un repère orthogonal, la représentation graphique de $e$ sur l'intervalle [0~;~0,2]. On prendra comme unité 1~cm pour 0,02 sur l'axe des abscisses et 10~cm pour 1 sur l'axe des ordonnées. 
\item  Déterminer $E(p) = \mathcal{L}[e(t)]$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l'équation différentielle (1), déterminer une expression de $S(p)$ en supposant que $s\left(0^{+}\right) = 0$. 
		\item  Montrer que $S(p)$ peut s'écrire sous la forme :
		 
\[S(p) = \dfrac{1}{p} - \dfrac{1}{p + 25} - \left(\dfrac{1}{p} -  \dfrac{1}{p + 25}\right)\text{e}^{-0,1p}.\]

	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\mathcal{L}^{-1}\left[\dfrac{1}{p} - \dfrac{1}{p + 25}\right]$. 
		\item En déduire $\mathcal{L}^{-1}\left[\dfrac{1}{p} - \dfrac{1}{p + 25}\right]\text{e}^{-0,1p}$  
		\item En déduire la tension $s(t) = \mathcal{L}^{-1}[S(p)]$. 
	\end{enumerate}
\item On admet que si $t \in [0~;~0,1[,~s(t) = 1 - \text{e}^{-25t}$ et si $t \in  [0,1~;~+\infty[,~s(t) = \text{e}^{-25t}\left(\text{e}^{2,5} -1\right)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (on donnera des valeurs décimales arrondies à $10^{-2}$ près. 

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0	&0,025	&0,05	&0,075	&0,100 &0,125 &0,15 &0,175 	&0,2 \\ \hline
$s(t)$	&	&		&		&		&		&		&	&		&\\ \hline
\end{tabularx} 

\medskip 
		\item Construire une représentation de $s$ sur le même graphique que celle de $e$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Formulaire}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,1.6)
\rput[l](0,1){\rnode{A}{$f(t)\mathcal{U}(t)$}}
\rput[r](4,1){\rnode{B}{$F(p)$}}
\ncarc[arcangle=20]{->}{A}{B}\ncarc[arcangle=20]{->}{B}{A}
\rput(2,1.6){$\mathcal{L}$}\rput(2,0.5){$\mathcal{L}^{-1}$}
\end{pspicture}
\end{center} 

On rappelle les formules suivantes sur la transformation de Laplace.

\medskip
 
\[\mathcal{L}[\lambda f + \mu g] = \lambda \mathcal{L}[f] + \mu \mathcal{L}[g].\]

\[\mathcal{L}[\mathcal{U}(t)] = \dfrac{1}{p}.\]
 
\[\mathcal{L} [f(t) \text{e}^{-at} \mathcal{U}(t)] = \dfrac{1}{p + a}.\]
 
Plus généralement, si on note $\mathcal{L}[f(t)\mathcal{U}(t)] = F(p)$ alors,

\[\mathcal{L}[f(t - \tau) \mathcal{U}(t - \tau)] = F(p)\text{e}^{-\tau p}\]

 
\[\mathcal{L} [f(t) \text{e}^{-at} \mathcal{U}(t)] = F(p + a) ;\].  


\[\mathcal{L} [f'(t) \mathcal{U}(t)] = pF(p) - f(O^+) ;\]
\end{document}