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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe B}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ session 2008 - groupement B}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\begin{center}
\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon
indépendante.}
\end{center}

\emph{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle $(E)\,:\, y'-2y=x\text{e}^x$ où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\R$, et $y'$ la fonction dérivée de $y$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions définies sur $\R$ de l'équation différentielle
$(E_0)$ :

\[y'-2y=0.\]

\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[g(x)=(- x - 1)\text{e}^x.\]

Démontrer que la fonction $g$ est une solution particulière de l'équation
différentielle $(E)$.
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie
la condition initiale $f(0)=0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{B. Étude locale d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x)=\text{e}^{2x}- (x + 1)\text{e}^x.\]

Sa courbe représentative $\mathcal{C}$ est donnée dans un repère orthogonal ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-2)(3,5.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-2)(3,5.5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,gridwidth=0.4pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-5,-2)(3,5)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.5pt]{-5}{1.3}{2.71828^(2*x)-(x+1)*2.71828^x}
\rput(1.2,2.5){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
 \item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout réel $x,\,f'(x)=\text{e}^x(2\text{e}^x-2-x)$.
		\item En déduire le coefficient directeur $f'(0)$ de la tangente  $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
		
Interpréter graphiquement ce résultat.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		 \item Déterminer le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction $x\longmapsto\text{e}^{2x}$.
		\item Démontrer que le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction $f$ est :

\[f(x)=\frac{x^2}{2}+x^2\varepsilon (x)\quad\text{avec}\quad \lim_{x\to 0}\varepsilon(x)=0.\]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{C. Calcul intégral}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $I= \displaystyle\int_{-0,3}^{0,3}\frac{x^2}{2}\text{d} x$.

Démontrer que $I=0,009$.
\item On note $J = \displaystyle\int_{-0,3}^{0,3}\text{e}^{2x}\text{d}x$.

Démontrer que $J = 0,5\left(\text{e}^{0,6}-\text{e}^{-0,6}\right)$.
\item On note $K = \displaystyle\int_{-0,3}^{0,3}(x+1)\text{e}^x\text{d}x$.

Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que
$K=0,3\left(\text{e}^{0,3}+\text{e}^{-0,3}\right)$.
\item On note $L=\displaystyle\int_{-0,3}^{0,3}f(x)\text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item Déduire des questions précédentes la valeur exacte de $L$.
		\item Donner la valeur approchée de $L$ arrondie à $10^{-5}$.
		\item Vérifier que la valeur exacte de $I$ et la valeur approchée de $L$
obtenue à la question précédente diffèrent de $4,5\times 10^{-4}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\begin{center}
\textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}
\end{center}

Une entreprise fabrique en grande série des pièces de bois. Ces pièces sont prévues pour s'encastrer les unes dans les autres.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(6,3.5)
\psline(0,0)(0,0.5)(0.6,0.5)(0.6,2)(0,2)(0,2.5)(4.2,2.5)(4.2,2)(4.8,2)(4.8,
0.5)(4.2,0.5)(4.2,0)(0,0)
\psline{<->}(-0.5,0.5)(-.5,2)
\rput(-.75,1.25){$y$}
\psline{<->}(5.3,0.5)(5.3,2)
\rput(5.55,1.25){$x$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{center}

\textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à}
$\mathbf{10^{-3}}$.

\end{center}

\emph{A. Loi normale}

\medskip

Une pièce de type est conforme lorsque sa cote $x$, exprimée en millimètres, appartient à l'intervalle $[9,5~;~10,5]$ et lorsque sa cote $y$ appartient à
l'intervalle $[10,5~;~11,5]$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque pièce de ce type
prélevée au hasard dans la production d'une journée, associe sa cote $x$. On suppose que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne 10 et d'écart type 0,21.

Calculer $P(9,5 \leqslant X \leqslant 10,5)$.
\item On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque pièce de ce type
prélevée au hasard dans la production d'une journée, associe sa cote $y$. On
admet que $P(10,5 \leqslant Y \leqslant 11,5) = 0,985$.

On suppose que les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont indépendantes.

On prélève une pièce au hasard dans la production d'une journée. Déterminer la probabilité qu'elle soit conforme.
\end{enumerate}

\medskip

\emph{B. Loi binomiale et loi de Poisson}

\medskip

On considère un stock important de pièces.

On note $E$ l'évènement : \og une pièce prélevée au hasard dans le stock est défectueuse\fg.

On suppose que $P(E) = 0,03$.

On prélève au hasard 50 pièces dans le stock de pièces pour vérification. Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50 pièces. On considère la variable aléatoire $Z$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de pièces de ce prélèvement qui sont défectueuses.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $Z$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
\item Calculer $P(Z = 0)$ et $P(Z\leqslant 2)$.
\item On considère que la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $Z$ peut être approchée par une loi de Poisson.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le paramètre $\lambda$ de cette loi de Poisson.
		\item On désigne par $Z_1$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de
paramètre $\lambda$, où $\lambda$ a la valeur obtenue au \textbf{a}.

En utilisant cette loi de Poisson, calculer la probabilité que, dans un tel
prélèvement de $50$~pièces, au plus deux pièces soient défectueuses.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{C. Intervalle de confiance}

\medskip

Dans cette partie, on considère une grande quantité de pièces devant être livrées à une chaîne d'hypermarchés. On considère un échantillon de $100$~pièces prélevées au hasard dans cette livraison. La livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise.

On constate que $96$~pièces sont sans défaut.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une estimation ponctuelle de la fréquence inconnue $p$ des pièces de cette livraison qui sont sans aucun défaut.
\item Soit $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $100$~pièces
prélevées au hasard et avec remise dans cette livraison, associe la fréquence
des pièces de cet échantillon qui sont sans défaut.

On suppose que $F$ suit la loi normale de moyenne $p$ et d'écart type
$\sqrt{\dfrac{p(1- p)}{100}}$, où $p$ est la fréquence inconnue des pièces de la livraison qui sont sans aucun défaut.

Déterminer un intervalle de confiance de la fréquence $p$ avec le coefficient
de confiance de 95\,\%.
\end{enumerate}
\end{document}