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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement B}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
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\begin{center}\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Groupement B session 2004}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

\medskip

\textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip

Une entreprise fabrique, en grande quantité, des tiges métalliques cylindriques pour l'industrie. Leur longueur et leur diamètre sont exprimés en millimètres.

\begin{center} \textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à} \boldmath  $10^{-2}$  \end{center}

\textbf{A. Loi normale}

\medskip

Une tige de ce type est considérée comme conforme pour la longueur lorsque celle-ci appartient à l'intervalle [99,45~;~100,55].

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tige prélevée au hasard dans la production, associe sa longueur.

On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $100$ et d'écart type $0,25$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité qu'une tige prélevée au hasard dans la production soit conforme pour la longueur.

\item  Déterminer le nombre réel $h$ positif tel que

\[P(100 - h \leqslant X \leqslant 100 +h) = 0,95.\]

Interpréter le résultat à l'aide d'une phrase.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{B. Loi binomiale et loi de Poisson}

\medskip

Dans un lot de ce type de tiges, 3\,\% des tiges ne sont pas conformes pour la longueur.

On prélève au hasard 50~tiges de ce lot pour vérification de la longueur. Le lot est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement a un tirage avec remise de 50~tiges.

On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de 50~tiges, associe le nombre de tiges non conformes pour la longueur.
\begin{enumerate}
\item  Justifier que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, deux tiges ne soient pas conformes pour la longueur.
\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux tiges ne soient pas conformes pour la longueur.
\item  On considère que la loi suivie par $Y$ peut être approchée par une loi de Poisson.

Déterminer le paramètre $\lambda$ de cette loi de Poisson.
\item  On désigne par $Z$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda$ où $\lambda$ a la valeur obtenue au \textbf{4.}.

Calculer $P(Z =  2)$ et $P(Z \leqslant 2)$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{C. Intervalle de confiance}

\medskip

Dans cette question on s'intéresse au diamètre des tiges, exprimé en millimètres.

On prélève au hasard et avec remise un échantillon de 50~tiges dans la production d'une journée.

Soit $\overline{D}$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 50~ tiges prélevées au hasard et avec remise dans la production d'une journée, associe la moyenne des diamètres des tiges de cet échantillon.\\
On suppose que $\overline{D}$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart type	$\dfrac{\sigma}{\sqrt{50}}$	avec $\sigma = 0,19$.\\
Pour l'échantillon prélevé, la moyenne obtenue, arrondie à $10^{-2}$  est $\overline{x}= 9,99$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  À partir des informations portant sur cet échantillon, donner une estimation ponctuelle de la moyenne $\mu$ des diamètres des tiges produites dans cette journée.
\item   Déterminer un intervalle de confiance centré sur $\overline{x}$ de la moyenne $\mu$ des diamètres des tiges produites pendant la journée considérée, avec le coefficient de confiance 95\,\%.
\item   On considère l'affirmation suivante :  \og la moyenne $\mu$ est obligatoirement dans l'intervalle de confiance obtenu à la question \textbf{2} \fg.

Est-elle vraie ? (On ne demande pas de justification).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 11 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, on étudie une fonction qui intervient
dans des calculs de probabilité à propos de la crue d'un fleuve.}

\emph{(Source : un bureau d'étude du domaine de l'équipement)}

\begin{center}
\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon
indépendante.}
\end{center}

\emph{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle 

\[( E) ~~ :\quad  y^{\prime}+ (0,4x)y = 0,4x\]

où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle
$x,$ définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[  ,$ et $y^{\prime}$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions de l'équation différentielle $\left(
E_{0}\right)~~: \quad y^{\prime}+(0,4x)y=0$.
\item Montrer que la fonction constante $h,$ définie sur $[
0~;~+\infty[  $ par $h(x)  =1,$ est une solution particulière
de l'équation différentielle $(E).$
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle
$\left(E\right)  .$
\item Vérifier que la fonction $F$ définie sur $\left[  0;+\infty\right[  $
par $F(x)  = 1 - \text{e}^{-0,2x^{2}}$ est la solution particulière de
l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie la condition
initiale $F(0)  =0.$
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{B. Étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(x)  = 0,4 x \text{e}^{-0,2x^{2}}.\]

On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal \Oij, les unités graphiques étant de 2~cm sur l'axe des abscisses et de 10~cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)  = 0.$

Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[  ,$
$f^{\prime}(x)  =0,4\left(1- \sqrt{0,4}~x\right)  \left(
1+\sqrt{0,4}~x\right)  \text{e}^{-0,2x^{2}}.$
		\item En déduire le signe de $f^{\prime}(x)$ sur $[
0~;~+\infty[.$
		\item Donner le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[.$

On y fera figurer la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ du maximum de la fonction $f.$
	\end{enumerate}
\item Un logiciel de calcul formel fournit pour $f$ le développement limité suivant, à l'ordre 3, au voisinage de $0$ :
 
\[f(x)  =0,4x - 0,08 x^{3} + x^{3}\varepsilon(x)~ \text{avec}~ \displaystyle\lim_{x\to 0}\varepsilon(x)  =0.\]

\textbf{Ce résultat est admis et n'est donc pas à démontrer.}

En déduire une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$, et la position relative de $\mathcal{T}$ et de $\mathcal{C}$ au voisinage de ce point.
\item Tracer sur la copie la tangente $\mathcal{T}$ et la courbe $\mathcal{C}$
dans le repère \Oij{} défini au début de la partie \emph{B.}
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{C. Application à un problème de probabilité}

\medskip

\emph{Une étude statistique, fondée sur un historique des crues d'un fleuve, permet de faire des prévisions sur sa hauteur maximale annuelle, en mètres.}

On note $X$ la variable aléatoire qui, à une année prise au hasard dans une longue période, associe la hauteur maximale du fleuve en mètres.

\medskip

Soit $x$ un réel positif. La probabilité qu'une année donnée la hauteur maximale du fleuve soit inférieure à $x$ mètres est $P(X\leqslant x)
= \displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\:\text{d}t$ où $f$ est la fonction définie dans la partie \emph{B.}

On admet que $\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\:\text{d}t = 1 - \text{e}^{-0,2x^{2}}.$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les digues actuelles ne protègent l'agglomération que lorsque la hauteur est inférieure à 4~mètres.

Calculer la probabilité $P(X\leqslant 4)$ qu'une année donnée, l'agglomération soit protégée de la crue ; arrondir le résultat à $10^{-2}.$
\item Afin de réaliser des travaux pour améliorer la protection de
l'agglomération, on cherche la hauteur $x_{0},$ en mètres, telle que $P(
X\leqslant  x_{0})  0,99.$
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $x_{0}$ est solution de l'équation : $\text{e}^{-0,2x^{2}}=0,01.$
		\item Déterminer la valeur approché arrondie à $10^{-2}$ de $x_{0}.$
		\item On considère l'affirmation suivante :

\og En surélevant les digues actuelles d'un mètre, la probabilité qu'une année prise au hasard, l'agglomération soit protégée est supérieure à 0,99~\fg.


Cette affirmation est-elle vraie ? (Donner la réponse sans explication)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}