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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe B : bâtiment, travaux publics}}
\rfoot{\small{mai 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Métropole--Antilles--Guyane \\session 2010 - groupement B1}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip

\begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \end{center}

\textbf{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip
 
On considère l'équation différentielle 

\[(\text{E})~:\quad  y' - y = \text{e}^x - 2x\]
 
où la fonction inconnue $y$, de la variable réelle $x$, est définie et dérivable sur $\R$ et $y'$ désigne  sa fonction dérivée.
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions définies sur $\R$ de l'équation différentielle 

\[\left(\text{E}_{0} \right) : \quad y'- y = 0. \]

\item  Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[g(x) = x \text{e}^x + 2x + 2.\]
 
Démontrer que la fonction $g$ est une solution particulière de l'équation différentielle (E). 
\item  En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E). 
\item  Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale $f(0) = 3$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{B. Étude d'une fonction}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = (x + 1)\text{e}^x + 2x + 2.\]

Sa courbe représentative $\mathcal{C}$ est donnée dans un repère orthogonal ci-dessous. 

\medskip

\begin{figure}[!h]
\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-5,-10)(5,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-5,-10)(5,10)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.8pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,griddots=8](-5,-10)(5,10)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=10000]{-5}{1.05}{x 1 add 2.71828 x exp mul x 2 mul add 2 add}
\uput[r](1,9){$\mathcal{C}$}\uput[d](5,0){$x$}\uput[l](0,10){$y$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{figure}

\begin{enumerate}
\item  Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. 
\item  \emph{Pour cette question, une seule réponse A, B, C est exacte. Indiquer sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. On ne demande aucune justification.\\ 
La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}
 
La courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote en $- \infty$ dont une équation est : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Réponse A& Réponse B&Réponse C\\ \hline 
$y = x + 1$& $y = 2x + 2$&$y = 2$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction $f$ est : 	
\[f(x) = 3 + 4x + \dfrac{3}{2}x^2 + x^2 \varepsilon(x)~~ \text{avec}~~ \lim_{x \to 0} \varepsilon(x) = 0.\] 

\emph{Pour les question 3. \text{b} et 3. \text{c}, une seule réponse A, B, C est exacte. Indiquer sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. On ne demande aucune justification.\\ 
La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}
 
		\item  Une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ est: 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Réponse A& Réponse B&Réponse C\\ \hline 
$y=3 $& $y= 3 + 4x$&$y= \dfrac{3}{2}x^2 $\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item  Au voisinage du point d'abscisse $0$, la courbe $\mathcal{C}$ est :
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Réponse A& Réponse B&Réponse C\\ \hline 
au-dessus de la tangente T pour tout $x$.& au-dessous de la tangente T pour tout $x$.&au-dessous de la tangente T quand $x < 0$ et au-dessus quand $x > 0$.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip		 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Calcul intégral}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On note $I = \displaystyle\int_{-1}^1  (2x + 2)\:\text{d}x$.

Montrer que $I = 4$. 
\item  On note $J = \displaystyle\int_{-1}^1 (x + 1)\text{e}^x\:\text{d}x$.
 
Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que $J = \text{e} + \text{e}^{- 1}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note $K = \displaystyle\int_{-1}^1 f(x)\:\text{d}x$, où $f$ est la fonction définie dans la partie B.
		 
Déduire de ce qui précède la valeur exacte de $K$. 
		\item Donner la valeur de $K$, arrondie à $10^{- 2}$. 
		\item On admet que pour tout $x$ de l'intervalle $[-1~;~1],~ f(x) \geqslant 0$.
		
Donner une interprétation graphique de K.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip

\begin{center} \textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \end{center}
 
Dans une usine de conditionnement, une machine remplit à la chaîne des bouteilles d'un certain liquide.

\medskip
 
\emph{A. Loi binomiale et loi de Poisson}

\medskip
 
Dans cette partie, les résultats approchés sont à arrondir à $10^{-3}$.
 
On note $E$ l'évènement \og une bouteille prélevée au hasard dans un stock important est non conforme au cahier des charges \fg.

On suppose que la probabilité de $E$ est $0,02$.
 
On prélève au hasard 30~bouteilles dans le stock pour vérification. On suppose que le stock est suffisamment important pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à chaque prélèvement de 30~bouteilles, associe le nombre de bouteilles non conformes.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 
		\item Calculer $P(X \leqslant  1)$.
	\end{enumerate} 
\item  On considère que la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ peut être approchée par une loi de Poisson.
 
Déterminer le paramètre $\lambda$ de cette loi de Poisson.
 
On désigne par $Y$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ a la valeur obtenue au a.
 
En utilisant cette variable aléatoire, calculer la probabilité que dans un tel prélèvement de 30~bouteilles, au plus une bouteille soit non conforme.
\end{enumerate}

\begin{center} 
\textbf{Dans ce qui suit, les résultats approchés sont à arrondir à}\boldmath  $10^{-2}$.\end{center}
 
\emph{B. Loi normale}

\medskip
 
Dans cette partie, on considère une grande quantité de bouteilles devant être livrées à des clients. On note $Z$ la variable aléatoire qui, à une bouteille prélevée au hasard dans cette livraison, associe sa contenance en centilitres.
 
On suppose que $Z$ suit la loi normale de moyenne $70$ et d'écart type 1.
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $P(68 \leqslant  Z \leqslant 72)$. 
\item  Déterminer le nombre réel $h$ positif tel que $P(70 - h \leqslant Z \leqslant 70 + h) = 0,99$. 
\end{enumerate} 

\bigskip

\emph{C. Intervalle de confiance}

\medskip
 
Une chaîne de supermarchés réceptionne un lot important de bouteilles dont elle souhaite estimer la contenance moyenne. On prélève au hasard et avec remise un échantillon de 100~bouteilles dans ce lot.
 
Soit $\overline{C}$ la variable aléatoire qui à tout échantillon de 100~bouteilles ainsi prélevé associe la moyenne des contenances en centilitres des bouteilles de cet échantillon. On suppose que $\overline{C}$ 
suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart type $\dfrac{\sigma}{\sqrt{100}}$ avec $\sigma = 1$. 

Pour l'échantillon prélevé, la moyenne obtenue est $\overline{x} = 70,12$.
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer un intervalle de confiance centré en $\overline{x}$ de la moyenne $\mu$ des contenances des bouteilles de ce lot, avec le coefficient de confiance 95\:\%. (On arrondira les bornes de l'intervalle à $10^{- 2}$). 
\item  On considère l'affirmation suivante : \og la moyenne $\mu$ est obligatoirement dans l'intervalle de confiance obtenu à la question 1. \fg.
 
Cette affirmation est-elle vraie ? (Donner la réponse sans explication). 
\end{enumerate}
\end{document}