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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement A Techniques physiques pour l'industrie et le laboratoire}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
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\thispagestyle{empty}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur session 2007~\decofourright\\Groupement A}}

\bigskip{\textbf{Techniques physiques pour l'industrie et le laboratoire}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip

On s'intéresse à un système entrée-sortie susceptible d'être contrôlé.

Dans la partie A, on étudie le système en l'absence de contrôle.

Dans la partie B, on étudie le système soumis à un contrôle.

Les parties A, B et C sont indépendantes dans leurs résolutions respectives.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère l'équation différentielle $(E_1)$ suivante :

\[\dfrac{1}{2}y^{\prime}(t)+y(t)=10-\beta\quad (E_1)\]

où $y$ désigne une fonction dérivable de la variable réelle $t$ et $\beta$ une constante réelle.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $h$ définie pour tout nombre réel $t$ par $h(t)=10-\beta$ est solution de l'équation différentielle $(E_1)$.
\item Résoudre l'équation différentielle $(E_1)$.
\item Montrer que la fonction $f$, solution de l'équation différentielle $(E_1)$ et qui vérifie $f(0)=10$ est définie sur $\R$ par $f(t)=\beta\text{e}^{-2t}+10-\beta$.
\item Calculer $\displaystyle\lim_{t\to +\infty}f(t)$ que l'on note $f_\infty$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On rappelle que la fonction échelon unité $U$ est définie par :

\[\left\{\begin{aligned} U(t)&=0& \text{si }t<0\\
   U(t)&=1& \text{si }t\geqslant 0 
\end{aligned}\right.\]

et qu'une fonction définie sur $\R$ est dite causale si elle est nulle pour tout nombre réel strictement négatif.

\medskip

On considère la fonction causale $g$ qui vérifie la relation $(E_2)$ suivante :
\begin{align*}&\dfrac{1}{2}g^{\prime}(t) + g(t) = 13\int_0^t[10U(u) - g(u)]\text{d}u + (10-\beta)U(t)\quad (E_2)\\
 &\text{et la condition } g(0)=10.\end{align*}
On admet que la  fonction $g$ admet une transformée de Laplace notée $G$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la transformée de Laplace $I$ de la fonction $i$ définie par :

\[i(t)=13\displaystyle\int_0^t[10U(u)-g(u)]\text{d}u\]

est telle que
 
\[I(p)=\dfrac{130}{p^2}-13\dfrac{G(p)}{p}.\]

\item En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de la relation $(E_2)$, déterminer une expression de $G(p)$.
\item Vérifier que $G(p)=\dfrac{10}{p}-\dfrac{2\beta}{(p+1)^2+5^2}$.
\item Dans cette question, on va déterminer $\displaystyle\lim_{t\to +\infty} g(t)$, que l'on note $g_\infty$ et qui est la valeur finale du signal représenté par la fonction $g$.

On rappelle que, d'après le théorème de la valeur finale, $g_\infty= \displaystyle\lim_{p\to 0^+}pG(p)$.

Déterminer $g_\infty$.
\item
	 \begin{enumerate}
		\item Déterminer la transformée de Laplace de la fonction qui à tout nombre réel $t$ associe $\text{e}^{-t} \sin(5t)U(t)$.
		\item En déduire l'expression de $g(t)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\textbf{Dans cette partie, on prend $\mathbf{\beta=5}$.}

\medskip

En \textbf{annexe 1, à rendre avec la copie}, on a représenté, sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, les courbes $C_f$ et $C_g$ représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies dans les parties A et B avec $\beta=5$.

On admet ici que pour tout nombre réel $t$ positif ou nul : 

$f(t)=5\text{e}^{-2t}+5$ et $g(t)=10-2\text{e}^{-t}\sin(5t)$.

On rappelle que $f_\infty$ et $g_\infty$ sont les limites respectives des fonctions $f$ et $g$ en $+\infty$.

On a donc : $f_\infty=5$ et $g_\infty=10$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout nombre réel $t$ positif ou nul on a : $\dfrac{f(t) - f_\infty}{f_\infty}=\text{e}^{-2t}$.
		\item Soit $t_1$ le nombre réel tel que :
\[\dfrac{f(t)-f_\infty}{f_\infty}\leqslant 0,02 \quad \text{pour tout } t\geqslant t_1.\]
Calculer la valeur exacte de $t_1$, puis une valeur approchée de $t_1$ arrondie au dixième.
	\end{enumerate}
\item Soit $t_2$ le nombre réel tel que :
\[- 0,02\leqslant \dfrac{g(t)-g_\infty}{g_\infty}\leqslant 0,02 \quad \text{pour tout } t \geqslant t_2.\]
Graphiquement, déterminer une valeur approchée de $t_2$, arrondie au dixième.
\end{enumerate}
\medskip
\textsl{Dans ce problème, on a étudié un système entrée-sortie, dans la partie A libre de tout asservissement, puis dans la partie B contrôlé par une commande intégrale.\\
On a montré que grâce à cette commande on peut stabiliser la sortie à la valeur 10 indépendamment de la perturbation $\beta$, au prix d'une détérioration du temps de réponse du système et de l'apparition d'oscillations amorties.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip

Les parties A et B peuvent être traitées de \textbf{manière indépendante}.

\medskip
 
Le fournisseur d'accès Internet Mathoile propose des abonnements comportant la fourniture d'un modem ADSL. On appelle $p$ la proportion de modems défectueux parmi ceux fournis aux clients.

Dans tout l'exercice, on considère que $p$ est aussi la probabilité pour un client donné de recevoir un modem défectueux.
 
Une association de consommateurs lance une enquête auprès des abonnés à sa revue pour estimer leur degré de satisfaction concernant leur abonnement ADSL. On appelle $p'$ la proportion de modems défectueux parmi ceux qui ont été fournis aux abonnés à la revue, clients de Mathoile.

\medskip
 
\textbf{Partie A : estimation de } \boldmath $p^{\prime}$ \unboldmath

\medskip
 
Parmi les réponses à l'enquête reçues par l'association, 428 concernent des abonnés, clients du fournisseur d'accès Mathoile. Sur ces 428 abonnés, 86 déclarent avoir reçu un modem défectueux.
 
\begin{enumerate}
\item On note $f_{e}$ la proportion de modems défectueux chez les abonnés, également clients de Mathoile, ayant répondu à l'enquête.
 
Donner la valeur exacte de $f_{e}$, puis sa valeur arrondie au centième.  
\item Soit $F$ la variable aléatoire qui, à un lot de $n$ modems, pris au hasard parmi ceux fournis par Mathoile dans la population des abonnés à la revue, associe la fréquence d'appareils défectueux.
 
On peut admettre, $n$ étant assez grand, que la variable aléatoire $F$ suit une loi normale de moyenne  $p^{\prime}$ et d'écart type $\sigma = \sqrt{\dfrac{p^{\prime}\left(1 - p^{\prime}\right)}{n}}$. 
 
Dans cette situation, l'écart type $\sigma$ de la variable aléatoire $F$ peut être approché par $\sqrt{\dfrac{f_{e}\left(1 - f_{e}\right)}{n}}$.

\medskip

Les responsables de la revue font le raisonnement suivant : \og le grand nombre de réponses reçues à notre enquête par les abonnés à notre revue, clients de Mathoile, est un échantillon pris au hasard dans l'ensemble de nos abonnés qui ont reçu un modem Mathoile \fg. Dans cette hypothèse, déterminer un intervalle de confiance de $p'$,avec un coefficient de confiance de $0,95$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Partie B : test de validité d'hypothèse}

\medskip
 
Le fournisseur d'accès Mathoile réfute que l'estimation de la proportion $p'$ de modems défectueux obtenue dans la partie A puisse s'appliquer à l'ensemble de sa production.
 
Il considère en effet que l'échantillon des personnes qui ont répondu à l'enquête n'est pas représentatif de sa clientèle.
 
Ce fournisseur contacte alors un organisme indépendant qui procède à son tour à une enquête en interrogeant $400$~clients Mathoile choisis de manière aléatoire. 

\medskip

On appelle $G$ la variable aléatoire qui, à un échantillon de $400$~modems, associe la fréquence d'appareils défectueux dans cet échantillon. À partir de cette enquête, on souhaite tester, au seuil de 5\:\%, l'hypothèse nulle $H_{0}$ : \og la probabilité $p$ est égale à 0,16 \fg{} contre l'hypothèse alternative $H_{1}$ : \og la probabilité $p$ est inférieure à $0,16$ \fg.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On peut supposer, \textbf{sous l'hypothèse nulle}, que $G$ suit une loi normale de moyenne $0,16$ et d'écart type $s = \sqrt{\dfrac{0,16(1 - 0,16)}{400}}$. 

Soit $a$ le nombre réel  tel que : $p(G < 0,16 - a) = 0,05$.
 
Montrer qu'une valeur arrondie à $10^{-1}$ du nombre $a$ est égale à $0,030$. 
\item Énoncer la règle de décision du test. 
\item Sur 400 personnes interrogées, 48 déclarent avoir reçu un modem défectueux. Quelle est la conclusion du test ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\emph{L'estimation de la partie A repose sur un échantillon non aléatoire et, sans doute, pas représentatif des clients du fournisseur Mathoile.\\ 
En revanche, dans la partie B, la méthodologie de construction du test est acceptable.} 
\end{document}