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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie Groupe A}}
\rfoot{\small{novembre 2008}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\novembre 2008 - groupement A Nouvelle-Calédonie}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip

On désigne par $\alpha$ un nombre réel positif tel que $0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$.
 
On considère la fonction $f$ définie sur $R$,  paire, périodique de période $2\pi$, telle que : 

\[\left\{\begin{array}{l c r c l}
 f(t)&=& 1& \quad \text{si}& 0 \leqslant t \leqslant \alpha\\
f(t)&=&0& \quad \text{si}&\alpha < t < \pi - \alpha\\
f(t)&=&-1& \quad \text{si}&\pi - \alpha \leqslant t \leqslant \pi\\
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Dans cette question}, le nombre réel $\alpha$ vaut $\dfrac{\pi}{3}$.
 
Dans un repère orthogonal, représenter graphiquement la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2\pi~;~2\pi]$. 
\item  On appelle $S$ la série de Fourier associée à la fonction $f$ 

On note $S(t)= a_{0} + \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_{n} \cos (nt) + b_{n} \sin(nt)\right)$. 

Le but de cette question est de calculer les coefficients de la série de Fourier $S$ pour une valeur  quelconque du nombre réel $\alpha $ tel que $0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $a_{0}$, valeur moyenne de la fonction $f$ sur une période. 
		\item  Déterminer $b_{n},~n$ désignant un nombre entier naturel strictement positif. 
		\item  Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on a :
		
\[a_{n}  = \dfrac{2}{n\pi}\left[1 - (- 1)^n\right] \sin (n\alpha).\] 

	\end{enumerate} 
\item Déterminer la valeur $\alpha_{0}$ de $\alpha$ pour laquelle on a $a_{3} = 0$. 
\item \textbf{Pour toute la suite de l'exercice}, on se place dans le cas où $\alpha = \dfrac{\pi}{3}$. 

\medskip

\textbf{Rappels :}
 
Si $h$ désigne une fonction périodique de période $T$, le carré de la valeur efficace $H$ de la fonction $h$ sur une période est : 

\[H^2 = \dfrac{1}{T}\int_{r}^{r + T} [h(t)]^2\:\text{d}t.\]

$r$ désignant un nombre réel quelconque. 

Si les coefficients de Fourier de la fonction $h$ sont $a_{0},~a_{n}$ et $b_{n}$ alors :

\[\dfrac{1}{T}\int_{r}^{r + T} [h(t)]^2\:\text{d}t = a_{0}^2 + \sum_{n = 1}^{+ \infty}\dfrac{a_{n}^2 + b_{n}^2}{2} ~~\text{formule de Parseval}\]

	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $F^2$, carré de la valeur efficace de la fonction $f$ sur une période. 
		\item   On définit  sur $\R$ la fonction $g$ par : 
\[g(t) = a_{0} +a_{1} \cos (t) + b_{1} \sin{t}+ a_{2} \cos (2t)+ b_{2} \sin (2t).\]
 
Montrer que $g(t) = \dfrac{2\sqrt{3}}{\pi} \cos(t)$ pour tout nombre réel $t$. 
		\item   Calculer $G^2$, carré de la valeur efficace de la fonction $g$ sur une période. 
		\item   Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près du quotient $\dfrac{G^2}{F^2}$.
		
\medskip
		
\emph{Ce dernier résultat montre que la fonction $g$ constitue une assez bonne approximation de la fonction $f$.}
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

On s'intéresse à un système entrée-sortie. 

Dans les parties A et B, on étudie la réponse de ce système à deux entrées différentes.

Les parties A et B sont indépendantes dans leurs résolutions respectives. 

\medskip

\textbf{Partie A} 

\medskip

On considère l'équation différentielle $\left(\text{E}_{1}\right)$ suivante : 

\[ y"(t) + 4 y(t) = 8 \quad 	\left(\text{E}_{1}\right)\]

où $y$ désigne une fonction dérivable de la variable réelle $t$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner la solution particulière constante de l'équation différentielle $\left(\text{E}_{1}\right)$. 
		\item  Déterminer la solution générale de l'équation $\left(\text{E}_{1}\right)$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la fonction $f$, solution de l'équation différentielle $\left(\text{E}_{1}\right)$ et qui vérifie $f(0) = 0$ et $f'(0) =  0$ est définie sur $\R$ par :
		 
\[f(t) = 2[1- \cos(2t)]. \]

		\item La fonction $f$ est périodique. En donner une période. 
		
Préciser, sans justification, le maximum et le minimum de la fonction $f$. 
		\item  Représenter la fonction $f$ sur l'intervalle $[ 0~;~ 2\pi]$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
On rappelle que la fonction échelon unité $U$ est définie par :
 
\[\left\{\begin{array}{l c l c l}
U(t)&=&0 &\quad \text{si}& t <0\\
U(t)&=&1& \quad \text{si}& t \geqslant 0\\
\end{array}\right.\]
 
Une fonction définie sur $\R$ est dite causale si elle est nulle sur l'intervalle $] -\infty~;~ 0[$.
 
On considère la fonction $e$ définie sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ par : 

\[e(t) =  8 \left[U(t) - U\left(t -\dfrac{\pi}{2}\right) + U(t - \pi) - U\left(t - \dfrac{3\pi}{2}\right) \right]\]
 
On considère la fonction causale $g$ qui vérifie les conditions $g(0) = 0$ et $g'(0) =  0$, ainsi que la relation $\left(\text{E}_{2}\right)$ suivante :

\[y"(t) + 4y(t) = e(t) \quad \left(\text{E}_{2}\right)\]

On admet que la fonction $g$ possède une transformée de Laplace notée $G$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Représenter la fonction $e$ sur l'intervalle $[0~;~2\pi]$. 
		\item On appelle $\mathcal{E}$ la transformée de Laplace de la fonction $e$. 
		
Déterminer $\mathcal{E}(p)$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  En appliquant  la transformation de Laplace aux deux membres de l'équation $\left(\text{E}_{2}\right)$,  montrer que : 

\[G(p) = \dfrac{8}{p\left(p^2 +4\right)}\left(1 - \text{e}^{- p \frac{\pi}{2}} + \text{e}^{-p\pi} - \text{e}^{- p\frac{3\pi}{2}}\right).\]
 
		\item 	Vérifier que la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(t) =  2[1 - \cos(2t)]U(t)$ a pour transformée de Laplace la fonction $H$ définie par 

	\[H(p) = \dfrac{8 }{p\left(p^2 +4\right)}.\]
		\item Donner une expression de la fonction $g$, en utilisant éventuellement la fonction $h$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  On donne les expressions de $g(t)$ sur les intervalles $\left[\dfrac{\pi}{2}~;~\pi \right[$ et $\left[\dfrac{3\pi}{2}~;~+ \infty \right[$ :

\renewcommand{\arraystretch}{1.8}		
\[\left\{\begin{array}{l c l c l}		
g(t)&=&-4 \cos (2t)&\quad  \text{si} & t \in \left[\dfrac{\pi}{2}~;~\pi \right[\\ 
g(t)&=&-8\cos (2t)& \text{si} & t \in \left[\dfrac{3\pi}{2}~;~+ \infty \right[\\
\end{array}\right.\]
 
Donner des expressions similaires de $g(t)$ pour les intervalles $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$ et $\left[\pi~;~\dfrac{3\pi}{2}\right[$. 
		\item  On a représenté sur \textbf{l'annexe, à rendre avec la copie} la fonction $g$ sur les intervalles 
$\left[\dfrac{\pi}{2}~;~\pi \right[$ et $\left[\dfrac{3\pi}{2}~;~+ \infty \right[$.

Compléter le graphique en traçant la représentation graphique de $g$ sur les intervalles 
$\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$  et $\left[ \pi~;~ \dfrac{3\pi}{2}\right[$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe}

\vspace{0,5cm}

à rendre avec la copie

\vspace{2cm}

\psset{trigLabels=true,labelFontSize=\scriptstyle,yunit=0.56cm}
%\psset{xunit=\pstRadUnit}
\begin{pspicture}(-0.5,-10)(6,10)
\psaxes[xunit=1.5707,trigLabelBase=2,dx=1]{->}(0,0)(-0.5,-10)(5,10)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{1.5708}{3.14159}{x 2 mul  RadtoDeg cos 4 mul neg}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{4.7124}{7.85398}{x 2 mul  RadtoDeg cos 8 mul neg}
\uput[d](7.8,0){$t$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}