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%Merci à Emmanuelle Pernot de nous avoir communiqué ce sujet 
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie Groupe A}}
\rfoot{\small{novembre 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\   groupement A Nouvelle-Calédonie - novembre 2011}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer, à l'aide d'une intégration par parties, la valeur exacte de l'intégrale : 
 
\[J = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2t \cos (2t)\:\text{d}t.\]
 
\item Pour tout nombre entier $n$  supérieur ou égal à 1, on considère l'intégrale : 

\[I_{n} =  \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2t \cos (2nt)\:\text{d}t.\] 

On admet que : $I_{n} = \dfrac{(- 1)^n - 1}{2n^2}$.

Vérifier, à l'aide de cette formule, le résultat obtenu à la question 1.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère la fonction $f$, périodique de période $\pi$, définie sur l'ensemble des nombres réels par : 

\[\left\{\begin{array}{l c l l l}
f(t) &=& \phantom{-}2t &\text{si}&0\leqslant t < \dfrac{\pi}{2}\\
f(t) &=& -2t + 2\pi&\text{si}&   \dfrac{\pi}{2} \leqslant t < \pi.
\end{array}\right.\]
 
\begin{enumerate}
\item Sur la figure 1 du document réponse, tracer la représentation graphique de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2\pi~;~2\pi]$.
 
Les coefficients du développement de Fourier de la fonction $f$ sont notés $a_{0},\: a_{n}$ et $b_{n}$ où $n$ désigne un nombre entier supérieur ou égal à 1. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement la parité de la fonction $f$. 
		\item En déduire $b_{n}$ pour tout nombre entier $n$ supérieur ou égal à 1. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $a_{0}$. 
		\item Montrer, en vous aidant de la partie A, que pour tout nombre entier $n$ supérieur ou égal à 1 : 

\[a_{n} = \dfrac{2\left[(-1)^n - 1\right]}{\pi n^2}.\] 

	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau 1 du document réponse avec des valeurs approchées à $10^{-5}$ près. 
		\item On considère un nombre entier $k$ supérieur ou égal à 1 et on pose : 

\[P_{k} = a_{0}^2 + \sum_{n=1}^k \dfrac{a_{n}^2 + b_{n}^2}{2}.\]

En utilisant les résultats du tableau 1, justifier qu'une valeur approchée de $P_{5}$ à $10^{-4}$ près est \np{3,2893}. 
		\item On note $f^2_{\text{eff}}$ le carré de la valeur efficace de la fonction $f$ sur une période. 

On admet que $f^2_{\text{eff}} = \dfrac{\pi^2}{3}$.
 
À l'aide du tableau 1 et de la calculatrice, déterminer la plus petite valeur de $k$ telle que : 

\[\dfrac{P_{k}}{f^2_{\text{eff}}} > 0,999.\]

	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 11 points}

\medskip

Cet exercice comporte deux parties indépendantes. 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Chaque jour, une entreprise produit des condensateurs identiques en grande quantité. Chaque condensateur fabriqué peut présenter deux défauts : l'un au niveau des armatures, appelé défaut A, et l'autre, appelé défaut B, au niveau du diélectrique. 

Une étude statistique a montré que 2\,\% des condensateurs fabriqués présentent le défaut A et 1\,\% le défaut B. La présence du défaut A sur un condensateur choisi au hasard dans la production est considérée comme un évènement aléatoire indépendant de la présence du défaut B sur le même condensateur. 

\begin{enumerate}
\item On prélève un condensateur au hasard dans la production. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que ce condensateur présente les deux défauts A et B. 
		\item Calculer la probabilité que ce condensateur ne présente aucun défaut. 
		\item Calculer la probabilité que ce condensateur présente au moins un des deux défauts.
	\end{enumerate} 
\item On réalise des prélèvements aléatoires de 100~condensateurs dans la production. Chacun de ces prélèvements est assimilé à un tirage avec remise.
 
Un condensateur est dit défectueux lorsqu'il présente au moins un des deux défauts. 

On admet, pour cette question, que la probabilité qu'un condensateur prélevé au hasard soit défectueux est 0,03.
 
On note $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de condensateurs défectueux dans un lot de 100~condensateurs prélevés au hasard. 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. 
Préciser les paramètres de cette loi. 
		\item Calculer la probabilité, à $10^{-3}$ près, qu'il y ait dans un lot exactement 3 condensateurs défectueux.
	\end{enumerate} 
\item On suppose que l'on peut approcher la loi de la variable aléatoire $X$ par une loi de Poisson de paramètre $\lambda$. On note $Y$ la variable aléatoire suivant cette loi. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur de $\lambda$. 
		\item En utilisant cette loi de Poisson, calculer la probabilité à $10^{-3}$ près qu'il y ait au plus 3 condensateurs défectueux dans ce lot. 
	\end{enumerate} 
\item La capacité nominale des condensateurs est 210 $\mu$F . Un condensateur est déclaré \og conforme \fg{} lorsque sa capacité réelle appartient à l'intervalle [189~;~252]. 

On note $Z$ la variable aléatoire qui associe à un condensateur choisi au hasard dans la production sa capacité réelle en $\mu$F. 

On admet que la variable aléatoire $Z$ suit une loi normale de moyenne 210 et d'écart type 12. 

On prélève au hasard un condensateur dans la production. 

Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité que ce condensateur soit conforme. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
\emph{Cette partie est un questionnaire à choix multiples constitué de quatre questions indépendantes. Pour chaque question, quatre réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de chaque question suivi de la réponse choisie. 
Une bonne réponse rapporte $1$ point, \textbf{une réponse incorrecte ou l'absence de réponse n'enlève pas de point.}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère dans cette question l'équation différentielle: 

\[s^{\prime}(t) + 100s(t) = 0. \qquad (1)\] 
 
Parmi les fonctions $f_{1},\: f_{2},\: f_{3}$ et $f_{4}$ définies ci-dessous, laquelle est une solution de l'équation différentielle (1) ?
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $f_{1}(t) = 10 \cos (10t)$ 
\item[$\bullet~~$] $f_{2}(t) = 10 \text{e}^{- 100t}$ 
\item[$\bullet~~$] $f_{3}(t) = 10 \text{e}^{100t}$  
\item[$\bullet~~$] $f_{4}(t) = 10 \text{e}^{- 100t} + 5$
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\item La fonction $f$ définie, pour tout nombre réel $t$, par : 

\[f(t) = 2\text{e}^{- 100t} + 20.\]
 
est solution de l'équation différentielle 

\[s^{\prime}(t) + 100s(t) = u(t). \qquad (2) \] 

La fonction $u$ est définie, pour tout nombre réel $t$, par : 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $u(t) = \np{2000}$ 
\item[$\bullet~~$] $u(t) = 20 $
\item[$\bullet~~$] $u(t) =20 \cos (10t)$ 
\item[$\bullet~~$] $u(t) = \np{2000}\text{e}^{- 100t}$ 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\item On considère l'équation différentielle: 

\[s^{\prime}(t) + 3s(t) = \sin (t). \qquad(3)\]
 
Soit la fonction $g$, solution de l'équation différentielle (3) telle que $g(0) = 0$. La fonction $g$ est définie, pour tout nombre réel $t$, par : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $g(t) = -0,1 \cos (t) + 0,3 \sin (t)$ 
\item[$\bullet~~$] $g(t) = 0,1\text{e}^{3t} - 0,1 \cos (t)$ 
\item[$\bullet~~$] $g(t) = 0,1\text{e}^{-3t} + 0,3\sin(t)$ 
\item[$\bullet~~$] $g(t) = 0,1\text{e}^{-3t}- 0,1 \cos (t) + 0,3 \sin (t)$
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\item On considère l'équation différentielle :
 
\[q^{\prime\prime}(t) +2q^{\prime}(t) +5q(t)  = 0. \qquad (4)\] 
 
Soit la fonction $h$, solution de l'équation différentielle (4) telle que $h(0) = 0$ et $h'(0) = 1$. La fonction $h$ est définie, pour tout nombre réel $t$, par :
 
\setlength\parindent{6mm}
\setlength{\itemsep}{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $h(t) = \text{e}^{-t} - \text{e}^{-2t}$
\item[$\bullet~~$] \rule[-3mm]{0mm}{5mm}$h(t) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{-t} \sin (2t) $
\item[$\bullet~~$] \rule[-3mm]{0mm}{5mm}$h(t) = \dfrac{1}{2}\sin (2t)$ 
\item[$\bullet~~$] $h(t) = \text{e}^{-t} [\cos (2t) + \sin (2t)]$
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}

\textbf{Document réponse à joindre à la copie} 

\vspace{1cm}

\psset{unit=2.8cm}
\begin{pspicture}(-2,-0.5)(2,1.6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-2,-0.5)(2,1.6)
%\multido{\n=-2+1}{5}{\uput[d](\n,0){\n$\pi$}}
\uput[d](-2,0){$-2\pi$} \uput[d](-1.5,0){$-3\pi/2$} \uput[d](-1,0){$-\pi$} \uput[d](-0.5,0){$-\pi/2$} 
\uput[d](0.5,0){$\pi/2$} \uput[d](1,0){$\pi$} \uput[d](1.5,0){$3\pi/2$} \uput[d](2,0){$2\pi$}
\uput[l](0,0.5){$\pi/2$} \uput[l](0,1){$\pi$}\uput[l](0,1.5){$3\pi/2$}
\uput[dl](0,0){$0$}
\multido{\n=-2.0+0.5}{9}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,0.05)}
\multido{\n=0.0+0.5}{4}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(0.05,\n)}
\end{pspicture}

\textbf{Figure 1 : représentation graphique de la fonction \boldmath$f$ \unboldmath (à compléter)}

\vspace{2cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$n$& 1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline% 
$a_{n}$ en valeur exacte&&&&&&\\ \hline%   
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$\dfrac{a_{n}^2 + b_{n}^2}{2}$ approché à $10^{-5}$ près&&&&&&\\ \hline  
\end{tabularx}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Tableau 1 (à compléter) }
\end{center}
\end{document}