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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe A2}}
\rfoot{\small{mai 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\[7pt]session 2009 - groupement A2}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

\medskip

\emph{Le but de cet exercice est d'établir, avec un minimum de
 calculs, le développement en série de Fourier de fonctions
 périodiques rencontrées en électricité}.
\begin{enumerate}
\item On considère un entier $n$ strictement positif. Montrer que :

\[\int_{0}^{1} t \cos(n\pi t)\: \text{d}t = \frac{\cos(n
 \pi)-1}{n^{2}\pi^{2}}.\]

Pour la suite de l'exercice, on admet que : $\displaystyle \int_{0}^{1} t \sin(n \pi t) \: \text{d} t = - \frac{\cos(n \pi)}{n \pi}$.
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$, périodique de période $2$, telle que :

\[\begin{cases}
f(t) &= t \text{ sur } [0~;~1[ \\
f(t) &= 0 \text{ sur } [1~;~2[ \\
\end{cases}.\]

	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le document réponse \no 1, à rendre avec la copie,
 tracer la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$
 sur l'intervalle $[-4~;~4]$.
		\item On appelle $S_f$ la série de Fourier associée à la fonction $f$.
On note 

$S_f(t) = a_0+ \displaystyle\sum_{i=1}^{+\infty} \left ( a_n\cos(n \pi t)
 + b_n \sin(n \pi t )\right)$.

Calculer $a_0$.

Donner les valeurs des coefficients $a_n$ et $b_n$, et en déduire que
:
\[S_f(t) = \frac{1}{4} + \sum_{n=1}^{+\infty} \left ( \frac{\cos(n
 \pi)-1}{n^{2}\pi^{2}}\cos(n\pi t)-\frac{\cos(n\pi)}{n\pi}\sin(n\pi t)\right).\]

\item Calculer le carré de la valeur efficace de la fonction $f$,
 définie par

$\mu_{\text{eff}}^{2} = \frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{2} \left(
 f(t)\right)^{2}\: \text{d}t$.
\item Recopier et compléter, avec les valeurs exactes le tableau
\ref{tab_elec_09}.

\[\begin{array}{|*{4}{m{1cm}|}}\hline
$n$ 	& 1 & 2 & 3 \\ \hline
$a_n$ & 	& 	& \\ \hline
$b_n$ & 	& 	& \\ \hline
\end{array}\]
 \caption{ }
 \label{tab_elec_09}

\item Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près du nombre réel $A$
 défini par :

 \[A = \frac{a_{0}^{2}+ 
 \dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{n = 1}^{3}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)}
 {\mu_{\text{eff}}^{2}}.\]

	\end{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$, périodique de période $2$,
 dont la courbe représentative $\mathcal{C}_{g}$ est tracée sur
 l'intervalle $[-4~;~4]$ dans le document réponse \no 1.

On admet que le développement en série de Fourier $S_g$ associé à la
 fonction $g$, est défini par $S_g(t) = S_f(-t)$.

Justifier que :

\[S_g(t) = \frac{1}{4}+ \sum_{n = 1}^{+\infty} \left (\frac{\cos(n
 \pi)-1}{n^{2}\pi^{2}}\cos(n\pi t) + \frac{\cos(n
 \pi)}{n\pi}\sin(n\pi t)\right).\]

\item Soit $h$ et $k$ les fonctions définies sur $\R$, périodiques de
 période $2$, telles que : $h(t) = f(t) + g(t)$ et $k(t) = f(t) - g(t)$
 pour tout nombre $t$.
	\begin{enumerate}
		\item Sur le document réponse \no 1, à rendre avec la copie, tracer
 les courbes $\mathcal{C}_h$ et $\mathcal{C}_k$ représentatives des
 fonctions $h$ et $k$ sur l'intervalle $[-4~;~4]$.
		\item On admet que les développements en série de Fourier $S_h$ et
$S_k$ associés respectivement aux fonctions $h$ et $k$, sont
 définis par :

\[ S_h(t) = S_f(t)+S_g(t)\quad  \text{et}\quad  S_k(t) = S_f(t)- S_g(t).\]

Déterminer les coefficients de Fourier associés respectivement aux fonctions $h$ et $k$.
\end{enumerate}

\medskip

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 11 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, on étudie un système « entrée-sortie ».}

\emph{La partie A permet de déterminer la réponse à l'échelon unité.}

\emph{Les parties B et C permettent d'étudier les perturbations résultant d'une coupure de $0,1$~seconde. }

On rappelle que la fonction échelon unité $U$ est définie par : 

\[\left\{\begin{array}{l c l l}
U(t) 	&=	& 0	& \text{si}~ t < 0\\
U(t)	&=	& 1	& \text{si}~ t \geqslant 0\\
 \end{array}\right.\]
  
Une fonction définie sur $\R$ est dite causale si elle est nulle sur l'intervalle $] - \infty~;~ 0[$.

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

On considère la fonction causale $s_{1}$ telle que, pour tout nombre réel $t$ :
\[s_{1}(t) + \int_{0}^t s_{1}(u)\:\text{d}u = U(t). \]

On note $S_{1}$ la transformée de Laplace de la fonction $s_{1}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $S_{1}(p) =  \dfrac{1}{p + 1}$.
\item  En déduire $s_{1}(t)$ pour tout nombre réel $t$.

La courbe représentative de la fonction $s_{1}$ est donnée par la \textbf{figure 1 du document réponse.}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

On considère la fonction causale $s_{2}$ telle que, pour tout nombre réel $t$ :

\[s_{2}(t) + \int_{0}^t s_{2}(u)\:\text{d}u  = U(t) - U(t-1) .\]

On note $S_{2}$ la transformée de Laplace de la fonction $s_{2}$.

\begin{enumerate}
\item  Représenter graphiquement la fonction $e_{2}$ définie sur l'ensemble des nombres réels par : 
\[e_{2}(t) = U(t) - U(t - 1).\] 
\item  Déterminer $S_{2}(p)$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  En déduire $s_{2}(t)$ pour tout nombre réel $t$. 
		\item  Justifier que :

\[\left\{\begin{array}{l c l l} 
s_{2}(t)&=&0&\text{si}~ t < 0\\ 
s_{2}(t)&=&\text{e}^{-t}& \text{si}~ 0 \leqslant t < 1\\ 
s_{2}(t)&=&-\text{e}^{-t}(\text{e} - 1)& \text{si}~ t \geqslant 1\\
\end{array}\right.\]

	\end{enumerate}
\item Établir le sens de variation de la fonction $s_{2}$ sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$.
\item  Calculer $s_{2}\left(1^+ \right) - s_{2}\left(1^- \right)$.
\item  On appelle $\mathcal{C}_{2}$ la courbe représentative de la fonction $s_{2}$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$&1& 1,1& 1,5& 2& 2,5\\ \hline
$s_{2}(t)$&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
Les résultats seront donnés à $10^{-2}$ près.
		\item Compléter le tracé de la courbe $\mathcal{C}_{2}$ sur la figure 2 du document réponse, à rendre avec la copie.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C :}

\medskip

On considère la fonction causale $s_{3}$ telle que, pour tout nombre réel $t$ : 

\[s_{3}(t) + \int_{0}^t s_{3}(u)\:\text{d}u = U(t) - U(t -1) + U(t -1,1). \]

\begin{enumerate}
\item Soit la fonction $e_{3}$ définie sur l'ensemble des nombres réels par : 

$e_{3}(t) = U(t) - U(t -1) + U(t -1,1)$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $e_{3}(t) = e_{2}(t)$ pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $]- \infty~;~ 1,1[$.
		\item  Déterminer $e_{3}(t)$ pour $t \geqslant 1,1$. 
		\item  Représenter graphiquement la fonction $e_{3}$.

\medskip
 
Pour la suite, on admet que :

\[\left\{\begin{array}{l c l l}
s_{3}(t)& =& s_{2}(t)& 	\text{si}~ t < 1,1\\
s_{3}(t)&=&\text{e}^{-t}\left(1 - \text{e}+ \text{e}^{1,1}\right)& \text{si}~ t \geqslant 1,1.\\
\end{array}\right.\]

	\end{enumerate}
\item Établir le sens de variation de la fonction $s_{3}$ sur l'intervalle $]1,1~;~+ \infty[$. 
\item Calculer $s_{3}\left(1,1^{+}\right) - s_{3}\left(1,1^{-}\right)$.
\item On appelle $\mathcal{C}_{3}$ la courbe représentative de la fonction $s_{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous :
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$& 1,1& 1,5& 2& 2,5\\ \hline
$s_{3}(t)$&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

Les résultats seront donnés à $10^{-2}$ près.
		\item Compléter le tracé de la courbe $\mathcal{C}_{3}$ sur la figure 3 du document réponse, à rendre avec la copie.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Document réponse \no 1, à rendre avec la copie (exercice 1)}

\medskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%
% fonction f
%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{Figure 1 : représentation de la fonction } \boldmath$f$\unboldmath

\medskip

\psset{xunit=1.2cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-1.5)(5,1.5)
\psset%
{%
PointSymbol=none,%
PointName=none,%
algebraic,%
}% 
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5,-1.5)(5,1.5)
\end{pspicture}
%%%%%%%%%%%%%%
% Fonction g
%%%%%%%%%%%%%%
\medskip

\textbf{Figure 2 : représentation de la fonction } \boldmath$g$\unboldmath

\bigskip

\begin{pspicture}(-5,-1.5)(5,1.5)
\psset%
{%
PointSymbol=none,%
PointName=none,%
algebraic%
}% 
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5,-1.5)(5,1.5)
\psframe[linestyle=none](-5,-1.5)(5,1.5)%
\psline{o-(}(-4,0)(-3,0)
\psline{o-(}(-3,1)(-2,0)(-1,0)
\psline{o-(}(-1,1)(0,0)(1,0)
\psline{o-(}(1,1)(2,0)(3,0)
\psline{o-(}(3,1)(4,0) 
\end{pspicture}

\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%
% fonction h
%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{Figure 2 : représentation de la fonction } \boldmath$h$\unboldmath

\medskip

\begin{pspicture}(-5,-1.5)(5,1.5)
\psset%
{%
PointSymbol=none,%
PointName=none,%
algebraic,%
}% 
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5,-1.5)(5,1.5)
\end{pspicture}
%%%%%%%%%%%%%%
% Fonction k
%%%%%%%%%%%%%%

\bigskip

\textbf{Figure 2 : représentation de la fonction } \boldmath$k$\unboldmath

\medskip

\begin{pspicture}(-5,-1.5)(5,1.5)
\psset%
{%
PointSymbol=none,%
  PointName=none,%
  algebraic,%
}%
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5,-1.5)(5,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Document réponse \no 2, à rendre avec la copie (exercice 2)}

\bigskip

\textbf{Figure 1 : représentation de la fonction} \boldmath $s_{1}$ \unboldmath

\bigskip

\psset{xunit=4cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(2.5,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-1.5)(2.5,1.5)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{2.5}{2.718928 x neg exp}
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-0.5,0)(0,0)
\uput[l](0,0.3679){$\text{e}^{-1}$}\uput[dl](0,0){O}
\psline(0,0.3679)(1,0.3679)(1,0)
\end{pspicture}

\bigskip

\textbf{Figure 2 : représentation de la fonction }\boldmath  $s_{2}$ \unboldmath

\bigskip

\psset{xunit=4cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(2.5,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-1.5)(2.5,1.5)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{2.718928 x neg exp}
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-0.5,0)(0,0)
\uput[l](0,0.3679){$\text{e}^{-1}$}\uput[dl](0,0){O}
\psline(0,0.3679)(1,0.3679)(1,0)
\end{pspicture}

\bigskip

\textbf{Figure 3 : représentation de la fonction }\boldmath  $s_{3}$ \unboldmath

\bigskip

\psset{xunit=4cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(2.5,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-1.5)(2.5,1.5)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{2.718928 x neg exp}
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-0.5,0)(0,0)
\uput[l](0,0.3679){$\text{e}^{-1}$}\uput[dl](0,0){O}
\psline(0,0.3679)(1,0.3679)(1,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}