\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{subfig} \usepackage{textcomp} \usepackage{graphicx} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-eucl,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS groupement A2}, pdftitle = {Métropole mai 2009}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur} \lfoot{\small{Groupe A2}} \rfoot{\small{mai 2009}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\[7pt]session 2009 - groupement A2}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 9 points} \medskip \emph{Le but de cet exercice est d'établir, avec un minimum de calculs, le développement en série de Fourier de fonctions périodiques rencontrées en électricité}. \begin{enumerate} \item On considère un entier $n$ strictement positif. Montrer que : \[\int_{0}^{1} t \cos(n\pi t)\: \text{d}t = \frac{\cos(n \pi)-1}{n^{2}\pi^{2}}.\] Pour la suite de l'exercice, on admet que : $\displaystyle \int_{0}^{1} t \sin(n \pi t) \: \text{d} t = - \frac{\cos(n \pi)}{n \pi}$. \item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$, périodique de période $2$, telle que : \[\begin{cases} f(t) &= t \text{ sur } [0~;~1[ \\ f(t) &= 0 \text{ sur } [1~;~2[ \\ \end{cases}.\] \begin{enumerate} \item En utilisant le document réponse \no 1, à rendre avec la copie, tracer la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-4~;~4]$. \item On appelle $S_f$ la série de Fourier associée à la fonction $f$. On note $S_f(t) = a_0+ \displaystyle\sum_{i=1}^{+\infty} \left ( a_n\cos(n \pi t) + b_n \sin(n \pi t )\right)$. Calculer $a_0$. Donner les valeurs des coefficients $a_n$ et $b_n$, et en déduire que : \[S_f(t) = \frac{1}{4} + \sum_{n=1}^{+\infty} \left ( \frac{\cos(n \pi)-1}{n^{2}\pi^{2}}\cos(n\pi t)-\frac{\cos(n\pi)}{n\pi}\sin(n\pi t)\right).\] \item Calculer le carré de la valeur efficace de la fonction $f$, définie par $\mu_{\text{eff}}^{2} = \frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{2} \left( f(t)\right)^{2}\: \text{d}t$. \item Recopier et compléter, avec les valeurs exactes le tableau \ref{tab_elec_09}. \[\begin{array}{|*{4}{m{1cm}|}}\hline $n$ & 1 & 2 & 3 \\ \hline $a_n$ & & & \\ \hline $b_n$ & & & \\ \hline \end{array}\] \caption{ } \label{tab_elec_09} \item Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près du nombre réel $A$ défini par : \[A = \frac{a_{0}^{2}+ \dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{n = 1}^{3}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)} {\mu_{\text{eff}}^{2}}.\] \end{enumerate} \item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$, périodique de période $2$, dont la courbe représentative $\mathcal{C}_{g}$ est tracée sur l'intervalle $[-4~;~4]$ dans le document réponse \no 1. On admet que le développement en série de Fourier $S_g$ associé à la fonction $g$, est défini par $S_g(t) = S_f(-t)$. Justifier que : \[S_g(t) = \frac{1}{4}+ \sum_{n = 1}^{+\infty} \left (\frac{\cos(n \pi)-1}{n^{2}\pi^{2}}\cos(n\pi t) + \frac{\cos(n \pi)}{n\pi}\sin(n\pi t)\right).\] \item Soit $h$ et $k$ les fonctions définies sur $\R$, périodiques de période $2$, telles que : $h(t) = f(t) + g(t)$ et $k(t) = f(t) - g(t)$ pour tout nombre $t$. \begin{enumerate} \item Sur le document réponse \no 1, à rendre avec la copie, tracer les courbes $\mathcal{C}_h$ et $\mathcal{C}_k$ représentatives des fonctions $h$ et $k$ sur l'intervalle $[-4~;~4]$. \item On admet que les développements en série de Fourier $S_h$ et $S_k$ associés respectivement aux fonctions $h$ et $k$, sont définis par : \[ S_h(t) = S_f(t)+S_g(t)\quad \text{et}\quad S_k(t) = S_f(t)- S_g(t).\] Déterminer les coefficients de Fourier associés respectivement aux fonctions $h$ et $k$. \end{enumerate} \medskip \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 11 points} \medskip \emph{Dans cet exercice, on étudie un système « entrée-sortie ».} \emph{La partie A permet de déterminer la réponse à l'échelon unité.} \emph{Les parties B et C permettent d'étudier les perturbations résultant d'une coupure de $0,1$~seconde. } On rappelle que la fonction échelon unité $U$ est définie par : \[\left\{\begin{array}{l c l l} U(t) &= & 0 & \text{si}~ t < 0\\ U(t) &= & 1 & \text{si}~ t \geqslant 0\\ \end{array}\right.\] Une fonction définie sur $\R$ est dite causale si elle est nulle sur l'intervalle $] - \infty~;~ 0[$. \medskip \textbf{Partie A :} \medskip On considère la fonction causale $s_{1}$ telle que, pour tout nombre réel $t$ : \[s_{1}(t) + \int_{0}^t s_{1}(u)\:\text{d}u = U(t). \] On note $S_{1}$ la transformée de Laplace de la fonction $s_{1}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $S_{1}(p) = \dfrac{1}{p + 1}$. \item En déduire $s_{1}(t)$ pour tout nombre réel $t$. La courbe représentative de la fonction $s_{1}$ est donnée par la \textbf{figure 1 du document réponse.} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B :} \medskip On considère la fonction causale $s_{2}$ telle que, pour tout nombre réel $t$ : \[s_{2}(t) + \int_{0}^t s_{2}(u)\:\text{d}u = U(t) - U(t-1) .\] On note $S_{2}$ la transformée de Laplace de la fonction $s_{2}$. \begin{enumerate} \item Représenter graphiquement la fonction $e_{2}$ définie sur l'ensemble des nombres réels par : \[e_{2}(t) = U(t) - U(t - 1).\] \item Déterminer $S_{2}(p)$. \item \begin{enumerate} \item En déduire $s_{2}(t)$ pour tout nombre réel $t$. \item Justifier que : \[\left\{\begin{array}{l c l l} s_{2}(t)&=&0&\text{si}~ t < 0\\ s_{2}(t)&=&\text{e}^{-t}& \text{si}~ 0 \leqslant t < 1\\ s_{2}(t)&=&-\text{e}^{-t}(\text{e} - 1)& \text{si}~ t \geqslant 1\\ \end{array}\right.\] \end{enumerate} \item Établir le sens de variation de la fonction $s_{2}$ sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$. \item Calculer $s_{2}\left(1^+ \right) - s_{2}\left(1^- \right)$. \item On appelle $\mathcal{C}_{2}$ la courbe représentative de la fonction $s_{2}$. \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t$&1& 1,1& 1,5& 2& 2,5\\ \hline $s_{2}(t)$&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip Les résultats seront donnés à $10^{-2}$ près. \item Compléter le tracé de la courbe $\mathcal{C}_{2}$ sur la figure 2 du document réponse, à rendre avec la copie. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C :} \medskip On considère la fonction causale $s_{3}$ telle que, pour tout nombre réel $t$ : \[s_{3}(t) + \int_{0}^t s_{3}(u)\:\text{d}u = U(t) - U(t -1) + U(t -1,1). \] \begin{enumerate} \item Soit la fonction $e_{3}$ définie sur l'ensemble des nombres réels par : $e_{3}(t) = U(t) - U(t -1) + U(t -1,1)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $e_{3}(t) = e_{2}(t)$ pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $]- \infty~;~ 1,1[$. \item Déterminer $e_{3}(t)$ pour $t \geqslant 1,1$. \item Représenter graphiquement la fonction $e_{3}$. \medskip Pour la suite, on admet que : \[\left\{\begin{array}{l c l l} s_{3}(t)& =& s_{2}(t)& \text{si}~ t < 1,1\\ s_{3}(t)&=&\text{e}^{-t}\left(1 - \text{e}+ \text{e}^{1,1}\right)& \text{si}~ t \geqslant 1,1.\\ \end{array}\right.\] \end{enumerate} \item Établir le sens de variation de la fonction $s_{3}$ sur l'intervalle $]1,1~;~+ \infty[$. \item Calculer $s_{3}\left(1,1^{+}\right) - s_{3}\left(1,1^{-}\right)$. \item On appelle $\mathcal{C}_{3}$ la courbe représentative de la fonction $s_{3}$. \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t$& 1,1& 1,5& 2& 2,5\\ \hline $s_{3}(t)$&&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip Les résultats seront donnés à $10^{-2}$ près. \item Compléter le tracé de la courbe $\mathcal{C}_{3}$ sur la figure 3 du document réponse, à rendre avec la copie. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Document réponse \no 1, à rendre avec la copie (exercice 1)} \medskip %%%%%%%%%%%%%%%%% % fonction f %%%%%%%%%%%%%%%%% \textbf{Figure 1 : représentation de la fonction } \boldmath$f$\unboldmath \medskip \psset{xunit=1.2cm,yunit=1cm} \begin{pspicture}(-5,-1.5)(5,1.5) \psset% {% PointSymbol=none,% PointName=none,% algebraic,% }% \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5,-1.5)(5,1.5) \end{pspicture} %%%%%%%%%%%%%% % Fonction g %%%%%%%%%%%%%% \medskip \textbf{Figure 2 : représentation de la fonction } \boldmath$g$\unboldmath \bigskip \begin{pspicture}(-5,-1.5)(5,1.5) \psset% {% PointSymbol=none,% PointName=none,% algebraic% }% \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5,-1.5)(5,1.5) \psframe[linestyle=none](-5,-1.5)(5,1.5)% \psline{o-(}(-4,0)(-3,0) \psline{o-(}(-3,1)(-2,0)(-1,0) \psline{o-(}(-1,1)(0,0)(1,0) \psline{o-(}(1,1)(2,0)(3,0) \psline{o-(}(3,1)(4,0) \end{pspicture} \bigskip %%%%%%%%%%%%%%%%% % fonction h %%%%%%%%%%%%%%%%% \textbf{Figure 2 : représentation de la fonction } \boldmath$h$\unboldmath \medskip \begin{pspicture}(-5,-1.5)(5,1.5) \psset% {% PointSymbol=none,% PointName=none,% algebraic,% }% \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5,-1.5)(5,1.5) \end{pspicture} %%%%%%%%%%%%%% % Fonction k %%%%%%%%%%%%%% \bigskip \textbf{Figure 2 : représentation de la fonction } \boldmath$k$\unboldmath \medskip \begin{pspicture}(-5,-1.5)(5,1.5) \psset% {% PointSymbol=none,% PointName=none,% algebraic,% }% \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5,-1.5)(5,1.5) \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{Document réponse \no 2, à rendre avec la copie (exercice 2)} \bigskip \textbf{Figure 1 : représentation de la fonction} \boldmath $s_{1}$ \unboldmath \bigskip \psset{xunit=4cm,yunit=2cm} \begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(2.5,1.5) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-1.5)(2.5,1.5) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{2.5}{2.718928 x neg exp} \psline[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-0.5,0)(0,0) \uput[l](0,0.3679){$\text{e}^{-1}$}\uput[dl](0,0){O} \psline(0,0.3679)(1,0.3679)(1,0) \end{pspicture} \bigskip \textbf{Figure 2 : représentation de la fonction }\boldmath $s_{2}$ \unboldmath \bigskip \psset{xunit=4cm,yunit=2cm} \begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(2.5,1.5) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-1.5)(2.5,1.5) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{2.718928 x neg exp} \psline[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-0.5,0)(0,0) \uput[l](0,0.3679){$\text{e}^{-1}$}\uput[dl](0,0){O} \psline(0,0.3679)(1,0.3679)(1,0) \end{pspicture} \bigskip \textbf{Figure 3 : représentation de la fonction }\boldmath $s_{3}$ \unboldmath \bigskip \psset{xunit=4cm,yunit=2cm} \begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(2.5,1.5) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-1.5)(2.5,1.5) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{2.718928 x neg exp} \psline[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-0.5,0)(0,0) \uput[l](0,0.3679){$\text{e}^{-1}$}\uput[dl](0,0){O} \psline(0,0.3679)(1,0.3679)(1,0) \end{pspicture} \end{center} \end{document}