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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\rhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe A2}}
\rfoot{\small{10 mai 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\session 2011 - groupement A2}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Spécialités :}
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Contrôle industriel et régulation
\item Informatique et réseaux pour l'industrie et les services techniques
\item Systèmes électroniques
\item Techniques physiques pour l'industrie et le laboratoire
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip
 
On considère un circuit composé d'une résistance et d'un condensateur représenté par le schéma ci-dessous. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,3.5)
\psline{->}(0,3)(1,3)\pnode(1,3){A}\pnode(3.5,3){B}
\resistor(A)(B){$R$}\psline(3.5,3)(6,3)
\pnode(4.5,3){C}\pnode(4.5,0){D}\capacitor(C)(D){$C$}
\psline(0,0)(6,0) \psline{->}(0,0.5)(0,2.5)\uput[l](0,1.5){$v$}\uput[r](6,1.5){$s$}\psline{->}(6,0.5)(6,2.5)
\end{pspicture}
\end{center}

$s$ représente la tension entre les bornes du condensateur lorsque le circuit est alimenté par une source de tension $v$ et parcouru par un courant $i$.
 
Les fonctions $s$ et $v$ sont liées par l'équation différentielle suivante :
 
\[RCs'(t) + s(t) =  v(t)\qquad (1)\]
 
De plus, on suppose que $s(t) =  0$, pour tout nombre réel $t$ négatif ou nul.
 
\textbf{Pour tout l'exercice} on considère que $R = 250 \cdot 10^3~\Omega$  et $C = 20 \cdot 10^{-9}~$F. 

On rappelle que la fonction échelon unité $\mathcal{U}$ est définie par : 

\[\left\{\begin{array}{l c l l}
\mathcal{U}(t) &=& 0 &\text{si}\:\: t < 0\\
\mathcal{U}(t) &=& 1 &\text{si}\:\: t \geqslant 0.
\end{array}\right.\] 

\medskip

\emph{Les parties A, B et C de l'exercice peuvent être traitées indépendamment.}

\medskip
 
\textbf{Partie A : QCM}

\medskip
 
\emph{Cette partie est un questionnaire à choix multiples constitué de quatre questions indépendantes. Pour chaque question, quatre réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de chaque question suivi de la réponse choisie.\\ 
Une bonne réponse rapporte 1 point, \textbf{une réponse incorrecte ou l'absence de réponse n'enlève pas de point}.} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est un créneau représenté par le schéma suivant : 

\begin{center}
\psset{xunit=3cm,yunit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-2)(2,11)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(-0.5,-2)(2,11)
\uput[d](1,0){1}\uput[l](0,10){10}
\psline(0,10)(1,10) \psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dotted](1,10)(1,0)
\end{pspicture}
\end{center}
 
$f(t)$ est défini par :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{$\bullet~~$}X}} 
$10\mathcal{U}(t - 1)$& $10\left[\mathcal{U}(t) - \mathcal{U}(t - 1)\right]$\\
$10\mathcal{U}(t)$& $\mathcal{U}(t) - \mathcal{U}(t - 1)$\\
\end{tabularx} 
\item On note $V$ et $S$ les transformées de Laplace respectives des fonctions $v$ et $s$.
 
On précise que $s\left(0^{+}\right) = 0$. Les transformées de Laplace $V$ et $S$ sont telles que :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{$\bullet~~$}X}} 
$S(p) = \dfrac{1}{1 + 0,005p}V(p)$&$s(t) =  \dfrac{1}{1 + 0,005p^2}V(p)$\\
$S(p) = \dfrac{0,005}{0,005 + p}V(p)$&$S(p) = (1 0,005)V(p)$\\
\end{tabularx} 
 
\item Dans cette question, on suppose que $v(t) = 2$ pour tout nombre réel $t$ positif ou nul.
 
L'équation différentielle (1) s'écrit alors :
 
\[0,005s'(t) + s(t) = 2. \]

Pour tout nombre réel $t$ positif ou nul, la solution générale $s$ de l'équation différentielle (1) est définie, $k$ étant une constante réelle, par : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{$\bullet~~$}X}} 
$s(t) = k\text{e}^{-200t} + 2t$& $s(t) =  k\text{e}^{200t} + 2$\\ 
$s(t) = k\text{e}^{-200t} + 2$& $s(t) = k\text{e}^{-200t}$\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : simulation numérique}

\medskip
 
Pour simuler le fonctionnement du circuit, on approche la tension d'entrée $v$ par un signal discret causal $x$ et la tension de sortie $s$ par un signal discret causal $y$.
 
Un pas de discrétisation $T_{e}$ étant choisi, les signaux $x$ et $y$ vérifient, pour tout nombre entier $n$, l'équation : 

\[0,005\dfrac{y(n) - y(n - 1)}{T_{e}} + y(n) =  x(n).\qquad (2) \] 

\begin{enumerate}
\item Dans toute la suite de l'exercice, on choisit $T_{e} = 0,5 \cdot 10^{-3}$~s.
 
Montrer que l'équation (2) s'écrit alors : 

\[11y(n) - 10y(n - 1) =  x(n).\] 

\item On suppose désormais que $x(n) = 2e(n)$ où $e$ est l'échelon unité causal discret défini par $e(n) = 1$ pour tout entier naturel $n$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la transformée en $Z$ du signal discret $y$,  notée $Y(z)$, vérifie :

\[\dfrac{Y(z)}{z} = \dfrac{2}{11} \times \dfrac{z}{(z - 1)\left(z - \dfrac{10}{11}\right)}.\]
		 
		\item  Vérifier que : 
	
\[Y(z) = \dfrac{2}{11}\left(\dfrac{11z}{z - 1} - \dfrac{10z}{z - \dfrac{10}{11}}\right).\]

		\item  En déduire l'expression de $Y(z)$ sous forme d'une somme.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $y(n)$ en fonction de $n$, pour tout nombre entier naturel $n$. 
		\item Calculer la limite de $y(n)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
On admet que $y(n) = 2 - 2\left(\dfrac{10}{11} \right)^{n+1}$.
  
\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau de valeurs du signal numérique $y$ figurant sur le document réponse numéro 1. Les résultats seront arrondis au centième. 
\item Représenter graphiquement le signal numérique $y$ sur la figure 1 du document réponse numéro 1. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip
 
\textbf{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes}
 
\emph{Le but de la partie A est de calculer le développement en série de Fourier d'une fonction périodique, puis de s'intéresser à la valeur efficace de cette fonction sur une période.\\ 
Dans la partie B, il s'agit de retrouver la représentation graphique d'une fonction à partir de son développement en série de Fourier puis de définir cette fonction.}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ périodique, de période 2, définie sur l'ensemble des nombres réels par : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
f(t) &=& 0,5t + 0,5\quad  \text{si}\quad  - 1 < t < 1\\
f(t)& =& 0,5.
\end{array}\right.\] 

Le développement en série de Fourier de la fonction $f$ s'écrit : 

\[S(t) = a_{0} +  \sum_{n=1}^{+ \infty} \left(a_{n}\cos(n\omega t) + b_{n}\sin (n\omega t)\right).\] 

\begin{enumerate}
\item Tracer la représentation graphique de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-4~;~4]$ en utilisant la figure 2 du document réponse numéro 2. 
\item Démontrer que $a_{0} = \dfrac{1}{2}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Préciser la valeur de la pulsation $\omega$. 
		\item En utilisant une intégration par parties, calculer $b_{1}$. 
	\end{enumerate}
	
On admet dans la suite de l'exercice que, pour tout nombre entier $n$ supérieur ou égal à 1 : 

\[b_{n} = \dfrac{(- 1)^{n+1}}{n\pi}.\]

\item  Soit $g$ la fonction définie pour tout nombre réel $t$ par $g(t) = f(t) -  0,5$. 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la représentation graphique de la fonction $g$ sur la figure 3 du document réponse numéro 2. 
		\item Quelle propriété de symétrie observe-t-on sur la représentation graphique de la fonction $g$ ? 
		\item En comparant les coefficients de Fourier des fonctions $f$ et $g$, montrer que $a_{n} = 0$ pour tout nombre entier $n$ supérieur ou égal à 1.
	\end{enumerate} 
\item On rappelle que la valeur efficace de la fonction $f$ sur une période est le nombre réel positif, noté $f_{\text{eff}}$, défini par : 

\[f_{\text{eff}}^2 = \dfrac{1}{2}\int_{-1}^1 \left[f(t)\right]^2\:\text{d}t.\] 

Démontrer que $f_{\text{eff}}^2 = \dfrac{1}{3}$.
\item On rappelle la formule de Parseval : 

\[f_{\text{eff}}^2 = a_{0}^2 + \dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^{+ \infty}
\left(a_{n}^2 + b_{n}^2\right).\]

On décide de calculer une valeur approchée, notée $P$, de $f_{\text{eff}}^2$ en se limitant aux cinq premiers termes de la somme, c'est-à-dire :

\[P =  a_{0}^2 + \dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^{5}
\left(a_{n}^2 + b_{n}^2\right).\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $P$, puis de $\dfrac{P}{f_{\text{eff}}^2}$. 
		\item En déduire, en pourcentage, l'erreur commise quand on remplace $f_{\text{eff}}^2$ par $P$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Soit $h$ la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels, périodique de période 2, dont le développement en série de Fourier est : 

\[S_{h} = \dfrac{\pi}{2}  - \dfrac{4}{\pi}\sum_{p = 0}^{+ \infty} \dfrac{1}{(2p + 1)^2} \cos [(2p + 1)\pi t].\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer la parité de la fonction $h$. 
\item Sur l'annexe page 5 sont proposées quatre représentations graphiques.
 
Laquelle des quatre courbes proposées est la représentation graphique de la fonction $h$ sur l'intervalle $[-4~;~4]$ ? Justifier le choix effectué. 
\item Déterminer $h(t)$ pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~1]$. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center} 
{\large \textbf{Annexe} }

\bigskip


\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-2)(4,1.75)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2](0,0)(-4,-1.75)(4,1.75)
\psline(-4,0)(-3.5,1.5708)(-2.5,-1.5708)(-1.5,1.5708)(-0.5,-1.5708)(0.5,1.5708)(1.5,-1.5708)(2.5,1.5708)(3.5,-1.5708)
\rput(0,-1.9){Courbe 1 }
\end{pspicture}

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-0.8)(4,3.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2](0,0)(-4,-0.5)(4,3.25)
\psline(-4,0)(-3,3.14159)(-2,0)(-1,3.14159)(0,0)(1,3.14159)(2,0)(3,3.14159)(4,0)
\rput(0,-0.7){Courbe 2 }\uput[l](0,1.5708){$\frac{\pi}{2}$}
\end{pspicture}

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-0.8)(4,3.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2](0,0)(-4,-0.5)(4,3.25)
\psline(-4,0)(-3.5,3.14159)(-3,0)(-2.5,3.14159)(-2,0)(-1.5,3.14159)(-1,0)(-0.5,3.14159)(0,0)(0.5,3.14159)(1,0)(2,0)(1.5,3.14159)(2,0)(2.5,3.14159)(3,0)(3.5,3.14159)(4,0)
\rput(0,-0.7){Courbe 3 }
\end{pspicture}
 
\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-0.8)(4,3.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2](0,0)(-4,-0.5)(4,3.25)
\psline(-4,1.5708)(-3.5,0)(-2.5,3.14159)(-1.5,0)(-0.5,3.14159)(0.5,0)(1.5,3.14159)(2.5,0)(3.5,3.14159)(4,1.5708)
\rput(0,-0.7){Courbe 4 }
\end{pspicture}

\end{center}
\newpage
\begin{center}

\textbf{Document réponse numéro 1 à joindre à la copie}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$n$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline%
$y(n)$&& 0,35 &&&&0,87 &&&1,15 &&1,30\\ \hline%
\end{tabularx}

\medskip
 
\textbf{Tableau de valeurs de la suite \boldmath $y$ \unboldmath (à compléter)} 

\vspace{2.5cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=2.2cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.2)(11,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(0,-0.2)(11,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(-1,-0.2)(11,3)
\psline[linewidth=1.5pt](2,0)(2,0.5) 
\psline[linewidth=1.5pt](6,0)(6,1)
\psplot[plotpoints=8000,linestyle=dotted,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{11}{2 2 2.71828  0.1  x mul  exp div sub}
\uput[u](1,0.2){$s$} 
\end{pspicture}
\end{center}
\newpage

\begin{center}
{\large \textbf{Document réponse numéro 2 \`a joindre avec la copie}}

\bigskip

\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-2.5)(4,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(-4,-1.5)(4,1.5)
\uput[dl](0,0){O} \rput(0,-2.5){\textbf{Figure 2 : représentation graphique de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath (\`a compléter)}}
\end{pspicture}

\vspace{2.5cm}

\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-2.5)(4,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(-4,-1.5)(4,1.5)
\uput[dl](0,0){O} \rput(0,-2.5){\textbf{Figure 3 : représentation graphique de la fonction \boldmath $g$ \unboldmath (\`a compléter)}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}