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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Groupement A2}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Groupement A2 session 2004}  
\end{center}

\textbf{Électrotechnique, génie optique, Informatique et réseaux pour l'industrie et les services techniques}
\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\medskip

\emph{ Les questions $1, 2$ et $3$ peuvent être traitées  indépendamment l'une de l'autre.}
  
\medskip

Une entreprise fabrique des pièces. Ces pièces sont considérées comme conformes si leur longueur est comprise entre $79,8$~mm et $80,2$~mm.
  
\medskip
  
\begin{enumerate}
\item
On note $L$ la variable aléatoire qui, à chaque pièce
fabriquée, associe sa longueur en mm.

On admet que la variable  $L$ suit une loi normale de
moyenne $80$ et d'écart type $0,0948$.

On prélève une pièce au hasard dans la production.

Déterminer, en utilisant la table de la loi normale centrée
réduite, la probabilité que cette pièce soit conforme.
\item On admet que si on prélève, au hasard, une pièce dans la
production, la probabilité que cette pièce ne soit pas
conforme, est $p=0,035$.
	\begin{enumerate}
		\item On note $X$, la variable aléatoire représentant le nombre de
pièces défectueuses dans un lot de $100$ pièces. Les pièces
sont prélevées au hasard et le tirage est assimilé à un tirage
avec remise.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 100$
et $p = 0,035$.
		\item Le tableau ci-dessous, donne la probabilité des évènements
\og $X=k$ \fg{} pour $k$ variant de $0$ à $9$, à l'exception de
l'évènement \og $X = 2$ \fg.

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}   
{\scriptsize \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$k$    		&  0    &1    &2 &3    &4    &5    &6    &7    &8    &9    \\\hline
$P(X = k)$ 	&\np{0,0284} &\np{0,1029}& &\np{0,2188} &\np{0,1924} &\np{0,1340} &\np{0,0770} &\np{0,0375} & \np{0,0158} & \np{0,0059} \\ \hline
\end{tabularx}}

\medskip

On considère les évènements :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] $A$ : \og le nombre de pièces défectueuses du lot est égal à
  $2$ \fg{} ;
\item[] $B$ : \og le nombre de pièces défectueuses du lot est au moins égal à $2$ \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{5mm}

Calculer $P(A)$ au dix millième près, puis $P(B)$ au millième près.
\item Un lot de $100$ pièces est envoyé à un client, le lot est
   accepté s'il contient au plus $4$ pièces défectueuses.
   
En utilisant le tableau ci-dessus, déterminer au millième près, la 
probabilité que le client refuse ce lot.
		\item En utilisant le tableau ci-dessus, déterminer la plus petite
valeur entière $n$ telle que : $$P(X>n)<0,03$$
	\end{enumerate}
		\item L'entreprise souhaite améliorer la qualité de la production.
Pour cela on projette de changer le processus de fabrication
des pièces.
   
On définit alors une nouvelle variable $L_1$ qui à chaque pièce
à construire  selon le nouveau processus associera sa longueur
en mm.

La variable aléatoire $L_1$ suit une loi normale de moyenne
$m=80$ et d'écart type $\sigma'$.

Déterminer $\sigma'$ pour que, en prenant une pièce au hasard
dans la future production, la probabilité d'obtenir une pièce
conforme soit égale à $0,99$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

{\textbf{Exercice 2 \hfill 12 points}}

\textbf{Pour toutes les spécialités}

\medskip
 
\emph{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de
 l'autre.}
 
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 4}
\begin{pspicture}(7,1.5)
\psline(0,0.5)(2,0.5)\psline{->}(0,0.5)(0.75,0.5) \psline{->}(5,0.5)(5.75,0.5)\psline(5,0.5)(7,0.5)
\psframe(2,0)(5,1)
\uput[u](0.75,0.5){$e(t)$}  \uput[u](5.75,0.5){$s(t)$} 
\end{pspicture}
\end{center}

Dans le système représenté ci-dessus, $e$ et $s$ sont respectivement les signaux d'entrée et de sortie, causaux (nuls pour $t$ négatif).
 
 On suppose que le système est régi par l'équation différentielle :

\[LC\frac{\rm{d}^2 s}{\rm{d}t^2}(t)+RC\frac{\rm{d} s}{\rm{d}t}(t)+s(t)=e(t)
  ~~~~~(1) \]
  
 $L$,  $R$ et   $C$ sont des constantes réelles strictement
 positives. De plus à l'instant initial :
 
\[s(0^+)=0~\textnormal{et}~\frac{\rm{d} s}{\rm{d}t}(0^+)=0\]

\bigskip

{\large{\textbf{Partie A}}}

\medskip
 
On suppose que les fonctions $e$ et $s$ admettent des
transformées de Laplace notées respectivement $E$ et $S$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction de transfert $H$ du système  est définie par $S(p)=H(p)\times E(p)$.
   
En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l'équation $(1)$, exprimer $H(p)$ en fonction de  $L$,  $R$ et $C$.
\item On suppose que $e(t)={\cal U}(t-1)-{\cal U}(t-2)$

où ${\cal U}$ est la fonction échelon unité :

      $\left\lbrace\begin{array}{l}
         {\cal U}(t)=0~\textnormal{si}~t<0 \\
         {\cal U}(t)=1~\textnormal{si}~t \geqslant 0
      \end{array}\right.$
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la courbe représentative de la fonction $e$ dans un
   repère du plan.
		\item Déterminer $E(p)$.
	\end{enumerate}
\item
    {\textbf{Dans la suite de l'exercice, on considère que}} $L=2$, $R=1000$
   et $C = 2.10^{-6}$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $H(p)=\displaystyle\frac{500^2}{(p+250)^2+\left(250\sqrt{3}
   \right)^2}$.
		\item On admet que :
\[\frac{1}{p}H(p)=\frac{1}{p}
   -\displaystyle\frac{p+250}{(p+250)^2+\left(250\sqrt{3} \right)^2}
   -\displaystyle\frac{250}{(p+250)^2+\left(250\sqrt{3} \right)^2}
\]

Déterminer l'original $h_1$ de la fonction $p\mapsto \displaystyle\frac{1}{p}H(p)$.
   
Exprimer $s(t)$ à l'aide de $h_1(t)$.
		\item Donner l'expression de $s(t)$ sur chacun des intervalles $]-\infty~;~1[$, $[1~;~2[$ et $[2~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

{\large {\textbf{Partie B}}}

\medskip

On rappelle que $H(p)=\displaystyle\frac{500^2}{(p+250)^2\left(250\sqrt{3}\right)^2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $r$ définie pour tout réel $\omega>0$
   par :

\[r(\omega)=
      \begin{array}{|c|}
         H(\rm{j}\omega)
      \end{array}\]
      
où $\rm{j}$ est le nombre complexe de module $1$ et d'argument
   $\displaystyle\frac{\pi}{2}$.
   
Montrer que $r(\omega)=\displaystyle\frac{500^2}{\sqrt{\omega^4-500^2\omega^2+500^4}}$.
\item On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $\omega > 0$ par :

   \[f(\omega) = \omega^4-500^2\omega^2+500^4\]
   
Montrer que $f'(\omega) = 4\omega\left(\omega-250\sqrt{2} \right)
                                  \left(\omega+250\sqrt{2} \right)$.
\item Montrer que $r'(\omega)$ est du signe de $-f'(\omega)$.
\item En déduire que $r(\omega)$ est maximal pour une valeur de $\omega_0$ de    $\omega$. Donner la valeur de $\omega_0$ et calculer $r(\omega_0)$.
\end{enumerate}
\emph{La partie B permet de déterminer le maximum du gain pour le
 système étudié en régime harmonique.}
\end{document}