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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{A. P. M. E. P.}
\rhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe A2}}
\rfoot{\small{12 mai 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Métropole session 2010 - groupement A2}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\begin{center}\textbf{Spécialité IRIST} \end{center}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij.
 
On rappelle qu'une courbe de Bézier associée à $n + 1$ points de contrôle successifs $A_{i},~0 \leqslant  i \leqslant n$, est l'ensemble des points $M(t)$ tels que : 
 
\[\vect{\text{O}M(t)} = \sum_{i=0}^n B_{i,n}(t) \vect{\text{O}A_{i}}\quad \text{où} ~~ B_{i,n}(t) = \text{C}_{n}^i t^{i}(1 - t)^{n -i}~~ \text{avec}~ t \in [0~;~1].\] 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
L'objectif de cette partie est d'étudier la courbe de Bézier $\mathcal{C}_{1}$ associée aux quatre points de contrôle successifs A(4~;~0), S(12~;~6), R(0~;~6) et O(0~;~0).
 
\begin{enumerate}
\item  Développer, réduire et ordonner le polynôme $B_{2,~3}(t)$. 
\item  On admet que :
\[\begin{array}{l c l}
B_{0,3}(t) &=& - t^3 + 3 t^2 - 3 t + 1\\
B_{1,3}(t) &=& 3 t^3 - 6 t^2 + 3 t\\ 
B_{3,3}(t) &=&t^3.
\end{array}\]
 
Montrer que les coordonnées du point $M(t)$ de la courbe $\mathcal{C}_{1}$ sont : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}	
x &=& f_{1}(t) = 32t^3 - 60t^2 + 24t + 4\\ 	
y&=&g_{1}(t) = 	-18t^2 +18t
\end{array}\right. \quad  	\text{pour} t \in  [0~;~1].\] 

\item En utilisant la courbe $\mathcal{C}_{1}$ tracée sur le \textbf{document réponse \no 1}, compléter le tableau des variations conjointes des deux fonctions $f_{1}$ et $g_{1}$ figurant sur ce même document réponse. 
\item Calculer la dérivée de la fonction $g_{1}$.
 
En déduire la valeur $t_{1}$ du paramètre $t$ pour laquelle l'ordonnée du point $M(t)$ est maximale. 
\item  Déterminer la valeur $t_{0}$ du paramètre $t$ pour laquelle l'abscisse du point $M(t)$ est maximale. 
 
\item  Montrer que le vecteur $\vect{\text{AS}}$ est tangent à la courbe $\mathcal{C}_{1}$ au point A. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
On désigne par $a$ un nombre réel.
 
On souhaite compléter la figure du \textbf{document réponse \no 1} avec une courbe de Bézier $\mathcal{C}_{2}$ en respectant les contraintes suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] les points de contrôle successifs de la courbe de Bézier $\mathcal{C}_{2}$ sont O(0~;~0), E(0~;~a), F$\left(\dfrac{4}{3}~;~-2\right)$ et A(4~;~0) ; 
\item[$\bullet~$] la courbe $\mathcal{C}_{2}$ passe par le point G$\left(1~;~- \dfrac{3}{2}\right)$ pour la valeur $\dfrac{1}{2}$ du paramètre $t$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Sous ce système de contraintes, les courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ ont des tangentes communes aux points A et O.
 
\begin{enumerate}
\item Dans les conditions énoncées ci -dessus; la représentation paramétrique de la courbe $\mathcal{C}_{2}$ est de la forme : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&f_{2}(t) = 4t^2\\
y&=&g_{2}(t) = 3(a + 2)t^3 - 6(a + 1)t^2 + 3at
\end{array}\right. \quad  t \in [0~ ;~1].\]
 
Montrer que $a = -2$. 
\item Pour chaque valeur de $t$, l'algorithme de construction par barycentres successifs (appelé algorithme de De Casteljau), permet de construire, le point de paramètre $t$ de la courbe de Bézier.
 
Utiliser cet algorithme, pour la valeur $\dfrac{1}{2}$ du paramètre $t$, pour retrouver graphiquement la position du point G.
 
\textbf{Laisser apparentes les étapes de la construction.} 
\item  Tracer la courbe $\mathcal{C}_{2}$ sur le \textbf{document réponse \no 1}. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 2  \hfill 10 points}

\medskip
 
On considère un système physique dont l'état est modélisé par la fonction $y$ de la variable réelle $t$, solution de l'équation différentielle : 

\[	y''(t) + 4y(t) = e(t) \quad	(1),\] 

où la fonction $e$ représente une contrainte extérieure au système.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Dans cette partie, on suppose que $e(t) = 20$ pour tout nombre réel $t$.
 L'équation différentielle (1) s'écrit alors sous la forme :
  
\[y''(t) + 4y(t) = 20 \quad	(2).\]
 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer la fonction constante $h$ solution particulière de l'équation différentielle (2). 
\item  Déterminer la solution générale de l'équation différentielle (2).
 
En déduire l'expression de la fonction $f$ solution de l'équation différentielle (2) qui vérifie les conditions $f(0)= 0$ et $f'(0) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Dans cette partie, on étudie un moyen d'amener le système vers un état d'équilibre de manière \og  lisse \fg.
 
À cette fin, on soumet le système à une contrainte extérieure modélisée par la fonction $e$ définie par :
 
\[e(t) = 8 t U(t)- 8(t - \tau )U(t - \tau),\]
 
où $\tau$ désigne un nombre réel strictement positif.
 
On rappelle que la fonction échelon unité $U$ est définie par :
 
\[\left\{\begin{array}{l c l l l}
U(t)&=&0& \text{si}& t < 0\\
U(t)&=&1& \text{si}& t \geqslant 0.
\end{array}\right.\]
 
Une fonction définie sur $\R$ est dite causale si elle est nulle sur l'intervalle $]- \infty~;~0[$.
 
On appelle $g$ la fonction causale telle que :
 
\[g''(t) + 4g(t) = e(t) \]

et vérifiant : 

\[g(0) = 0 \quad  \text{et} \quad  g'(0)= 0.\] 

\medskip
 
On note $G(p)$ la transformée de Laplace de la fonction $g$ et $E(P)$ la transformée de Laplace de la fonction $e$.
 
\begin{enumerate}
\item  Exprimer $E(P)$ en fonction de $p$ et de $\tau$. 
\item  En déduire que : 

\[G(p) = \dfrac{8}{p^2\left(p^2 + 4\right)}\left(1 - \text{e}^{- \tau p}\right)  \]

\item  Déterminer les constantes réelles $A$ et $B$ telles que : 

\[\dfrac{8}{p^2\left(p^2 + 4\right)} = \dfrac{A}{p^2} + \dfrac{B}{p^2 + 4}\]
 
\item  Déterminer alors l'original de $\dfrac{8}{p^2\left(p^2 + 4\right)}$ 
\item  En déduire que, pour tout nombre réel $t$ : 

\[g(t) = g_{0}(t) - g_{0}(t - \tau) \quad  
\text{avec}~ g_{0}(t) = (2t - \sin(2t)) U(t).\]
 
\item  Montrer que pour $t \geqslant  \tau$, on a :
 
\[g(t) = 2\tau - \sin(2t) + sin (2t - 2\tau). \]

\item  \textbf{On suppose maintenant que} \boldmath $\tau = \pi$.\unboldmath 
	\begin{enumerate}
		\item Simplifier l'expression de $g(t)$ pour $t \geqslant \tau$. 
		\item La courbe représentative de la fonction $e$, pour $\tau = \pi$, est tracée sur la figure du \textbf{document réponse \no 2}.
		 
Sur le même graphique, tracer la courbe représentative de la fonction $g$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Document réponse \no 1, à rendre avec la copie (exercice 1)}

\bigskip

\psset{unit=1.3333cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(8,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-2)(8,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.4pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1](-1,-2)(8,6)
\parametricplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{32 t 3 exp mul 60 t dup mul mul sub 24 t mul add 4 add 18 t mul 18 t dup mul mul sub}
\uput[dr](3,4){$\mathcal{C}_{1}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(7,7)
\psframe(7,7)
\psline(0,2)(7,2) \psline(0,4)(7,4)\psline(0,5)(7,5)\psline(0,6)(7,6)   
\psline(1,0)(1,7)
\uput[u](0.5,6){$t$} \uput[u](1.2,6){$0$} \uput[u](3,6){$t_{0}$} \uput[u](5,6){$t_{1}$} \uput[u](6.8,6){$1$}
\uput[u](0.5,5){$f'_{1}(t)$} \uput[u](0.5,4){$g'_{1}(t)$}\uput[u](2,5){$+$} \uput[u](3,5){$0$}  \uput[u](5,5){$-$}  \uput[u](6.8,5){$0$}
\rput(0.5,3){$f_{1}(t)$}\rput(0.5,1){$g_{1}(t)$}
\end{pspicture}

\end{center}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Document réponse \no 2, à rendre avec la copie (exercice 2)}

\vspace{2cm}

\psset{xunit=3cm,yunit=0.75cm}

\begin{pspicture}(-1,-2.2)(3.2,10.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=20]{->}(0,0)(-1,-2.2)(3.2,10.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.2pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-1,-2.)(3.,10.)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](-1,0)(0,0)(1,8)(3.2,8)
\multido{\n=-2+1}{13}{\uput[l](0,\n){\n $\pi$}}
\multido{\n=1+1}{3}{\uput[d](\n,0){\n $\pi$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}