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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe A1}}
\rfoot{\small{mai 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\[7pt] session 2009 - groupement A1 Métropole}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

\medskip

\emph{Cet exercice se compose de trois parties qui peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.}

\emph{On s'intéresse aux requêtes reçues par le serveur web d'une grande entreprise, provenant de clients dispersés sur le réseau Internet.}

\emph{La réception de trop nombreuses requêtes est susceptible d'engendrer des problèmes de surcharge du serveur.}

\medskip

\textbf{Partie A :} 

\medskip

Dans cette partie, on s'intéresse au nombre de requêtes reçues par le serveur, au cours de certaines durées jugées critiques.

On désigne par $\tau$ un nombre réel strictement positif. On appelle $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeurs le nombre de requêtes reçues par le serveur dans un intervalle de temps de durée $\tau$ (exprimée en secondes). La variable aléatoire $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda = 500 \tau$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on s'intéresse au cas où $\tau = 0,01$. 

Déterminer la probabilité que le serveur reçoive au plus une requête au cours d'une durée $\tau$ de 0,01~s.

En expliquant votre démarche, déterminer le plus petit entier naturel $n_{0}$ tel que $p\left(X > n_{0}\right) < 0,05$.

Dans cette question, on s'intéresse au cas où  $\tau = 0,2$.

On rappelle que la loi de Poisson de paramètre $\lambda = 100$ peut être approchée par la loi normale de moyenne $\mu = 100$ et d'écart type $\sigma = 10$.

En utilisant cette approximation, calculer :
	\begin{enumerate}
		\item  la probabilité $P(X > 120)$ ;
	\item  une valeur approchée du nombre réel positif $a$ tel que 

$P(100 - a \leqslant  X \leqslant 100 + a) = 0,99$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

Dans cette partie, on considère :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  d'une part, que la probabilité pour le serveur de connaître des dysfonctionnements importants au cours d'une journée donnée est $p = 0,01$ ;
\item  d'autre part, que des dysfonctionnements importants survenant au cours de journées distinctes constituent des évènements aléatoires indépendants. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item On appelle $Y$ la variable aléatoire correspondant au nombre de jours où le serveur connaît des dysfonctionnements importants au cours d'un mois de 30 jours.

	\begin{enumerate}
		\item On admet que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale. 

Préciser les paramètres de cette loi.
		\item Calculer, à $10^{-3}$ près, la probabilité que le serveur connaisse au plus 2 jours de dysfonctionnements importants pendant un mois.
	\end{enumerate}
\item On appelle $Z$ la variable aléatoire correspondant au nombre de jours où le serveur connaît des dysfonctionnements importants au cours d'une année de 365~jours. 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner, sans justification, la loi de probabilité de la variable aléatoire $Z$. 
		\item Donner l'espérance mathématique et l'écart type de la variable aléatoire $Z$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C :}

\medskip

Dans cette partie. on s'intéresse à la durée séparant deux requêtes successives reçues par le serveur.

On appelle $T$ la variable aléatoire qui prend pour valeurs les durées (exprimées en secondes) séparant l'arrivée de deux requêtes successives sur le serveur. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On désigne par $t$ un nombre réel positif. La probabilité que $T$ prenne une valeur inférieure ou égale à $t$ est donnée par : $p(T \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t 500 \text{e}^{-500x}\:\text{d}x$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $P(T \leqslant t)$ en fonction de $t$.
		\item En déduire la valeur de $t$ pour laquelle $P(T \leqslant t) = 0,95$. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée au millième de seconde.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer, à l'aide d'une intégration par parties, l'intégrale

\[I(t) = \displaystyle\int_{0}^t 500x \text{e}^{-500x}\:\text{d}x.\]

		\item Déterminer la limite $m$ de $I(t)$ quand $t$ tend vers $+ \infty$.

Le nombre $m$ est l'espérance mathématique de la variable aléatoire $T$. Il représente la durée moyenne séparant la réception de deux requêtes successives.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\emph{Commentaire :}

\emph{Ce modèle, très simple, intéresse les concepteurs de systèmes d'information ou de télécommunication car il fournit des évaluations de certaines performances d'un système, en particulier au sens du \og scénario du pire des cas \fg.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 11 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, on étudie un système « entrée-sortie ».}

\emph{La partie A permet de déterminer la réponse à l'échelon unité.}

\emph{Les parties B et C permettent d'étudier les perturbations résultant d'une coupure de $0,1$~seconde. }

On rappelle que la fonction échelon unité $U$ est définie par : 

\[\left\{\begin{array}{l c l l}
U(t)	&=& 0	& \text{si}~ t < 0\\
U(t)	&=&1	& \text{si}~ t \geqslant 0\\
\end{array}\right.\]

Une fonction définie sur $\R$ est dite causale si elle est nulle sur l'intervalle $]- \infty~;~0[$.

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

On considère la fonction causale $s_{1}$ telle que, pour tout nombre réel $t$ : 
\[s_{1}(t) + \int_{0}^t s_{1}(u)\:\text{d}u = U(t). \]

On note $S_{1}$ la transformée de Laplace de la fonction $s_{1}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que $S_{1}(p) =  \dfrac{1}{p + 1}$. 
\item  En déduire $s_{1}(t)$ pour tout nombre réel $t$.

La courbe représentative de la fonction $s_{1}$ est donnée par la \textbf{figure 1 du document réponse.}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

On considère la fonction causale $s_{2}$ telle que, pour tout nombre réel $t$ : 

\[s_{2}(t) + \int_{0}^t s_{2}(u)\:\text{d}u  = U(t) - U(t-1) .\] 

On note $S_{2}$ la transformée de Laplace de la fonction $s_{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Représenter graphiquement la fonction $e_{2}$ définie sur l'ensemble des nombres réels par : 

\[e_{2}(t) = U(t) - U(t - 1).\]

\item  Déterminer $S_{2}(p)$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  En déduire $s_{2}(t)$ pour tout nombre réel $t$. 
		\item  Justifier que :

\[\left\{\begin{array}{l c l l}
s_{2}(t)&=&0&\text{si}~ t < 0\\ 
s_{2}(t)&=&\text{e}^{-t}& \text{si}~ 0 \leqslant t < 1\\ 
s_{2}(t)&=&-\text{e}^{-t}(\text{e} - 1)& \text{si}~ t \geqslant 1\\
\end{array}\right.\]

	\end{enumerate}
\item Établir le sens de variation de la fonction $s_{2}$ sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$.
\item  Calculer $s_{2}\left(1^+ \right) - s_{2}\left(1^- \right)$.
\item  On appelle $\mathcal{C}_{2}$ la courbe représentative de la fonction $s_{2}$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$&1& 1,1& 1,5& 2& 2,5\\ \hline
$s_{2}(t)$&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Les résultats seront donnés à $10^{-2}$ près. 
		\item Compléter le tracé de la courbe $\mathcal{C}_{2}$ sur la figure 2 du document réponse, à rendre avec la copie.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C :}

\medskip

On considère la fonction causale $s_{3}$ telle que, pour tout nombre réel $t$ :

\[s_{3}(t) + \int_{0}^t s_{3}(u)\:\text{d}u = U(t) - U(t -1) + U(t -1,1).\]

\begin{enumerate}
\item Soit la fonction $e_{3}$ définie sur l'ensemble des nombres réels par : 

$e_{3}(t) = U(t) - U(t -1) + U(t -1,1)$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $e_{3}(t) = e_{2}(t)$ pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $]- \infty~;~ 1,1[$.
		\item Déterminer $e_{3}(t)$ pour $t \geqslant 1,1$.
		\item Représenter graphiquement la fonction $e_{3}$.

\medskip

Pour la suite, on admet que :

\[\left\{\begin{array}{l c l l}
s_{3}(t)& =& s_{2}(t)& 	\text{si}~t < 1,1\\
s_{3}(t)&=&\text{e}^{-t}\left(1 - \text{e}+ \text{e}^{1,1}\right)& \text{si}~  t \geqslant 1,1.\\
\end{array}\right.\]

	\end{enumerate}
\item Établir le sens de variation de la fonction $s_{3}$ sur l'intervalle $]1,1~;~ + \infty[$. 
\item Calculer $s_{3}\left(1,1^{+}\right) - s_{3}\left(1,1^{-}\right)$.
\item On appelle $\mathcal{C}_{3}$ la courbe représentative de la fonction $s_{3}$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous : 
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$& 1,1& 1,5& 2& 2,5\\ \hline
$s_{3}(t)$&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Les résultats seront donnés à $10^{-2}$ près. 
	\item Compléter le tracé de la courbe $\mathcal{C}_{3}$ sur la figure 3 du document réponse, à rendre avec la copie.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}