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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe A1}}
\rfoot{\small{10 mai 2011}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\session 2011 - groupement A1}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Spécialités :}
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Électrotechnique
\item Génie optique
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Une source émet un signal binaire composé de $0$ et de $1$. Lors du transport, le signal peut être déformé. Un $0$ peut être transformé en $1$ avec une probabilité $0,1$ et, de même, un $1$ peut être transformé en $0$ avec une probabilité $0,1$.
 
Pour toute la suite, dans une série de chiffres, on lit de gauche à droite, le premier chiffre envoyé étant donc celui écrit le plus à gauche. 

On envoie le signal $00$.
 
On admet que les erreurs de transmission sont des évènements aléatoires indépendants les uns des autres.
 
On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $E_{1}$ : \og les deux chiffres sont modifiés \fg 
\item[$\bullet~~$] $E_{2}$ : \og le premier chiffre est modifié mais pas le deuxième \fg 
\item[$\bullet~~$] $E_{3}$ : \og aucun chiffre n'est modifié \fg 
\item[$\bullet~~$] $E_{4}$ : \og au moins un des chiffres est modifié \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\emph{Pour chaque affirmation, une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur sa copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie.\\ 
Une bonne réponse rapporte $0,5$ point, une réponse incorrecte ou l'absence de réponse n'enlève pas de point.}
 
\begin{enumerate}
\item La probabilité de l'évènement $E_{1}$ est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{$\bullet~~$}X}}
0,01 &0,99 \\
0,09& 0,81\\
\end{tabularx}
 
\item  Si l'évènement $E_{2}$ est réalisé, le signal reçu est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{$\bullet~~$}X}} 
00 &01\\
10&11\\
\end{tabularx}

 
\item  La probabilité de l'évènement $E_{2}$ est égale à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{$\bullet~~$}X}}
0,19 &0,81 \\
0,09& 0,90\\
\end{tabularx}

\item  La probabilité de l'évènement $E_{3}$ est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{$\bullet~~$}X}}
0,01 &0,99 \\
0,09& 0,81\\
\end{tabularx}
 
\item  La probabilité de l'évènement $E_{4}$ est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{$\bullet~~$}X}}
0,19 &0,20 \\
0,11& 0,91\\
\end{tabularx} 

\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère l'expérience aléatoire consistant à émettre une chaîne constituée de 10 fois le chiffre 1 et à observer la chaîne reçue. On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque chaîne ainsi reçue, associe le nombre d'erreurs de transmission, c'est-à-dire le nombre de $0$ obtenus.
 
On rappelle que la probabilité qu'un chiffre soit mal transmis est $0,1$. 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
		 
Préciser les paramètres de cette loi. 
		\item Calculer à $0,001$ près la probabilité qu'il y ait exactement une erreur de transmission.
		\item Montrer que la probabilité qu'il y ait au plus une erreur de transmission est égale à $0,74$ à $0,01$ près.
	\end{enumerate} 
\item Estimant que la qualité des transmissions n'est pas assez bonne, les techniciens procèdent à quelques réglages afin de réduire les \og bruits \fg{} à l'origine des erreurs. La probabilité qu'un chiffre soit mal transmis devrait ainsi être fortement diminuée.
 
Effectivement, à l'issue des réglages, on constate que la proportion de chiffres mal transmis est égale à $0,002$. 
	\begin{enumerate}
		\item On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de chiffres mal transmis dans une chaîne de \np{1000}~chiffres.
		 
On considère que la variable aléatoire $Y$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda$.

Justifier que $\lambda = 2$. 
		\item  Calculer à $0,001$ près la probabilité qu'il y ait au moins une erreur de transmission parmi les \np{1000}~chiffres envoyés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
La transmission des chiffres binaires est assurée par un signal électrique carré. Les impulsions supérieures à 2 volts représentent le chiffre $1$, les autres le chiffre $0$. Ne pouvant affiner davantage leurs réglages, les techniciens admettent que les erreurs de transmission restantes sont dues à un \og bruit aléatoire \fg. Celui-ci est modélisé par un signal de tension aléatoire $U$, exprimée en volts. On admet que $U$ suit une loi normale de moyenne $0$ et d'écart type $\sigma$. 

\begin{enumerate}
\item Pour envoyer les chiffres 1, on envoie des impulsions de 4~volts. Ces dernières sont modifiées par le bruit aléatoire. La tension reçue est ainsi égale à $4 + U$.
 
\textbf{Dans cette question, on suppose que}\, \boldmath $\sigma = 0,7$.\unboldmath 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité que cette tension représente le chiffre 1 est égale à la probabilité que $U$ soit supérieure à $- 2$. 
		\item Calculer cette probabilité à $0,001$~près.
	\end{enumerate} 
\item Quelle condition doit-on imposer à l'écart type $\sigma$ pour que la proportion d'erreurs de transmission d'un chiffre $1$ soit inférieure à 0,1\,\%, c'est-à-dire pour que : 

\[p(U < - 2) < 0,001 ?\] 

\emph{Dans cette question toute trace de recherche même incomplète ou non aboutie sera prise en compte.} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip
 
\textbf{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes}
 
\emph{Le but de la partie A est de calculer le développement en série de Fourier d'une fonction périodique, puis de s'intéresser à la valeur efficace de cette fonction sur une période.\\ 
Dans la partie B, il s'agit de retrouver la représentation graphique d'une fonction à partir de son développement en série de Fourier puis de définir cette fonction.}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ périodique, de période 2, définie sur l'ensemble des nombres réels par : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
f(t) 	&=& 0,5t + 0,5\quad  \text{si}\quad  - 1 < t < 1\\
f(1)	&=& 0,5.
\end{array}\right.\] 

Le développement en série de Fourier de la fonction $f$ s'écrit : 

\[S(t) = a_{0} +  \sum_{n=1}^{+ \infty} \left(a_{n}\cos(n\omega t) + b_{n}\sin (n\omega t)\right).\] 

\begin{enumerate}
\item Tracer la représentation graphique de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-4~;~4]$ en utilisant la figure 2 du document réponse numéro 1. 
\item Démontrer que $a_{0} = \dfrac{1}{2}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Préciser la valeur de la pulsation $\omega$. 
		\item En utilisant une intégration par parties, calculer $b_{1}$. 
	\end{enumerate}
	
On admet dans la suite de l'exercice que, pour tout nombre entier $n$ supérieur ou égal à 1 : 

\[b_{n} = \dfrac{(- 1)^{n+1}}{n\pi}.\]

\item  Soit $g$ la fonction définie pour tout nombre réel $t$ par $g(t) = f(t) -  0,5$. 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la représentation graphique de la fonction $g$ sur la figure 3 du document réponse numéro 1. 
		\item Quelle propriété de symétrie observe-t-on sur la représentation graphique de la fonction $g$ ? 
		\item En comparant les coefficients de Fourier des fonctions $f$ et $g$, montrer que $a_{n} = 0$ pour tout nombre entier $n$ supérieur ou égal à 1.
	\end{enumerate} 
\item On rappelle que la valeur efficace de la fonction $f$ sur une période est le nombre réel positif, noté $f_{\text{eff}}$, défini par : 

\[f_{\text{eff}}^2 = \dfrac{1}{2}\int_{-1}^1 \left[f(t)\right]^2\:\text{d}t.\] 

Démontrer que $f_{\text{eff}}^2 = \dfrac{1}{3}$.
\item On rappelle la formule de Parseval : 

\[f_{\text{eff}}^2 = a_{0}^2 + \dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^{+ \infty}
\left(a_{n}^2 + b_{n}^2\right).\]

On décide de calculer une valeur approchée, notée $P$, de $f_{\text{eff}}^2$ en se limitant aux cinq premiers termes de la somme, c'est-à-dire :

\[P =  a_{0}^2 + \dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^{5}
\left(a_{n}^2 + b_{n}^2\right).\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $P$, puis de $\dfrac{P}{f_{\text{eff}}^2}$. 
		\item En déduire, en pourcentage, l'erreur commise quand on remplace $f_{\text{eff}}^2$ par $P$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Soit $h$ la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels, périodique de période 2, dont le développement en série de Fourier est : 

\[S_{h} = \dfrac{\pi}{2}  - \dfrac{4}{\pi}\sum_{p = 0}^{+ \infty} \dfrac{1}{(2p + 1)^2} \cos [(2p + 1)\pi t].\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer la parité de la fonction $h$. 
\item Sur l'annexe sont proposées quatre représentations graphiques.
 
Laquelle des quatre courbes proposées est la représentation graphique de la fonction $h$ sur l'intervalle $[-4~;~4]$ ? Justifier le choix effectué. 
\item Déterminer $h(t)$ pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~1]$. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center} 
{\large \textbf{Annexe} }

\bigskip


\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-2)(4,1.75)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2](0,0)(-4,-1.75)(4,1.75)
\psline(-4,0)(-3.5,1.5708)(-2.5,-1.5708)(-1.5,1.5708)(-0.5,-1.5708)(0.5,1.5708)(1.5,-1.5708)(2.5,1.5708)(3.5,-1.5708)
\rput(0,-1.9){Courbe 1 }
\end{pspicture}

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-0.8)(4,3.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2](0,0)(-4,-0.5)(4,3.25)
\psline(-4,0)(-3,3.14159)(-2,0)(-1,3.14159)(0,0)(1,3.14159)(2,0)(3,3.14159)(4,0)
\rput(0,-0.7){Courbe 2 }
\end{pspicture}

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-0.8)(4,3.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2](0,0)(-4,-0.5)(4,3.25)
\psline(-4,0)(-3.5,3.14159)(-3,0)(-2.5,3.14159)(-2,0)(-1.5,3.14159)(-1,0)(-0.5,3.14159)(0,0)(0.5,3.14159)(1,0)(1.5,3.14159)(2,0)(2.5,3.14159)(3,0)(3.5,3.14159)(4,0)
\rput(0,-0.7){Courbe 3 }
\end{pspicture}
 
\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-0.8)(4,3.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2](0,0)(-4,-0.5)(4,3.25)
\psline(-4,1.5708)(-3.5,0)(-2.5,3.14159)(-1.5,0)(-0.5,3.14159)(0.5,0)(1.5,3.14159)(2.5,0)(3.5,3.14159)(4,1.5708)
\rput(0,-0.7){Courbe 4 }
\end{pspicture}

\end{center}
%\newpage
%\begin{center}
%
%\textbf{Document réponse numéro 1 à joindre à la copie}
%
%\bigskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%$n$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline%
%$y(n)$&& 0,35 &&&&0,87 &&&1,15 &&1,30\\ \hline%
%\end{tabularx}
%
%\medskip
% 
%\textbf{Tableau de valeurs de la suite \boldmath $y$ \unboldmath (à compléter)} 
%
%\vspace{2.5cm}
%
%\psset{xunit=1cm,yunit=2.2cm}
%\begin{pspicture}(-1,-0.2)(11,3)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(0,-0.2)(11,3)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(-1,-0.2)(11,3)
%\psline[linewidth=1.5pt](2,0)(2,0.5) 
%\psline[linewidth=1.5pt](6,0)(6,1)
%\psplot[plotpoints=8000,linestyle=dotted,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{11}{2  2  2.71828  0.1  x mul  exp div sub}
%
%\uput[u](1,0.2){$s$} 
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\newpage
%
%\begin{center}
%{\large \textbf{Document réponse numéro 2 à joindre avec la copie}}
%
%\bigskip
%
%\psset{unit=1.5cm}
%\begin{pspicture}(-4,-2.5)(4,1.5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(-4,-1.5)(4,1.5)
%\uput[dl](0,0){O} \rput(0,-2.5){\textbf{Figure 2 : représentation graphique de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath (à compléter)}}
%\end{pspicture}
%
%\vspace{2.5cm}
%
%\psset{unit=1.5cm}
%\begin{pspicture}(-4,-2.5)(4,1.5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(-4,-1.5)(4,1.5)
%\uput[dl](0,0){O} \rput(0,-2.5){\textbf{Figure 3 : représentation graphique de la fonction \boldmath $g$ \unboldmath (à compléter)}}
%\end{pspicture}
%\end{center}
\end{document}