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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{A. P. M. E. P.}
\rhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe A1}}
\rfoot{\small{12 mai 2010}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Métropole - session 2010 - groupement A1}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\begin{center} \textbf{Spécialités CIRA, Électrotechnique, Génie optique, Systèmes électroniques, TPIL} \end{center}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, on se propose d'étudier dans la partie A une perturbation d'un signal continu et, dans la partie B, la correction de cette perturbation par un filtre analogique.}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Dans cet exercice, on note $\tau$ une constante réelle appartenant à l'intervalle $[0~;~2\pi]$ et on considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur  l'ensemble $\R$ des nombres réels, telles que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] pour tout nombre réel $t,~f(t) = 1$  ; 
\item[$\bullet~$] la fonction $g$ est périodique de période $2\pi$ et : 

\[\left\{\begin{array}{l c l l}
g(t) &=& 0 &\text{si}~0 \leqslant  t < \tau\\
g(t) &=& 1 &\text{si}~\tau \leqslant t < 2\pi\\
\end{array}\right.\] 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Pour tout nombre réel $t$, on pose : 

\[h(t)= f(t)- g(t)\]
 
La fonction $h$ ainsi définie représente la perturbation du signal.
 
\begin{enumerate}
\item Les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ sont tracées sur le \textbf{document réponse \no 1}. (figures 1 et 2). 

Sur la figure 3 du \textbf{document réponse \no 1}, tracer la représentation graphique de la fonction $h$. 
\item On admet que la fonction $h$ est périodique de période $2\pi$.
 
Pour tout nombre réel $t$, on définit la série de Fourier $S(t)$ associée à la fonction $h$ par

\[S(t) = a_{0} + \sum_{n=1}^{+ \infty} \left(a_{n} \cos (nt) + b_{n} \sin (nt)\right)\] 
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $a_{0}$. 
		\item Soit $n$ un nombre entier supérieur ou égal à 1.
		
Calculer 

\[\int_{0}^{\tau}  \cos (nt)\:\text{d}t\]
 
et en déduire que

\[a_{n} =  \dfrac{1}{n\pi} \sin (n \tau).\]
 
		\item Montrer que pour tout nombre entier $n$ supérieur ou égal à 1,  
		
\[b_{n} = \dfrac{1}{n\pi}(1 - \cos(n\tau)).\]

	\end{enumerate} 
\item Soit $n$ un nombre entier naturel. On associe à $n$ le nombre réel $A_{n}$ tel que :

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $A_{0} =  a_{0}$ 
\item[$\bullet~$] $A_{n} = \sqrt{\dfrac{a_{n}^2 + b_{n}^2}{2}}$ si $n$ est un nombre entier supérieur ou égal à 1.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
 
Montrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, on  a : 

$A_{n} = \dfrac{1}{n\pi}\sqrt{1 - \cos (n\tau)}.$

\medskip 

\textbf{On suppose, pour toute la suite de l'exercice, que $\tau = \dfrac{\pi}{4}$.}
 
\item Compléter le \textbf{tableau 1} du \textbf{document réponse \no~2} avec des valeurs approchées à $10^{-5}$ près. 
\item La valeur efficace $h_{\text{eff}}$ de la fonction $h$ est telle que : 

\[h_{\text{eff}}^2 = \dfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}[h(t)]^2\:\text{d}t.\] 

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $h_{\text{eff}}^2$. 
		\item Calculer une valeur approchée à $10^{-4}$ près du nombre réel $P$ défini par $P = \displaystyle\sum_{n=0}^3  A_{n}^2$.  
		\item  Calculer une valeur approchée à $10^{-2}$ près du quotient $\dfrac{P}{h_{\text{eff}}^2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On rappelle que j est le nombre complexe de module 1 et dont un argument est $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
 
On considère la fonction de transfert $H$ définie, pour tout nombre complexe $p$ différent de $- \dfrac{3}{2}$ par: 

\[H(p) = \dfrac{3}{2p+3}.\] 
 
On définit la fonction $r$, pour tout nombre réel positif $\omega$, par : 

\[r(\omega) = |H(\text{j}\omega)|.\]
 
Le but de cette partie est de déterminer le spectre d'amplitude du signal, noté $k$, obtenu en filtrant la perturbation $h$  au moyen d'un filtre dont la fonction de transfert est $H$. 
 
\begin{enumerate}
\item  Montrer que $r(\omega) = \dfrac{3}{\sqrt{9 + 4\omega^2}}$.
\item  Pour tout nombre entier naturel $n$, on définit le nombre réel positif $B_{n}$ par : 

\[B_{n} = r(n) \times A_{n},\] 

où $A_{n}$ est le nombre réel positif défini dans la question 3 de la partie A.
 
Compléter le tableau 2 du \textbf{document réponse \no 2}, avec des valeurs approchées à $10^{-5}$ près.

\medskip
 
\emph{Le spectre d'amplitude du signal filtré $k$ est donné par la suite des nombres réels $B_{n}$.}

\medskip
 
\item La figure 4 sur le \textbf{document réponse \no 2} donne le spectre d'amplitude de la perturbation $h$, c'est-à-dire une représentation graphique de la suite des nombres réels $A_{n}$. 

\medskip

Sur la figure 5 du \textbf{document réponse \no 2}, on a commencé de même à représenter la suite des nombres réels $B_{n}$.
 
Compléter cette représentation graphique à l'aide du tableau de valeurs \no 2 du document réponse \no 2.
 
\item  Une valeur approchée à $10^{-4}$ près du carré de la valeur efficace du signal $k$ est  $k_{\text{eff}}^2 \approx  \nombre{0,0516}$.
 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer une valeur approchée à $10^{-4}$ près du nombre réel $Q$ défini par $Q = \displaystyle\sum_{n=0}^3 B_{n}^2 $. 
		\item  Calculer une valeur approchée à $10^{-1}$ près du quotient $\dfrac{Q}{k_{\text{eff}}^2}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\emph{On a étudié le spectre de Fourier d'une perturbation d'un signal. On  ne peut pas négliger les raies de hautes fréquences de ce spectre. Le filtrage dissipe une part importante de l'énergie de la perturbation et les raies de hautes fréquences de la perturbation filtrée sont négligeables.} 

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 2 \hfill  10 points}

\medskip
 
On considère un système physique dont l'état est modélisé par la fonction $y$ de la variable réelle $t$, solution de l'équation différentielle :
 
\[y''(t) + 4y(t) = e(t) \qquad	(1),\]
 
où la fonction $e$ représente une contrainte extérieure au système.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Dans cette partie, on suppose que $e(t) = 20$ pour tout nombre réel $t$.
 L'équation différentielle (1) s'écrit alors sous la forme :
  
\[y''(t) + 4y(t) = 20 	\qquad(2).\]
 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer la fonction constante $h$ solution particulière de l'équation différentielle (2). 
\item  Déterminer la solution générale de l'équation différentielle (2). 
\item  En déduire l'expression de la fonction $f$ solution de l'équation différentielle (2) qui vérifie les conditions $f(0) = 0$ et $f'(0) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Dans cette partie, on étudie un moyen d'amener le système vers un état d'équilibre de manière \og  lisse \fg.
 
À cette fin on soumet le système à une contrainte extérieure modélisée par la fonction $e$ définie  par:
 
\[e(t) = 8t U(t)- 8(t - \tau)U(t - \tau).\]
 
où $\tau$ désigne un nombre réel strictement positif.
 
On rappelle que la fonction échelon unité $U$ est définie par : 

\[\left\{\begin{array}{l c l l}
U(t)&=&0& \text{si}~t < 0\\
U(t)&=&1& \text{si}~t \geqslant 0
\end{array}\right. .\]
 
Une fonction définie sur $\R$ est dite causale si elle est nulle sur l'intervalle $]-\infty~;~0[$.
 
On appelle $g$ la fonction causale telle que : 

\[g''(t) + 4g(t) = e(t) \]

et vérifiant : 

\[g(0) = 0 ~\text{et}~ g'(0)= 0.\]
 
On note $G(p)$ la transformée de Laplace de la fonction $g$ et $E(p)$ la transformée de Laplace de la fonction $e$. 
\begin{enumerate}
\item Exprimer $E(p)$ en fonction de $p$ et de $\tau$. 
\item En déduire que : 

\[G(p) = \dfrac{8}{p^2\left(p^2 + 4\right)}\left(1 - \text{e}^{- \tau p} \right).\]

\item  Déterminer les constantes réelles $A$ et $B$ telles que : 

\[\dfrac{8}{p^2\left(p^2 + 4\right)} = \dfrac{A}{p^2} + \dfrac{B}{p^2 + 4}.\] 
 
\item  Déterminer alors l'original de $\dfrac{8}{p^2\left(p^2 + 4\right)}$. 
\item  En déduire que, pour tout nombre $t$ : 

\[g(t) = g_{0}(t) - g_{0} (t - \tau) \quad  
\text{avec}~~g_{0}(t) = (2t - \sin(2t)) U(t).\]
 
\item  Montrer que pour $t \geqslant  \tau$, on a 

\[g(t) = 2\tau - \sin (2t) + \sin (2t- 2\tau).\] 
\item  \textbf{On suppose maintenant que $\tau  = \pi.$} 
	\begin{enumerate}
		\item Simplifier l'expression de $g(t)$ pour $t \geqslant \tau$. 
		\item La courbe représentative de la fonction $e$, pour $\tau = \pi$, est tracée sur la figure du \textbf{document réponse \no 3}. 
		
Sur le même graphique, tracer la courbe représentative de la fonction $g$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Document réponse \no 1, à rendre avec la copie (exercice 1)}

\bigskip

\textbf{Figure 1 :} courbe représentative de $f$

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-6,-1)(6,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,griddots=8,gridwidth=0.8pt](0,0)(-6,-1)(6,3)
\multido{\n=-5.5+1.0}{12}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.8pt,linecolor=orange](\n,-1)(\n,3)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-6,-1)(6,3)
\psline[linewidth=1.25pt](-6,2)(6,2)\uput[ul](0,2){1}
\uput[d](-6,0){$-3\pi$} \uput[d](-4,0){$-2\pi$} \uput[d](-2,0){$-\pi$} \uput[d](2,0){$\pi$} \uput[d](4,0){$2\pi$} \uput[d](6,0){$3\pi$}
\uput[d](0,0){$0$} 
\end{pspicture}

\vspace{0,5cm}

\bigskip

\textbf{Figure 2 :} courbe représentative de $g$

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-6,-1)(6,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,griddots=8,gridwidth=0.8pt](0,0)(-6,-1)(6,3)
\multido{\n=-5.5+1.0}{12}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.8pt,linecolor=orange](\n,-1)(\n,3)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-6,-1)(6,3)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=white](-6,0)(6,0)\uput[ul](0,2){1}
%\psline[linewidth=1.25pt](-6,2)(6,2)
\psline[linewidth=1.25pt](-6.2,2)(-4,2)\psarc[linewidth=1.25pt](-3.4,2){6mm}
{165}{195}
\psline[linewidth=1.25pt](-3.5,2)(0,2)\psarc[linewidth=1.25pt](0.6,2){6mm}
{160}{200}\rput(-3.5,2){$\bullet$}
\psline[linewidth=1.25pt](0.5,2)(4,2)\psarc[linewidth=1.25pt](4.6,2){6mm}
{165}{195}\rput(0.5,2){$\bullet$}
\psline[linewidth=1.25pt](4.5,2)(6.2,2)\rput(4.5,2){$\bullet$}
\psline[linewidth=1.25pt](-4,0)(-3.5,0)\psarc[linewidth=1.25pt](-2.9,0){6mm}
{160}{200}\rput(-4,0){$\bullet$}
\psline[linewidth=1.25pt](0,0)(0.5,0)\psarc[linewidth=1.25pt](1.1,0){6mm}
{160}{200}\rput(0,0){$\bullet$}
\psline[linewidth=1.25pt](4,0)(4.5,0)\psarc[linewidth=1.25pt](5.1,0){6mm}
{160}{200}\rput(4,0){$\bullet$}
\uput[d](-6,0){$-3\pi$} \uput[d](-4,0){$-2\pi$} \uput[d](-2,0){$-\pi$} \uput[d](2,0){$\pi$} \uput[d](4,0){$2\pi$} \uput[d](6,0){$3\pi$}
\uput[d](0,0){$0$} 
\end{pspicture}

\vspace{0,5cm}

\bigskip

\textbf{Figure 3 :} courbe représentative de $h$

\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-6,-1)(6,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,griddots=8,gridwidth=0.8pt](0,0)(-6,-1)(6,3)
\multido{\n=-5.5+1.0}{12}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.8pt,linecolor=orange](\n,-1)(\n,3)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-6,-1)(6,3)
\uput[ul](0,2){1}
%\psline[linewidth=1.25pt](-6,2)(6,2)
\uput[d](-6,0){$-3\pi$} \uput[d](-4,0){$-2\pi$} \uput[d](-2,0){$-\pi$} \uput[d](2,0){$\pi$} \uput[d](4,0){$2\pi$} \uput[d](6,0){$3\pi$}
\uput[d](0,0){$0$} 
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Document réponse \no 2, à rendre avec la copie (exercice 1)}

\bigskip

\textbf{Tableau 1}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$n$	&0	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7\\ \hline
$A_{n}$&\nombre{0,12500}&\nombre{0,17227}&&\nombre{0,13863}&&\nombre{0,08318}&\nombre{0,05305}&\nombre{0,02461}\\ \hline \hline
$n$&8&9&10&11&12&13&14&15\\ \hline
$A_{n}$&&\nombre{0,01914}&\nombre{0,03183}&\nombre{0,03781}&&\nombre{0,03199}&\nombre{0,02274}&\nombre{0,01148}\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Tableau 2}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$n$	&0	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7\\ \hline
$B_{n}$&&\nombre{0,14334}&&\nombre{0,06200}&\nombre{0,03952}&\nombre{0,02390}&\nombre{0,01287}&\nombre{0,00516}\\ \hline\hline
$n$&8&9&10&11&12&13&14&15\\ \hline
$B_{n}$&\nombre{0,00000}&\nombre{0,00315}&\nombre{0,00472}&\nombre{0,00511}&&\nombre{0,00387}&\nombre{0,00242}&\nombre{0,00114}\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Figure 4}

\medskip

\psset{xunit=0.75cm,yunit=25cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.03)(15.5,0.22)
\psframe(-0.4,-0.03)(16,0.22)
\psline[linewidth=4pt](0,0)(0,0.125)
\psline[linewidth=4pt](1.,0)(1.,0.172)
\psline[linewidth=4pt](2.,0)(2.,0.159)
\psline[linewidth=4pt](3.,0)(3.,0.139)
\psline[linewidth=4pt](4.,0)(4.,0.113)
\psline[linewidth=4pt](5.,0)(5.,0.083)
\psline[linewidth=4pt](6.,0)(6.,0.053)
\psline[linewidth=4pt](7.,0)(7.,0.025)
\psline[linewidth=4pt](9.,0)(9.,0.019)
\psline[linewidth=4pt](10.,0)(10.,0.032)
\psline[linewidth=4pt](11.,0)(11.,0.038)
\psline[linewidth=4pt](12.,0)(12.,0.038)
\psline[linewidth=4pt](13.,0)(13.,0.032)
\psline[linewidth=4pt](14.,0)(14.,0.022)
\psline[linewidth=4pt](15.,0)(15.,0.011)
\psaxes[comma=true,Dy=0.02](0,0)(-0.7,0)(15.5,0.21)
\multido{\n=0.00+0.02}{11}{\psline[linewidth=0.3pt](-0.5,\n)(16,\n)}
\end{pspicture}

\bigskip

\textbf{Figure 5}

\bigskip

\psset{xunit=0.75cm,yunit=25cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.03)(15.5,0.22)
\psframe(-0.5,-0.03)(16,0.22)
\psline[linewidth=4pt](0.,0)(0.,0.125)
\psline[linewidth=4pt](1.,0)(1.,0.14334)
\psline[linewidth=4pt](2.,0)(2.,0.09549)
\psaxes[comma=true,Dy=0.02](0,0)(-0.7,0)(15.5,0.21)
\multido{\n=0.00+0.02}{11}{\psline[linewidth=0.3pt](-0.5,\n)(16,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Document réponse \no 3, à rendre avec la copie (exercice 2)}

\vspace{2cm}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-4,-2)(13,11)
\multido{\n=-4+1}{18}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,-2)(\n,10)}
\multido{\n=-2+1}{13}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](-4,\n)(13,\n)}
\multido{\n=2+1}{9}{\uput[l](0,\n){\n$\pi$}}
\uput[l](0,1){$\pi$}\uput[dl](0,0){O}\uput[l](0,-1){$-\pi$}\uput[l](0,-2){$-2\pi$}
\uput[d](4,0){$\pi$}\uput[d](8,0){$2\pi$}\uput[d](12,0){$3\pi$}
\psline[linewidth=1.5pt](0,0)(4,8)(13,8)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(-4,0)(13,0)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,-2)(0,10)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}